Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ионно-звуковая неустойчивость реализуется только при не слишком больших скоростях электронного потока, когда направленная скорость электронов меньше их тепловой скорости. При больших скоростях электронов (больших электрических токах) возникает так называемая н еуст ой ч и в ость Б ун ем а н а— раскачка связанных друг с другом колебаний плотности заряда электронной и ионной компонент плазмы. Известно, что в плазме возможны два типа колебаний плотности заряда: быстрые электронные а Ь ар, и медленные ионные а<ар,. Если направленная скорость электронов достаточно велика,то в результате доплеровского сдвига частоты возможно своеобразное пересечение этих двух ветвей колебаний.
При этом медленные ионные колебания а ар; в системе отсчета, движущейся вместе с электронным потоком, .попадают .в резонанс с быстрыми колебаниями электронной плотности !а — 4иа) -ар,. В этих условиях и возникает неустойчивость Бунемана. Дисперсионное уравнение для этой неустойчивости, как обычно в случае:продольных колебаний, соответствует обращению в нуль диэлектрической проницаемости. Чтобы проиллюстрировать основные черты неустойчивости в терминах диэлектрической проницаемости, достаточно учесть лишь основной вклад ионов и электронов, соответствующий первым членам разложения интеграла (1.127).
Результат имеет вид е=1 — а ре7а а ре!(а — йиге) . (1.140) ДлЯ а«азизе последнее слагаемое можно Разложить; агр,! (а— — йи,,)'=агре)йги'ге+2а'реа)йгииг. Подставим это разложение в уравнение (1.140) и рассмотрим его решение для частного выбора волнового числа )г=ар,/иг,. Тогда из (1.140) получим ,з г 72 (1.141) Это кубическое уравнение имеет комплексный корень а=а'+!у с положительной мнимой частью, соответствующий экспоненциальному росту амплитуды со временем Е ехр(у!).
Инкремент нарастания амплитуды волны, определяемый из (1.141), равен Т=(3 ~~!'2~е )а~е а е . (1.142) Более строгий анализ исходного уравнения . (1.140) показал бы, что это и есть максимум инкремента и достигается он как раз при ее=аре/иае С развитием этой неустойчивости связывают резкое торможение электронного потока и, следовательно, механизм так называемого аномального сопротивления (см. 5 2.19) плазмы, наблюдающегося при достаточно больших силах тока !'=епиге>епог .
7б С использованием такой неустойчивости можно сконструировать своеобразный линейный ускоритель для ионов в электронном потоке. В этом случае (взаимопроникающие электронный и ионный потоки) неустойчива волна плотности заряда в электронном пучке в авив= — в„„одновременно находящаяся в черенковском резонансе с ионным пучком в — йизь Инкремент неустойчивости определяется формулой (1.142), а частота колебаний находится из уравнения (1.141) с учетом доплеровского сдвига частоты в результате направленного движения ионов: + 1/2пз а~з пз (1.143) Как следует из (1.143), неустойчивая волна движется быстрее ионного пучка. Поле такой волны и реализует высокочастотное поле линейного ускорителя.
В такой волне резонансные частицы (в данном случае ионный пучок) должны ускоряться. При этом, как обычно в линейных ускорителях, процесс непрерывного ускорения должен обеспечиваться .поддержанием непрерывного синхронизма,между волной и ускоряемыми частицами: и;(г) =в/й(г). Воспользовавшись также приведенным выше условием резонанса ~неустойчивой волны с электронным пучком и тем, что в«в„„условие синхронизма можно переписать в виде и(г) =ивв/вр,(г).
(1. 144) Если мощность, поглощаемая от электронного пучка, достаточно мала, то ток в пучке должен сохраняться: п,и„=сопз1. Поскольку, кроме того, частота ускоряющей волны постоянна в=сонэ(, а при нерелятивистских энергиях скорость ускоряемых ионов и растет, как обычно в линейных ускорителях, пропорционально г'и, то видно, что синхронизм .между ионами и ускоряющей их волной может быть легко обеспечен за счет профилированного изменения плотности в электронном пучке: п, — 1/гиз.
(1.144 а) Вообще, рассмотренная выше схема в значительной степени аналогична линейному ускорению. Основное отличие состоит в том, что мощность, необходимая для ускорения, не вводится в ускоритель извне, а из-за неустойчивости черпается от электронного пучка в самом процессе ускорения (так называемый колл ективный метод ускорения). Механизму неустойчивости Бунемана можно дать еще одну важную трактовку. Для волны плотности заряда в электронном пучке в — йиа,= — вр, производная де/дв= — 2/вр„ т. е. отрицательна.
Из формулы (1.132) следует, что в этом случае энергия волны отрицательна. Так называемая о т р и ц а т е л ь н о с т ь э н е р г н и в ол н ы означает, что при распространении такой волны в среде энергия среды (в данном случае электронного потока) уменьшается. Тогда любой механизм днссипацин (в рассмотренном здесь примере это ускорение ионов) должен прнво- ту дить к дальнейшему уменьшению энергии среды, а следовательно, и к росту амплитуды волны отрицательной энергии, т. е. к неустойчивости.
