Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Рассмотрим сначала звуковые колебания. Прежде всего приведем оба слагаемых в фигурных скобках правой части уравнения (1.127) к более, простому виду. Начнем со второго слагаемого, представляющего собой вклад электронов. В предыдущем параграфе показано, что средняя тепловая скорость электронов намного больше фазовой скорости звуковых волн а/Л«от, (или м«Бт.). По этой причине в основной областй интегрирования в знаменателе подынтегрального выражения 1/(в — ло) для электронов можно пренебречь ы по сравнению с йо. Упрощенный интеграл )" (д/м/до) Ыо/о для максвелловского распределения электронов по скоростям /м=п,(т,/2пТ,)и'ехр( — т,о'/2Т,) равен — поте(Т, т. е. ее=1/йзгзо. При вычислении «ионного» интеграла (первое слагаемое в фигурных скобках) следует предположить„что фазовая скорость воли существенно превышает среднюю тепловую скорость ионов в»йоть Согласно $1.11 это условие выполняется лишь в плазме с холодными ионами Т,«Т,, Если в знаменателе выражения для ионов в формуле (1.12б) пренебречь йо,по сравнению с ы, то интеграл тождественно обратится в нуль.
Следовательно, нужно удержать второй член в разложении 1/ы — 'во =1/тз+ло/в'+ .... В результате получаем которое получено ранее при гидродинамическом рассмотрении (1.12! ). Физический смысл бесстолкновительного затухания волн в плазме детально исследовался в 3 1.2 на примере ленгмюровскнх колебаний. Бесстолкновительное затухание своим возникновением обязано поглощению энергии волны частицами, движущимися со скоростью равной фазовой и поэтому длительное время сохраняющими фазовый резонанс с волной.
Поэтому при рассмотрении количественной стороны эффекта естественно использовать закон сохранения энергии в системе волна — резонансные частицы. Для его вывода обратимся к дисперсионному уравнению (1.127). Учтем, что диэлектрическая проницаемость плазмы, которая определяется интегралами по скоростям частиц, входящими в правую часть (1.127), в действительности имеет небольшую мнимую часть, математическая причина ее возникновения — наличие особенности (полюса) подынтегрального вьграження в точке о=в/й.
Появление мнимой части диэлектрической проницаемости как раз и приводит к возникновению бесстолкновительного затухания волны. Разобьем диэлектрическую проницаемость на действигельную и мнимую части: е(в, А) =е'(в, А) +!е" (в, й). Тогда действительная часть частоты в'(в=в'+!7) будет решением действительной части дисперснонного уравнения: а'(в', й) =О. Уравнение для у — это мнимая часть дисперсионного уравнения.
Прн 7«в', т. е. при е"«а', уравнение 1гп е'(в) +е" (в) =0 можно привести к виду уде'/дв'= — е" (в'), (1.130) разложив е'(в+17) в ряд с точностью до первого члена по 17/в. Домножим обе части уравнения (1.130) на в!Е~'/4в. Тогда, учитывая, что ЯЕ ~ ~ ~й=27 ~ Е~~, а диэлектрическая проницаемость е связана с проводимостью и соотношением е=14по/в, представим уравнение для 7 в следующем виде: Н/д! в де/дв(Е'/8п) = — Ке п(Е').
(1.13! ) Здесь угловые скобки означают усреднение;по длине волны колебаний. Это уравнение выражает закон сохранения энергии в системе волна — резонансные частицы. Величина и = вдз!дв ( Е78п) (1. 132) имеет смысл энергии монохроматической продольной волны, которая .складывается из потенциальной энергии (энергии электриче- 72 ского поля) волны ш„„= (Е78и) и энергии колебаний частиц ге„,а, Используя приведенные выше выражения для а, и е;, для энергии ионно-звуковой волны получаем и=2(~'~;1ы')(Ез/8п ). (1.133)' Вклад в эту энергию дают кинетическая энергия колебаний ионов (пот;би';12) = в'р, 1ю'(Е'18п), колебательная энергия электронов (блеют) = Яйэг'и) (Ед/8п) (считалось, что только квадратичные по амплитуде волны величины имеют отличное от нуля среднее значение, и в соответствии с этим оставлено под знаком среднего только слагаемое, пропорциональное бп), и, наконец, потенциальная энергия волны ( Е98п ). Для длинноволновых ионно-звуковых колебаний основной вклад в энергию обусловлен колебательной энергией частиц— естественный результат, поскольку для длинноволновой звуковой волны с малым разделением зарядов электрическое поле также мало, иначе говоря, плазма почти квазинейтральна.
Изменение во времени энергии волны определяется диссипацией, связанной с взаимодействием волна — резонансные частицы. Диссипируемая мощность пропорциональна цен, и ее можно представить в виде работы поля волны Е над резонансными частицами: КепЕз=(1Р Е). Возвращаясь к амплитуде потенциала электростатической волны ~рд, закон сохранения энергии в системе волна — резонансные частицы запишем в следующей форме: (1. 134) Диссипация энергии волны, связанная с резонансными частицами, как ясно из приведенного выше вывода, выражается через мнимукз часть е(е, й), ее легко можно найти из конкретной формулы для е(в, и) 1см. (1.128)1. Мы, однако, проведем здесь независимый вывод формулы для диссипируемой мощности ( 1Р Е ), поскольку такой вывод, проясняет физический смьгсл бесстолкновительного затухания Ландау.
