Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Учитывая роль кулоновских столкновений, заменим (1.83) следующим соотношением: ~///И=81(/). (1,85) 54 Выражение, стоящее в правой части, называется интегралом с т о л к н о в е н и й. Для того чтобы найти этот интеграл, нужно вычислить результирующий эффект миграции частиц в пространстве скоростей, происходящий вследствие процессов кулоновского рассеяния. Не будем приводить здесь явное выражение для строгого интеграла столкновений не только потому, что такие вычисления выходят за рамки данной книги, но и потому, что многие свойства плазмы можно выяснить с помощью более простых приближений. К наибольшим упрощениям ведет интерполяция интеграла столкновений формулой 81(/)=(/ — /) / .
(! .86) Это так называемое т-приближение в кинетической теории. В приведенной формуле т обозначает среднее время свободного пробега частиц. В правой части '(1.86) /,— равновесная максвелловская функция распределения. Физический смысл правой части уравнения (1.86) заключается в том, что в результате столкновений восстанавливается максвелловское распределение по скоростям, / экспоненциально приближается к /о с характерным временем установления т.
Как видно из рассмотрения столкновений между частицами плазмы, понятие т как среднего времени между столкновениями неоднозначно. Различные процессы в плазме характеризуются разными т, причем это различие может быть чрезвычайно большим. Так, время обмена энергиями между электронами и ионами приблизительно в т;/т, раз больше времени потери импульса электронами при соударении с ионами. Даже для одинаковых частиц время столкновения зависит еще и от скорости. Это означает, что пользоваться кинетическим уравнением в т-приближении следует весьма осторожно.
Выбирать т в интерполяционной формуле, заменяющей интеграл столкновений, нужно в зависимости от конкретной постановки задачи. Так, например, в задаче о законе Ома следует выбрать т равным среднему времени потери импульса электронами при столкновениях с ионами. Покажем, как с помощью кинетического уравнения для электронов в т-приближении можно получить формулу для электропроводности. В этом случае кинетическое уравнение имеет вид (еЕ /те) д//ду= (/о — '/) / гм ° (1.87) Пусть /=/о+/ь При достаточно малом электрическом поле второй член представляет собой лишь относительно небольшую добавку к /о, и поэтому можно пренебречь произведением двух малых сомножителей (еЕ/т,) д/1/де.
Тогда (еЕ/т,) д~о/дъ= — /~ /т,ь (1.88) Отсюда /= — е~к/, (ч) г/ч=(е'Е/т,) о„~/,до=(ае'/т,) оыЕ, т. е. приходим к выведенной в ф 1.5 формуле электропроводности. 55 Теперь раскроем смысл приближения слабого электрического поля. Условие 11«уо можно объяснить с помощью формулы (1.88), пользуясь также тем, что по порядку величины д)с(до-4о1от. В итоге получаем (еЕ/т,) (т„)чт) «1 илн (еЕ/Т,)Хы«1. Это значит, что энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле на длине свободного пробега, должна быть намного меньше тепловой.
При нахождении коэффициента электронной теплопроводиостн нужно учитывать столкновения электронов друг с другом и с ионами. Напротив, в задаче об ионной теплопроводности полностью ионизованной плазмы т — среднее время столкновения иона с ионами; столкновения же ионов с электронами здесь можно не учитывать, так как ионы'практически не рассеиваются иа электронах. В тех случаях, когда существенны столкновения заряженных частиц с нейтральными атомами и молекулами, вводятся другие характерные времена т. Следует еще раз подчеркнуть, что кажущийся произвол, связанный с выбором т, в действительности можно устранить при корректном подходе к отдельным конкретным задачам о поведении плазмы в различных физических процессах.
Для определения коэффициента теплопроводности воспользуемся методом кинетического уравнения. Если плазма находится в стационарном состоянии, а внешнее электрическое поле отсутствует, то одДдх=До — ~) 1т. (1.89) Здесь х — направление градиента температуры. Для достаточно плотной плазмы, в которой длина свободного пробега 1 от мала по сравнению с характерными линейными размерами, функцию можно Разложить в РЯд по степенЯм малого паРаметРа зс 1=)с+ +11+..., где )з — максвелловская функция распределения "; $о=п(т|2пТ) ыа ехр ( — тот12Т(х) ). В следующем приближении имеем )', = — сод~,~дх= ( — пто (т~2п)П") Х Х (тО1 2Т" — 11'2Т'~~) ехр ( — то'~Т) дТ1'дх. Каждая компонента плазмы переносит поток тепла д= ) (о/2) то-"1'(о) до= ) (о/2) то'-1,по — ) (о12) тоТ",с(о. Первый из этих интегралов равен нулю.
Вычисляя второй интеграл, находим, что о=8ппт(Т1т) дТ)дх. (1.90) Суммарный поток тепла для плазмы получится, если сложить потоки тепла, которые переносятся электронами и ионами. Однако ' Этот упрощенный расчет выполняется лля одномерной модели плазмы. из (1.90) следует, что ионный поток тепла исчезающе мал по сравнению с электронным (так как т,/т;«1). Поэтому коэффициент теплопроводности плазмы х=3ппт ( Т,/т,) . (1.91) где т — время между двумя столкновениями для электронов. Здесь нужно учитывать любые столкновения электронов (как друг с другом, так и с ионами).
