Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Основной вклад в силу трения должны давать столкновения ионов с нейтральными атомами и молекулами: Гтэ= — тбчич1ч. (1.108) Когда градиент полного давления плазмы угад(р;+р,) уравновешивается трением о нейтральный газ, движение плазмы носит характер диффузии. Действительно, из условия баланса силы трения и градиента давления имеем — ятад р — т;ипчм=О; ц= — (пт,чм) — 1пгад р. (1.109) В случае однородности температуры Т(г)=сопз1, следовательно, и= — (Т/пт,чм) йтад и. Подставляя это выражение для скорости в уравнение непрерывности ди/д1+ д)ч пи=О, получаем дп )д(= (Т1т;чм) д(ч пгад и.
(1.110) Это уравнение описывает диффузионный процесс с коэффициентом диффузии 0=Т( т;чм. (1.111) Заключая разбор гидродииамического описания плазмы, следует подчеркнуть, что деление плазм на гидродинамические и кинетические было бы в корне ошибочным.
Один и тот же плазменный объект в одно и то же время может обнаруживать и гидродинамические, и кинетические (бесстолмновительные) свойства. Так, например, плазма газового разряда в макроскопических масштабах, как правило, достаточно хорошо описывается в рамках гидродинамической модели (включая явления переноса; диффузия, закон Ома и т. д.).
Вместе с тем в микроскопических масштабах (с характерными размерами, много меньшими длины свободного пробега) поведение той же плазмы газового разряда всегда носит бесстолкновителыный характер. В такой плазме вообще можно пренебрегать обычными столкновениями. К процессам, которые нужно ~рассматривать в микроскопической шкале, относятся колебания плазмы, распространение электромагнитных волн, затухание волн по Ландау. Таким образом, граница раздела между разными методами описания является границей раздела не видов плазм, а явлений, происходящих в них. Подобно тому как явления с характерными длинами, значительно превышающими длины свободного пробега, составляют особый предмет — гидродинамическое описание плазмы, микроскопические процессы с характерными масштабами, много меньшими длины свободного, пробега, составляют самостоятельный .раздел физики плазмы — бесстолкновительную плазму, описываемую системой бесстолкновительных кинети- 63 ческих уравнений.
Следует иметь в виду, что кинетическое описание плазмы намного более громоздко, чем описание в рамках гидродинамических уравнений, и было бы крайне тяжело для описания всех бесстолкновительных процессов применять кинетический метод, Однако в некоторых случаях этот метод описания беостолкновительной плазмы можно существенно упростить путем перехода к уравнениям своеобразной бесстолмновительной гидродинамики. цэлзическая причина возможности такого перехода совершенно иная', чем в обычной гидродинамике. Дело в том, что беостолкновительная гидродинамика обычно применяется для описания волновых и колебательных процессов, когда кроме частоты столкновений возникает еще один характер.ный временной масштаб — частота колебаний.
Если в столкновительном случае переход к гидродинамике, т. с. пренебрежение тепловым движением частиц, означает малость длины свободного пробега пт/ч по сравнению с характерным пространственным масштабом задачи Т., то в бесстолкновительном случае переход к гидродинамике и пренебрежение тепловым движением возможны при условии малости параметра от/гз по сравнению с длиной волны Х. Последнее условие фактически означает, что бесстолкновительная .гидродинамика применима, если тепловая скорость частиц много меньше характерной скорости возникающих в плазме волновых движений. Система уравнений бесстолкновительной гидродияамикн состоит из уравнений (1.104) и (1.105), в которых не учитывается сила трения. $1.11.
Звук в плазме В начале книги говорилось о ленгмюровских колебаниях. Было отмечено, что кроме электронных колебаний существуют также и з в у ко в ы е (иногда их называют и он н о- з в у к о в ы м и), обусловленные движением ионов. Свойства всех видов колебаний можно исследовать единым методом на основе кинетических уравнений (см. $ 1.12). Здесь же мы проведем более простой и наглядный анализ звуковых колебаний плазмы в рамках гидродинамической модели. Как и в любой сплошной среде, при звуковых колебаниях плазмы роль квазиупругой возвращающей силы играют силы газового давления. В одножндкостной гидродинамике плазмы 1см.
уравнение (1.107) ] давление складывается из суммы электронного и ионного р=р;+р„и соответственно этому хорошо известное выражение для скорости звука ' в обычной сплошной среде с,= =(др,,'др)па трансформируется в [д(рг+р,) (др~п'. Как обычно, здесь под частной производной подразумевается так называемая ,адиабатнческая производная, вычисляемая при постоянной энтропии. Тогда с',=у(Т,+Т;) !и; при т=б/3. Процессы последовательного сжатия и расширения плазмы в звуковых волнах можно считать аднабатическими, если возниз4 каюшие при этом перепады температур не успевают выравниваться из-за теплопроводности.
Сравним член дТ(д1, описывающий колебания температуры в уравнении баланса тепла, с членом ХЬТ, описывающим теплообмен. В звуковой волне при Т ехр 11(/гх — Ы)1 производная по времени дТ(д1= — (ыТ, а второй член превращается в Х~Т= — ХйРТ. Тогда условие адиабатичности дТ(д1>>ХИТ примет вид а»йзХ.