Ток 1р" просто выражается через возмущение равновесной функции распределения резонансных частиц 1"'= ч'„е,~ об)Р'по, где суммирование проводится по двум сортам частиц — электронам и ионам. Подставляя сюда функцию распределения 81 из 73 уравнения (1.123), можно легко вычислить среднее в правой части уравнения (1.134). Рассмотрим, для примера, ионный вклад: ((аюЕ)=(/(е'/2т,) ~ та„~ ' ехр(1(/зх — ю/))+к. с.~)( Х( — — ра ехр(1(/ах — ю1))+к. с.1/=(1/4) (е'/т,) р'а/а'')од/,/до,'к, )( (1/(йи — ю) — К. С.) НО. (1.135) Здесь проведено усреднение по времени и учтено, что величины 6/,'~р — вещественны.
Использованное ранее комплексное представление этих величин справедливо только в линейной теории, при вычислении же квадратичных комбинаций, таких . как (1Е), в приведенных выше формулах для 6/ и ~р надо, прибавить комплексно сопряженные слагаемые и множитель 1/2. Из (1.135) следует, что изи=оУ1+ (Уйт менение амплитуды волны связанос резонансной областьюскоростей,о=со/А, в которой имеется особенность подынтегрального Рис. 1.12. Обход особенности, возни- выражения. Здесь мывновьсталкаюшей в кинетической теории коле- киваемся с одним из типов резобаний плазмы из-за резонанса Лан- нансных плазменных явлений, дау о которых уже упоминалось в $ 1.7.
В данном случае речь идет о резонансе междучастицей и волной, фазовая скорость которой совпадает со скоростью частицы о=ю/й (резонанс Ландау). Как и раньше, для того чтобы устранить особенность в резонансе, введем в рассмотрение бесконечно малое затухание волны, связанное со столкновениями. Тогда из кинетического уравнения со з1озз-членом в форме (1.86), следует, что учет столкновений приводит к замене со — ив+1/т. Положение полюса о=из//а+1/йт смещается с действительной оси в верхнюю полуплоскость. Отсюда следует, что при интегрировании по о в формуле (1.135) особенность,подынтегрального выражения в точке о=си//с надо обходить снизу (рис.
1.12), в результате имеем 1пп 1/(йо — ю — 1/ч) = У (1/(йо — ю)) + 1ио (йо — ю). (1. 136) 1уч +о Здесь символ йа — главное значение, 6(х) — дельта-функция. Такое направление обхода особенности принято называть .правилом обхода Ландау. Подставляя в (1.135) 1/(йо — ю) из (1.136), выполняя интегрирование по о с учетом б-функции и суммируя вклад от ионов и электронов, приходим к следующему уравнению для амплитуды волны: д<р'~ /д/= (8пзиз/и'/аз(де/дсо) )~р'а Х Х (д/аз / до+ (лзс / гпа) д/аа / до). о=аз //з (1.137) 74 Для звуковой волны с законом дисперсии о=й(7,/т;)'", предполагая равновесные функции распределения электронов и ионов максвелловскими, получаем т = — (и/8)'~' в ((и,/и,)ив+ (Т,/Т,'))~ ехр ( — Т,/2Т,)), (1.138) что подтверждает возможность существования слабозатухающей (т«ез) звуковой волны в неизотермической (Т,»Т;) плазме.
Ионно-звуковые колебания плазмы напоминают фононы в металлах. Вместо неравенства Т;«Т, в металлах 7((Ек (Ег— энергия Ферми электронов). Таким образом, роль Т, играет Ек. Скорость звука в металлах порядка (Ек/т;)'1', а закон дисперсии напоминает зависимость, показанную на рис. 1.11. В термодинамически равновесной плазме для ионна-звуковых колебаний устанавливается спектр Рэлея — Джинса.
Взаимодействие электронов с такими тепловыми шумами звуковых волн дает вклад в длину свободного пробега по сравнению с парными кулоновскими столкновениями (как это было в случае ленгмюровскнх колебаний). Нетрудно представить, что при неустойчивых ионнозвуковых колебаниях, когда уровень шумов становится достаточно большим, длина свободного пробега может в основном определяться коллективным взаимодействием электронов с ионно-звуковыми колебаниями. Основная неустойчивость, специфическая для ионного звука,— это неустойчивость, возникающая в плазме с достаточно большим элекэрическим током. Действительно, в плазме с током электроны должны иметь относительно ионов среднюю скорость и„, связанную с:плотностью тока соотношением /=апис,.
Тогда функция распределения электронов имеет вид %е= С ехр( — псе (о — цы) /27) . Используя эту функцию распределения для электронов и предполагая, что ионы сохраняют максвелловское распределение (нх гоковая скорость в т;/т, раз меньше скорости электронов), получаем из (1.137) следующую формулу для декремента; (л/8) г ы((ы йцое) /й(Те/ш~) ~ + + (Те/ Т,) згзехр ( — Те/27;) ). (1.139)' Видно, что при иы)в/й- (7,/т;) и' вклад электронов в декремент меняет знак, т. е.
электроны вместо поглощения могут раскачивать ионно-звуковые колебания. Если ионная температура достаточно мала, то этот эффект перевешивает ионное затухание, и возиихает своеобразная когерентная накачка ионного звука электронами. Развитие такой неустойчивости может привести к резкому возРастанию электрического сопротивления, Но плазма с сильно возбужденными хаотическими ионно-звуковыми колебаниями находится в своеобразном турбулентном состоянии, трудно поддающемся теоретической интерпретации. Основной метод, используе- 75 мый теоретиками,.заключается в представлении 'подобной турбулентности как некоего газа квазичастиц — волн (в данном случае ионно-звуковых). В такой теории, которая здесь рассмотрена ниже, нслинейные эффекты при больших амплитудах волн интерпретируются как столкновения квазичастиц — волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
