Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда соотношение (1.164) есть не что иное, как законы сохранения энергии и импульса при распаде исходного «кванта» (вм ко) на два дРугих — (вь 1с~), (аз, йз)" Первым теоретически предсказанным и детально исследованным еще в 1962 г. типом параметрической распадной неустойчивости явилась неустойчивость электронной ленгмюровской волны накачки. Волнами с индексами 1 и 2 в условиях (1.164) в этом случае являются другая .плазменная волна и ионно-звуковая волна, поэтому предполагается неизотермичность ~плазмы (Т,))Т,).
Эта неустойчивость часто называется распадом «плазмон — плазмон+ +фонон», хотя задача совершенно не квантовая. В дальнейшем параметрическая неустойчивость исследовалась для самых различных ветвей колебаний и волн. Несмотря на разнообразие типов волн в плазме и вытекающий отсюда большой выбор параметрических связей, все параметрические неустойчивости имеют одинаковую, природу. Поэтому удобно начать их рассмотрение с какой-нибудь простой модели, Очевидным обобщением уравнения Матье на случай волновой среды могло бы служить, например, следующее уравнение: д и(д(' — з' [1+ а соз (м 1 — И, к)) д'и~дх'+ 1и = 6.
(1.165) Подобно тому как в уравнении Матье модулируется собственная частота осциллятора, здесь модулируется скорость распространения волны. Слагаемое Ги, где Ь вЂ” линейный оператор, добавлено, чтобы учесть возможное отклонение от линейного закона дисперсии в=аз, коэффициенты в этом члене в принципе также можно модулировать. Будем искать условия параметрического возбуждения в уравнении (1,165) одновременно пары элементарных волн.
Для этого приведем уравнение (1.165) к виду, напоминающему уравнение гармонического осциллятора с правой частью (вынуждающая сила), Удобно перейти к фурье-компонентам их= ) иехр(1йх)дх и:перенести слагаемое, учитывающее влияние волны накачки, в правую часть: три (п1'-(-а'(й) и = — (1/2) з'(й, — А)'аехр( — 1м,() й — (1/2) з'(я,+А)'а ехр(1«,1) и»+», (1. 166) где ыз(й) =зЧ'+Е(А) — закон дисперсии волн (для простоты считаем, что модулируется только скорость распространения волн). 92 Вынуждающая сила будет в резонансе с собственной частотой осциллятора вм если выполнено условие (1.167) Выберем в этом условии знак минус, тогда приведенное соотношение совпадает, как нетрудно .видеть, с распадным условием (1.164) для частоты.
В этом случае в правой части уравнения (1.166) существенно только первое слагаемое. Волна и», в свою очередь, описывается аналогичным уравнением: Н'й» /И+в' и+» = — (1/2) зЧг'ехр(1в,1) и»вЂ” — (1/2) а 124, — й)' г' ехр ( — (в,1) й . (1. 168) При выполнении резонансного условия на частоту в, — в =в„, в правой части уравнения (1.168) также существенно только первое слагаемое.
Итак, рассмотренное здесь параметрическое взаимодействие волн в нелинейной среде ничем не отличается от параметрического резонанса в системе двух связанных осцилляторов и», и Однако эта аналогия стала полной лишь в силу использованного предположения — мы опустили слагаемое и» » в правой части уравнения (1.166) и аналогичный член в уравнении (1.168).
Дело в том, что для одновременного возбуждения осцилляторов и , и » должны выполняться два распадных условия для »о+» частоты: вв в»,— » в» в»,+» ве в»' Их совместное выполнение практически маловероятно. Поэтому хотя в литературе и были попытки исследования этого случая, они не представляют существенного интереса в общем случае и здесь, не рассматриваются. Параметрическая связь между осцилляторамн приводит к смещению частоты. Будем интересоваться случаем, когда поправка к частоте становится мнимой и, следовательно, соответствует неустойчивости. Решение системы уравнений (1.166), (1.168) ищем в виде и»=й»ехр( — 1в1); и =й ехр( — 1(в — в,)1). Подстановка в (1.166) и (1.168) дает следующую систему уравнений (в' — в'») и» вЂ”вЂ” (аз'/2) (й, — й)'ии+ (1.169) При малой параметрической связи частота осцилляторов близка к линейной; в=в»+1у, ~у/в»~ ((1.