Этот результат следует также из уравнения (1.134) для амплитуды волны: диссипация (Кеп>0) в случае волны «отрицательной энергии» де/да><О приводит к неустойчивости (Н/Н/)Е'>О. В этом смысле рассмотренная неустойчивость является примером достаточно широкого класса неустойчивостей волн с отрицательной энергией. Волны отрицательной энергии возможны в неравновесных средах с запасом свободной энергии, таких, например, как электронные пучки. Диссипация энергии этих волн (в плазме такая днссипация может быть связана не только со столкновениями, но и с затуханием Ландау) является причиной неустойчивости. Неустойчивости волн отрицательной энергии также хорошо известны в радиофизике (резистивные генераторы и усилители на поглощении).
В последнем случае механизм диссипации связан с поглощением электромагнитной энергии в стенках резонатора или волновода. й 1.13. Кинетическая теория волн в плазме (ленгмюровские колебания) Рассмотрим свойства высокочастотных электронных (ленгмюровских) колебаний на основе дисперсионного уравнения (!.127). В этом случае речь идет о быстрых волнах с фазовой скоростью, существенно большей тепловой скорости электронов; что же касается ионов, то они не успевают участвовать в таких колебаниях из-за их большой массы. Поэтому для ленгмюровских колебаний в уравнении (1.127) достаточно ограничиться электронным вкладом.
В знаменателе соответствующего интеграла в (1.127) а»>йо — по крайней мере для скорости электроног.,порядка средней тепловой, т. е. в существенной области интегрирования по скоростям. Тогда для вычисления интеграла можно воспользоваться разложением 1/( ~о) 1/, +ьо/ г+(ьо)з/, з ) (ьо)з/„,4 (1 143) Подстановка (!.145) в электронный интеграл в дисперсионном уравнении (1.127) и последующее интегрирование по частям приводят к следующим результатам: (1/ь>),) д/зе/доНо— = 0 (% обращается в нуль на пределах интегрирования о-»-~- оо); (й/«зз) / ид/м/доНо=- — (й/а>з) и; (йз/ь>з) ) о'д/о,/доНо= — 0 (д/м/до — начальная функция как производная от максвелловской функции распределения); (Аз/«а') ) о'д/о,/додо= — 3(йза>') (Т,/т,) п.
?8 Разложение, аналогичное (1.145) с последующим интегрированием, можно было бы осуществить и с первь!м интегралом оправа в дисперсионном уравнении (1.127). Однако этот член, являющийся результатом учета движения ионов, оказывается в и;/т, раз меньше. Поэтому им можно пренебречь. В итоге вместо (1.127) получаем А'=lг'(щ'р/ы'+За' й'(Т,/т,)/тэ') (1.146) и при ы»Лот. приходим к уже известному закону дисперсии для электронных колебаний плазмы: в'=ю'„+ЗйзТ,/т,. Очевидно, что такое дисперсионное уравнение соответствует диэлектрической проницаемости е = 1 — чэзр/эзз (1 + Зйз (Те/те) /ыз) .
Нетрудно получить формулу для энергии ленгмюровской волны с помощью общей формулы (1.132). В случае ленгмюровской волны с Йгп«1, когда тепловые аоправки малы, эта формула принимает совсем простой вид: %'= ( Ез/4л) . (1.147) Интересно отметить, что для такой ленгмюровской волны, так жс как н для гармонических колебаний в аналитической механике, имеет место так называемая т е о р е м а в и р и а л а — среднее значение кинетической энергии колебаний частиц )т кол= ( погпбцзе/2)(Ез/8п) равно среднему значению потенциальной энергии волны К„„, = (Ез/8я). Этот результат также вполне естествен — уже из качественного рассмотрения, проведенного в ф 1.2, известно, что высокочастотные ленгмюровские колебания можно рассматривать как гармонические колебания электронов относительно неподвижных ионов.
Декремент затухания ленгмюровских колебаний определяется формулой (1.137), где в данном случае существен только электронный вклад. В результате для декремента затухания получаем выражение, отличающееся от приближенной формулы $1.2 лишь численным множителем и/2: 7 = (2я'е'/т,й') ид/',/до („„ (1.148) (мы учли, что дляленгмюровских колебаний де/ды=2ызр/ы'=2/ы). Для плазмы с максвелловским распределением по скоростям из (1.148) имеем формулу для декремента затухания, впервые полученную Л.
Д. Ландау: у= — (и/8) 'д(ар/йзгзв) ехр( — 3/2 — 1/2ят'о), (1,149) Подчеркнем интересную особенность затухания Ландау — как всякое явление, описываемое кинетическим уравнением (1.122) без тэ столкновений и поэтому сохраняющим энтропию (в соответствии с Н-теоремой Больцмана), такое затухание должно быть обратимым.
Для того чтобы разъяснить это, обратимся еще раз к качественной картине, рассмотренной в $ 1,2, Там мы для простоты считали, что потенциал волны имеет прямоугольный профиль (см. рис. 1.2). Для такого идеализированного профиля частицы, захваченные в потенциальную яму волны, т.
е. движущиеся достаточно медленно относительно волны ) о — ко/й ~ ~ (е<р/пт) из, меняют свою скорость только,при столкновении со стенкой потенциального барьера. Для этого случая мы разделили частицы иа две группы: частицы, догоняющие волну и, следовательно, теряющие свою энергию при таком столкновении, и частицы, отстающие от волны, а значит, получающие энергию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