Но электронная и ионная компоненты плазмы имеют сильно различающиеся коэффициенты теплопроводности (см. 9 1.9). Труднее выполнить условие адиабатичности для электронной компоненты. Неравенство е»АХ можно представить в виде гв(И вЂ” (Т(т;) из»АХ=2пХ(Х, (1.112) где Х вЂ” длина волны. Подставляя сюда вместо т электронную температуропроводность т,"1.иге(3, получаем неравенство Х» (2п1,(3) (т;(т,) 'й (1.113) Это значит, что полностью адиабатическими являются только звуковые колебания с длиной волны, по крайней мере на два порядка большей длины свободного пробега электронов. При обратном условии 1,(т;(т,) м»Х (1.114) но при Х»1~ звук изотермичен для электронной компоненты, но адиабатичен для ионной.
Выражение для скорости звука в этом случае можно записать так: с,=(Т,(т;+ (5(З) Т; (т;) пз. (1.115) Таким образом, аналогия со звуком в обычном сжимаемом газе не является полной из-за двухкомпонентности плазмы. Однако по- настоящему аномальные свойства плазмы проявляются при еше более, коротких длинах волн.
Обычный звук с приближением длины волны к длине свободного пробега'начинает все сильнее затухать (из-за вязкости и теплопроводности) и при условии Х«1 вообще не может существовать. Ясно, что любое возмущение плотности в свободномолекулярном потоке рассеивается из-за теплового движения отдельных частиц. В плазме же прп отсутствии парных столкновений частицы взаимодействуют через самосогласованное электрическое поле. Подобно тому как электрическое поле такого типа приводит к ленгмюровским колебаниям электронов, возникает возможность существования и колебаний звукового типа, в которых участвуют и ионы, если частоты колебаний настолько малы, что ионы успевают реагировать, на изменения поля.
Таким образом, упругая связь между электронной и ионной компонентами в коротковолновом звуке осуществляется благодаря возникновению электрического поля, а температуры электронов и ионов в такой звуковой волне остаются постони~ными. Сделаем небольшое .отступление и отметим одно общее обстоятельстдо, весьма важное для волновых процессов в плазме.
Вообще говоря, как и в любой физической системе, колебания в плаз- 5 — 74 бя ме являются нелинейными. Однако исследование волновых и колебательных процессов в плазме целесообразно начать с линейной теории. В линейной теории рассматриваются колебания плазмы достаточно малой амплитуды, соответствующие малым возмущениям исходного равновесного состояния плазмы, на фоне которого они развиваются. В кинетической теории малость амплитуды колебаний означает, что возмущение функции распределения, связанное с колебаниями и волнами, во всей физически важной области скоростей мало по сравнению с исходной равновесной функцией распределения: 1=10+б1; б1'«1ь Соответственно этому в гид~родинамической теории следует считать, что все физические величины, связанные с колебаниями и волнами, также достаточно малы: бп«пм е~р<<пзах(Т, та»(й') би<<гв(И, ~<<1!й, где бп — возмущение плотности в колебаниях; ~р — их характерный потенциал; би и $ — характерное значение скорости,и смещения частиц в колебаниях соответственно.
Поэтому основная математическая процедура, которая превращает общие уравнения колебаний, будь то кинетические уравнения или уравнения гидродинамики, в уравнения линейной теории, †э процедура линеаризации. Линеаризация означает, что все физические величины, характеризующие состояние плазмы, представляются в виде суммы их равновесного значения и возмущения, связанного с колебаниями и волнами, и в исходных уравнениях пренебрегается слагаемыми второго и более высокого порядка по амплитуде возмущений. Вернемся теперь к рассмотрению бесстолкновительного звука, ограничившись в этом параграфе линейной теорией. Можно ожидать, что, как и в столкновительном случае, рассматриваемая звуковая волна достаточно медленная — ее фазовая скорость много меньше тепловой скорости электронов.
Фактически это означает, что возмущение, создаваемое волной, является квазистатическим для электронов и в измсняющемся со временем электрическом поле волны они всякий раз успевают «подстроиться» под стационарное распределение Больцмана: пе=л«ехр(е<р(Те). (1.116) Для колебаний малой амплитуды следует, как мы уже знаем, линеаризовать эту формулу.
В результате линеаризаци~и находим, что возмущение электронной плотности связано с потенциалом волны следующим соотношением: (1.116а) бне = лов т / Те. Для ионов, наоборот считаем выполненным условие в/я»ать Как отмечалось выше, это и есть условие применимости бесстолкновительной гидродинамики. Поэтому движение ионов в бесстолкновительной звуковой волне будем рассматривать с помощью линеаризованной по амплитуде возмущений гидродинамической 66 системы уравнений без силы трения: т,дби,~д1= — адар/дх — (Т,(п,) дбп,.(дх; д3п, (д(+ п,дйи,(дх = О. (1.117) Сравнивая различные слагаемые в этих уравнениях, нетрудно по- казать, что силой давления (последнее слагаемое в,правой части (1.117)1 при выполнении условия а~йит; можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
