Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 15
Текст из файла (страница 15)
9 1.1О. Гидродинамическое описание плазмы Для понимания многих плазменных процессов очень полезной оказывается гидродинамическая модель плазмы, в которой плазма изображается как смесь электронной и ионной жидкостей. Эта модель применима для плазмы, у которой характерный линейный разглер Ь во много раз превосходит длину свободного пробега а характерная длительность процессов /„ велика по сравнению со временем между двумя столкновениями т. Величины Е и 1„обратно пропорциональны скорости изменения функции распределения частиц в пространстве и во времени: 1/Š— (1//) (д//дх), ! //„ (1//) (д//д/). В этом случае, как было показано ранее, функцию распределения / для каждой компоненты плазмы можно разложить по малому параметру 1 или т.
В нулевом приближения /= — /о= (т/2ггТ) ыэп ехр ( — т (о — и) э/2Т), где пе п(х, 1); Т=Т(х, 1); ие и(х, /) (для простоты ограничиваемся одномерной задачей). В гидродинамической модели вся информация о локальных свойствах любой компоненты содержится в трех величинах: плотности л, температуре Т и средней скорости и, которые пока остаются произвольными функциями х и Е Подставляя в кинетическое уравнение разложение для /(/=/о+ +/г+...), получаем в нулевом приближении д/о/д/+од/о/дх+(г/Е/т)д/о/до=51(Д. (1.99) Здесь в правой части оставлен интеграл столкновений для полной функции распределения /, поскольку 8'е(/о)=О, а БЦ/) имеет нулевой порядок относительно параметра малости т//р а. В данном слу* 81(В не является адднтннной функцией аргумента, н поэтому нельзя написать 81 (/) =51 (/о)+Я (/Д+...
59 чае в уравнении (1.99) мы имеем в виду строгое выражение интеграла столкновений, а не упрощенный вид в т-приближении. При этом нас не должно смущать, что в строгом виде интеграл столкновений весьма громоздок. Как будет видно из дальнейшего, совсем не обязательно знать явный вид интеграла столкновений, можно использовать лишь некоторые его общие свойства — законы сохранения. Ограничимся вначале анализом поведения электронной и ионной компонент плазмы.
Процессы ионизации и рекомбинации, вызывающие появление или исчезновение новых заряженных частиц, при этом учитывать не будем. Чтобы-построить гидродинамическую модель, проинтегрируем уравнение (1.99) для выбранной компоненты по всему пространству скоростей. Интегралы от двух первых членов уравнения (1.99) представим в следующем виде: ) (д/,/д() ссо=д Ц/ с(ов/д(=дп/д(; ) о (д/,/дх) с!о = д ( ') 4,с(п '//дх = д (пи)/дх. Здесь изменен порядок дифференцирования по с и х соответственно и интегрирования по с(о, так как в кинетической теории й х, и— независимые переменные. Прп интегрировании третьего слепа уравнения (1.99) по частям получается тождественный нуль: 5 (д/О/до)"'— = ' Даже без конкретизации вида интеграла столкновений ясно, что при отсутствии ионнзации и рекомбинации полное число частиц сохраняется.
Итак, имеем уравнение непрерывности дп/д1+д(пи) /дх=0. (1. ! 00) Умножим теперь уравнение (1.99) на и и опять проинтегрввруем. Поступая так же, как и при выводе (1.100), получаем д(пи)/д(+ д () э / с(о//дх — (с(Е/т) п = ~ и8! (/) сЬ. (1.101) Если для обеих компонент плазмы (электронной и ионной) средняя скорость и одинакова, то интеграл )" о81Щс(вгдолжеи обращаться в нуль, так как ие происходит передачи импульса от одной компоненты к другой. При этом условии равенство (1.101) можно с помощью (!.100) привести к виду пт (ди/д!+ иди/дх) = — д(пТ) /дх+ с(Еп. (1.102) Это уравнение Эйлера для заряженной жидкости. Заметим, что н общем случае при наличии электрического поля исФи„вв поэтому между компонентами плазмы возникает сила трения.
Эту силу, которая для электронной компоненты на единицу объема равна Р„=т, )" р З1(/,)дп, 60 а для ионной компоненты Рм= — Р =т' ( о Я(!г)йо, нужно прибавлять к правой части равенства (1.102). Наконец, умножая уравнение (1.99) на о' и еще раз интегрируя, после несложных выкладок с использованием (1.100) н (1.102) получаем дТ(д!+ идТ(дх+ 2Тди( дх=О. (1.
