Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 13
Текст из файла (страница 13)
в возбуждении уже знакомых нам плазменных колебаний. Для иллюстрации механизма поляризационных потерь ограничимся для простоты случаем нерелятнвистских скоростей частицы. Перейдем к фурье-представлению электрического потенциала колебаний, вызываемых такой заряженной частицей: у (6 г) =(1,'2я)' ~ ЙМа ехр (1кг — Ы) р„„. (1.73) Плотность заряда, создаваемая точечным зарядом, движущимся со скоростью ч, определяется как р,= — вб(г — ч1). Разложим 6-функцню по плоским волнам: 6 (г — ч() = (1/2в)' Ц В (а — йч) ехр [рйг — 1а() аЪ па, Тогда фурье-компонента плотности заряда — еб(г — ч1) есть р'„= — 2яеВ (а — кч). (1.74) Воспользуемся уравнением Пуассона, записанным для каждой фурье-компоненты: е (а, й) й'у„=4яр'„, (1.75) причем е(тв)=1 — азр/аз — обычная диэлектрическая проницаемость холодной плазмы для волны с фиксированной частотой [см.
(1.35)]. Тогда для отдельной фурье-гармоники потенциала имеем следующее уравнение: у„= — (8в'е('е (а) й') 6 (а — йч). (1.76) Отсюда сразу следует, что заряженная частица возбуждает только те гармоники потенциала, которые находятся в фазовом резонансе с этой частицей, т. е. скорость движения частицы в направлении распространения волны должна совпадать с фазовой скоростью волны Ао соз О=а. Мощность излучения определяется формулой вцГ~пг = — ) Е, (1.77) где 1= — ечб(г — ч() — плотность тока, создаваемая движущимся электроном; Е= — 7~р — электрическое поле плазменных колебаний; черта в правой части (1.77) соответствует усреднению по расстояниям, большим по сравнению с длиной волны. С помощью (1.76) получим г(Уг(М=8п'езрч1 (2п) 4 1" НМе (й/йзе (со) ) 6 (а — йч) .
(1.78) 4' 51 Подынтегральное выражение имеет особенность при частотах ,а="=ы». Эта особенность аналогична рассматривавшейся в 8 1.7 :и имеет резонансный характер. Однако если при распространении электромагнитной волны в 'неоднородной плазме резонанс имеет пространственный характер (возникает в слое в»'(г) = ез1, то в эффекте поляризационных потерь резонанс возникает в спектре по частотам (при интегрировании по частоте). Для устранения особенности подынтегрального выражения по аналогии с $ 1.7 введем малое затухание.
Тогда с учетом мнимой части в(в) получим 1/а(е)=аР /(а' — оР +(ты). 'Кроме действительной части это выражение имеет мнимую часть, которую в пределе т — «4) можно представить как 1нп 1ш [1/(е' — оз' + жо)] = — яб (м' — е' ). м.+а Согласно формуле (1.78) в интеграле, определяющем мощность :потерь, существен только вклад от 6-функции. Выполнив интегрирование, придем к следующей формуле для мощности потерь: г(Ю~г(1 = 16я'е*а'рЯ2«)' ~ пкЬ (« — 'кч)(й'. Для получения окончательной формулы следует проинтегри:ровать в (1.79) по й и по й . Последний интеграл логарифми.
чески расходится при больших А ь, и его необходимо обрезать при .йа, 1/Ь. Здесь Ь вЂ” минимальный прицельный параметр «коллективных» столкновений, т. е. расстояние, на котором становится неприменимым описание плазмы как сплошной среды. Очевидно, что Ь порядка радиуса дебаевского экранирования заряда гв= =(714пезпе) пз. Окончательный результат для скорости потерь имеет вид й%/гй1=(вело'~/и) !п (о/а„Ь).
(1.80) Величина, стоящая над знаком логарифма в этой формуле, — отно.шение скорости частицы к тепловой скорости, т. е. порядка 10 — 100. Поэтому 1п (о1«зрЬ) по порядку величины не сильно отличается от единицы. В этой связи напомним, что потери энергии на парные соударения с учетом многократного рассеяния по сравнению с формулой (1.80) содержат большой множитель — так называемый кулоновский логарифм, т. е. величину порядка 20.
Подобно тому как рассеяние на тепловых флуктуациях в кулоновский логарифм раз меньше рассеяния при парных столкновениях, потери энергии на излучение плазменных волн (поляризационные потери) в кулоновский логарифм раз меньше потерь энергии при парных .столкновениях. Следует иметь в виду, что поляризационные потери существенно увеличиваются при переходе от отдельных зарядов к пучкам заряженных частиц. В этом случае в актах излучения участвуют не отдельные электроны, а «бунчи» (сгусткн) когереит:Б2 но излучающих частиц, на которые разбивается пучок из-за неустойчивости. Г1ри этом в формуле (1.80) для мощности потерь следует заменить е на №фе, где №ф — число частиц в бунче, и соответственно этому потери, рассчитанные на одну частицу, возрастают пропорционально №ф(№э»1).