Тогда, используя распадное 93 Условие ыд=4аз — м, ь, полУчим из УсловиЯ РазРешимости системы (1.169) следующее уравнение для у: 7' = ~'г'й' (й, — А)'/16 (1.170) Неустойчивость развивается при 7') О, т. е. при »4»4 4 )О, »о — А это вместе с распадным условием для частоты означает, что для возникновения параметрической неустойчивости необходимо, чтобы мв ) м»1 (1.
171) Смысл полученного результата достаточно очевиден на «квантовом» языке: квант волны накачки (шм Аз) имеет ббльшую частоту, а, следовательно, и ббльшую энергию, чем квант любой из образующихся при распаде пробных волн, поскольку при распаде часть энергии уносится вторым квантом. После обсуждения такой символической модели рассмотрим уже упоминавшийся выше распад плазменной волны на плазменную волну и звук. Основной нелинейный эффект, приводящий к связи плазменных и звуковых колебаний, — это модуляция плотности плазмы низкочастотной звуковой волной. Рассмотрим, как с учетом этого эффекта меняются уравнения для плазменных и звуковых колебаний.
Естественная физическая величина, характеризующая высокочастотные ленгмюровские колебания с большим разделением зарядов, †э электрическое поле колебаний Е (4, х). В линейной теории уравнение для электрического поля монохроматической ленгмюровской волны сводится к хорошо известному дисперсион.ному уравнению (1.146): (а' — ы'„— ЗйзТ,(т)Е(а, А) =О. (1.172) В присутствии звуковой волны происходит модуляция плотности плазмы, в результате чего в слагаемом и'„Е появляется нелинейный член, пропорциональный бпЕ.
С учетом этого слагаемого плазменная волна уже не является более монохроматической, в ней рождаются новые гармоники на биениях ленгмюровской и звуковой волн. Нетрудно обобщить уравнение (1.172) на случай иемонохроматичности ленгмюровской волны. Очевидно, что при этом следует заменить частоту ы на оператор дифференцирования по времени ы — »)д/д1 и аналогичным образом волновое число А— на оператор дифференцирования по координате Ф- (1/1) (д/дх). В итоге вместо (1.172) получаем следующее дифференциальное уравнение для электрического поля ленгмюровской волны: (дед(з — Зг'оы' (дз!дх») — ыз )Е=азрЕбц~а, (1,173) где ы'р — квадрат ленгмюровской частоты, рассчитанной по невозмущенной плотности и, (нелинейный член, возникающий в результате модуляции плотности плазмы звуковой волной, перенесен в правую часть уравнения).
94 для низкочастотных квазинейтральных колебаний, напротив„ электрическое поле весьма мало и звуковые колебания наиболее естественно описываются такими величинами, как скорость ионов в волне либо возмущение плотности. Уравнение для возмущения плотности в монохроматической звуковой волне опять-таки может быть получено простым обобщением линейного дисперсионногоуравнения. Считая волну достаточно медленной ы/И<<ит, и квази- нейтральной, с учетом результатов й 1.1! запишем следующее уравнение для Ьгп [(1/А'г'и )+а (и, А)] Ьп (м, й) =О. (1.174~ Это уравнение, в принципе, учитывает и кинетические эффекты,. связанные с ионами, что может быть существенно при выполнении условия в/а-ать Если же частота и волновое число низкочастотной моды таковы, что выполнено условие сэ/А)) ать то ионы можно описывать гидродинамически.
В этом случае, как мы знаем, з~= = — взгл/оР и уравнение (1.174) переходит в следующее: [ы' — Р(Т,/т~ДЬп(и, А)=О. (1.175) Связь ионно-звуковых колебаний с высокочастотными ленгмюровскими осуществляется из-за существования сил высокочастотного давления (см. $1.7). В этом параграфе было показано, что при наличии высокочастотных колебаний кроме обычного газокинетического давления электронов возникает еще и высокочастотное. р, „= (1/16п) (Е'), где угловые скобки, как обычно, означают усреднение по высоком частоте. Звуковая волна приводит, с одной стороны, к модуляции плотности плазмы, а следовательно, и кинетического давления -'ЬпТ„ а с другой стороны, из-за возникновения биений ленгмюровских волн — к модуляции высокочастотного давления л.( Е ') /16л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