103) Это соотношение найдено в предположении о том, что интегралы ) о 51(!)йо и ) о«Я(!)дв равны нулю. Первое условие справедливо при и,=и„а второе — при Т;=Т,. Если ТМТ„то происходит' обмен тепловой энергией между компонентами плазмы н интеграл ) о'51(!)дп не обратится в нуль ни для одной из них. Уравнение (1.103), очевидно, есть не что иное, как уравнение одномерной адиабаты (у=3). Действительно, пай(р/пз) (й!=дТ/д!+ идТ(дх+ 2Тди (дх=О, так как р=пТ, а из (1.100) йп/д!= — пди/дх. Для трехмерного случая в результате аналогичных, но более громоздких вычислении можно получить в векторной форме следующую полную систему уравнений «двухжидкостной> плазменной гидродинамики с учетом сил трения: дп,!д!+ й(ч п,и, = 0; (1.104г дп,(д!+ й)ч п,и,=О; п,тгйи,(й!= — етай п,Т, +пгеЕ+Г„; п,т,йи,!й! = — кгай п,Т, — п,еЕ+ Р,и (1.105) В уравнениях (1.105) «(и(д!=ди/йй+(и пгай)и. Векторное обозначение (мигай)и расшифровывается как вектор с компонентами: (и„ди„(дх+и„ди„(ду+ и,ди„/дх); (и„ди„(дх+ и„ди„(ду+ и,ди„/дг); (и ди,(дх+и„ди/ду+и,ди,/дз).
Сила трения Г равна импульсу, передаваемому в единице объема за секунду от частиц одной компоненты плазмы к частицам другой, в т-приближении ее можно записать в следующем виде: Рег — пше (ие и1) теь где чга — частота столкновений между частицами разного сорта. Аналог уравнения (1.103) в трехмерном случае имеет вид дТ(д!+и ига й Т+(2(3) Т й)ч и=О (1.106) (Ему соответствует показатель адиабаты т=б/3.) Заметим, что при выводе уравнений основного гидродинамического приближения нз кинетического уравнения не обязательно знать явный вид интеграла столкновений.
Нет необходимости также вычислять поправку (~ в явном виде. Знание этой поправки позволило бы нам сп найти диссипативные добавки (вязкость, теплопроводность и т. д.) к уравнениям (1.102), (1,103) и к трехмерным обобщениям (1.!05), (1.106), но тогда нужно было бы задаться определенным видом интеграла столкновений. При строгом рассмотрении эта задача является довольно громоздкой. Она упрощается, если интеграл столкновений на этом этапе представить в упрощенной форме тприближения. Именно так был ранее найден коэффициент теплопроводности.
Следует обратить внимание на то, что уравнения (1.104) и (1.105), образующие основу гидродинамического приближения в теории плазмы, были выведены из более общего,кинетического уравнения, однако их можно получить гораздо более простым путем при анализе макроскопических свойств плазмы. Уравнения (1.104) имеют смысл закона сохранения числа частиц каждого сорта, а уравнения (1.105) суть второй закон Ньютона применительно к движению единичного объема — электронной и ионной ,компонент плазмы — под действием градиентов давления, электрического поля и сил взаимного трения.
В описанной картине плазма является смесью двух взаимопроник"ющих жидкостей, взаимодействующих д~руг с другом через самосогласованное электрическое поле и силу трения из-за парных соударений. Во многих задачах, когда плазма сохраняет свою квазинейтральность и,=п;=а, удобно пользоваться и более простой моделью одножидкостной гидродннамики.
Складывая уравнения (1.105) для ионов и электронов и принимая во внимание, что члены, обусловленные трением между электронной и ионной компонентами, сокращаются„получаем щ;п(дц ~д1+ (и угад)ц)= — пгад(р;+р,), (1,107) где ц=ц~+ (ше/г%) пе Это основное уравнение одножидкостной гидродинамики плазмы уже не содержит электрического поля. Следует подчеркнуть, что в плазме электрическое поле, как правило, возникает и в том случае, если нет внешнего источника. Вообще говоря, согласно условию сохранения квазинейтральности потоки электронов и ионов через любую замкнутую поверхность должны быть равны, Поскольку электроны подвижнее ионов, то при .возникновении градиента давления электронный поток из области высокого давления в область более низкого сначала превысит поток ионов.
Вследствие этого произойдет поляризация плазмы и появится электрическое поле, которое будет тормозить электроны и ускорять ионы. До сих пор рассматривался случай полностью ионизованной плазмы. В слабоионизованной среде заряженные частицы, представляющие слабый раствор плазмы, не могут разогнаться под действием собственных градиентов давления вследствие торможе- 62 ния из-за частых столкновений с нейтральными частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