Но поскольку те геь то порядок величины пе изменится, если положить х (3/2)пптее(Те/те) ° (1.92) Правильный численный множитель в этом выражении для коэффициента теплопроводности дает строгая кинетическая теория с точным, а не приближенным интегралом столкновений. Не проводя здесь слишком громоздких вычислений, приведем результат такой строгой теории: я=3,203 ( и Т,тм/т), (1.93) где „,= — (Зеб !0'/У .) (Тзв/п). Таким образом, в плазме носителями тепла и электрического тока являются электроны (по крайней мере в отсутствие магнитного поля).
В этом смысле плазма близка по своим свойствам к металлам. Естественно, что и для плазмы справедлив аналог закона Видемаиа — Франца, утверждающий, что отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности пропорционально температуре. Это следует из (1.22) и (1.93). Однако упрощенная форма интеграла столкновений в т-приближении хотя и описывает установление максвелловского распределения, но не отражает основную особенность кулоновского рассеяния, которая приводит к медленному («диффузионному») изменению вектора скорости частиц, имеющему место в результате многократног рассеяния на малые углы. Л. Д.
Ландау привел интеграл стол новений между заряженными частицами к специальной днффузн ной форме (напоминающей диффузию по Фоккеру — Пла, учитывая рассеяние частиц только на очень малые углы. Но даже этот вывод довольно громоздок. Воспользуемся некоторыми дополнительными упрощениями, чтобы проиллюстрировать идею диффузионного подхода к интегралу столкновений.
Прн этом ограничимся рассмотрением функции распределения, зависящей лишь от одной компоненты скорости /(о) (это значит, что по двум другим составляющим скорости проведено интегрирование), и будем считать, что рассеивающие заряженные частицы находятся в состоянии теплового равновесия с некоторой температурой Т, В диффузионном приближении влияние многократных столкновений приводит, во;первых, к появлению силы динамического трения г",;,= — то» и, во-вторых, к диффузионному блужданию ско- вт Х1 (о) = — (Т/гл) т и диффузионный интеграл столкновений Я(/)= — (д/до) [т(о/+(Т/т)д//до)). Полученный результат весьма просто обобщается на трехмерный случай, когда тензор коэффициентов диффузии Х) =(Ьо йпз)/М, вид которого также можно определить из условия обращения в нуль интеграла столкновений для равновесной максвелловской функции распределения с температурой, равной температуре термостата: Х1 = — (Т/и,) ч (о„о /о').
Учитывая также возможность столкновения электронов с несколькими рассеивающими центрами, интеграл столкновений запишем в виде (1.96) рости рассеиваемой частицы под действием толчков, создаваемых тепловым движением рассеивающих зарядов. Соответственно в интеграле столкновений появятся два члена.
Один из них, который описывает регулярное изменение скорости из-за силы трения г/о/Ж= †, дает в левой части кинетического уравнения слагаемое д(до/д1)//да, т. е. — д(оч/)/до. Оно совершенно аналогично члену б(чг ((дг/Ж)п), т. е. Жч (чп), в обычном уравнении непрерывности. Поэтому нет нужды в более строгом доказательстве. Другой член описывает диффузию д(В(о)д//до) /до с некоторым коэффициентом:0(о), который можно выразить через ту же частоту столкновений т, вводя эффективный шаг блужданий скорости В(о) =Ыт.
Строгое рассмотрение многократного рассеяния должно дать величину Л~~. Однако при сделанном выше упрощающем предположении о том, что рассеивающие частицы имеют определенную температуру Т, ответ получить еще легче. Под действием столкновений с рассеивающими зарядами, по сути дела играющими роль термостата, функция распределения /(о) рассеиваемых частиц должна стремиться к максвелловской с температурой термостата Т, так что интеграл столкновений Я(/)='(д/до) [ — то/+Х1 (о) д//до) (1.94) должен обращаться в нуль в тех случаях, когда функция распределения / совпадает с максвелловской: /о=сонэ( ехр ( — то'/2Т) .
Отсюда находим, что В некоторых случаях, когда под действием каких-либо внешних факторов (иапример, плазменной волны) в некоторой области пространства скоростей у функции распределения рассеиваемых частиц появляются большие градиенты, в интеграле столкновений для этой области скоростей достаточно удержать только вторую производную. В этом случае эффективной оказывается следующая форма интеграла столкновений; 81(/)= — око (дк (/ — /о) /до'), (1.98) которая также описывает установление максвелловского распределения /о.
Детальный анализ свойств плазмы, связанных с влиянием столкновений и строгим методом кинетических уравнений, слишком громоздок и не входит в задачу авторов книги. Следует иметь в виду, что (как уже отмечалось) для большого круга проблем в физике плазмы (например, связанных с колебаниями и волнами) правая часть кинетического уравнения не существенна, если речь идет о поведении плазмы за времена, значительно меньшие времени свободного пробега.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