Самой сложной задачей является определение эффективного заряда бунча. Эту задачу можно решить только в рамках самосогласованной теории неустойчивости, основывающейся на кинетическом подходе. 5 1.9. Кинетическое уравнение для плазмы Идеальную плазму можно, как и обычный газ незаряженных частиц, описывать с помощью кинетического уравнения для функции распределения частиц в фазовом пространстве.
В этом случае, разумеется, нужно вводить свою функцию распределения для каждого сорта зарядов. В координатной записи функция распределения Г(х, у, з, в„о,, о„1) определяет плотность частиц на единицу объема в фазовом пространстве вблизи точки с геометрическими координатами х, у, з и компонентами скоростей в„., в„, о, для момента времени 1. Используем более компактную*форму записи, в которой функция распределения имеет вид Г(г, ч, 1) и относится к точке с векторными координатами г, ч.
Интеграл от функции распределения по всему объему в пространстве скоростей дает плотность в данном элементе геометрического объема а (г, 1) = ) 1 (г, ч, 1) гам. Как показано выше, на заряженные частицы плазмы могут воздействовать силовые поля двух типов: а) регулярные поля, создаваемые внешними источниками или избыточными зарядами в объемах с размерами, превышающими дебаевскую длину (как, например„для колебаний плазмы), и б) случайные микрополя отдельных частиц, вызывающие процессы рассеяния (столкновения). Кинетическое уравнение описывает изменение функции распределения Г(г, ч, й) во времени под действием указанных полей. Допустим сначала~' что микрополя относительно слабо влияют на процессы в плевые (это справедливо для плазмы с низкой концентрацией и очень высокой электронной и ионной температурами).
В этом случае изменение Г в некотором заданном элементе фазового объема происходит вследствие того, что каждая фазовая точка, изображающая отдельную частицу, непрерывно перемещается в геометрическом пространстве и пространстве скоростей. Причиной движения в пространстве скоростей может быть наличие в плазме макроскопического электрического поля Е (в общем случае Š— функция геометрических координат) . Вычислив потоки частиц, входящих в элементарный объем фазового пространства и выходящих нз него, нетрудно получить уравнение баланса частиц д~1д1= — (йг(Я Щ(дг) — (<Ь1г(1) (д~/дч).
(1.81) 53 Поскольку Нч/Ж дЕ/т, где д и т — соответственно заряд и масса частицы, то (1.81) равносильно уравнению д//д/= — чд//дг — (г/Е /т) '(д//дч) . (1.82) Это и есть кинетическое уравнение для заряженных частиц плазмы (для электронов или ионов), В формуле (1.82) д//дг обозначает вектор с компонентами д//дх, д//ду, д//«/г и соответственно д//дч есть вектор с компонентами д~/до„, д//до„, д//до,. Перенесем все члены уравнения (1.82) в левую часть и перепишем его в следующем виде: г///М=д//д/+чд//дг+ (г/Е/т) д/(/дч=0.
(!.83) В такой форме кинетическое уравнение имеет наиболее наглядный смысл, так как (1.83) означает сохранение плотности частиц в элементе фазового объема, движущемся вместе с выделенной группой частиц. Формула (1.83) — прямое следствие постоянства числа частиц и величины движущегося фазового объема (фазовый объем сохраняется по теореме Лиувилля, поскольку движение происходит в макроскопическом потенциальном поле). Злектрическое поле в плазме создается не только внешними источниками, но также объемными зарядами электронов и ионов.
Вклад объемных зарядов плазмы в напряженность электрического поля учитывается в дополнительном уравнении для Е: б(ч Е=4пр=4пе(Г„/;йч — /„/«г/ч). (1.84) Поле Е в этом уравнении называется с а м ос о гл а с о в а н н ы м (поскольку существует обратная связь между Е и /). Пренебрежение микрополями отдельных частиц, т.
е. кулоновскими столкновениями, справедливо, если ограничиться изучением процессов, разыгрывающихся за времена, меньшие среднего времени свободного пробега. Многие быстропротекающие явления в разреженной плазме, где столкновения редки, можно рассматривать в рамках такого приближения: колебания, развитие некоторых видов неустойчивостей и т. п. Система уравнений (1.83) и (1.84), описывающая поведение бесстолкновительной плазмы, широко известна под названием «уравнения Власова». В случае когда значительную роль в поведении плазмы играют не только макроскопические поля Х>гп, но и микрополя отдельных частиц, ответственные за процессы кулоновского рассеяния, равенство (1.83) перестает быть справедливым. В отдельном акте кулоновского столкновения вектор скорости электрона (или иона) испытывает конечное изменение, и частица перебрасывается из одной области пространства скоростей в другую, Поэтому в малом элементе фазового объема, который движется вместе с принадлежащими к нему частицами вдоль фазовой траектории, определяемой действием макроскопического поля, полное число частиц в общем случае не должно оставаться постоянным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
