Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Нелинейная теория возбуждения монохроматической волны рассматривалась в э 1.13 — волна нарастает до значения агро/тп у /Ав озв(п,!по)згз и стабилизируется. При более детальном рассмотрении, однако, оказывается, что монохроматическая волна сама по себе неустойчива. Рано или поздно она размывается в пакет волн. Здесь этот процесс не рассмотрен. Важно лишь, что в конце концов дальнейшую релаксацию пакета снова можно рассматривать в квазилинейном приближении. 104 Таким образом, будем считать разброс по скоростям в пучке достаточно большим, так что применимы квазилинейные уравнения. Тогда волны с фазовыми скоростями в некотором интервале, где ф,фо)0, оказываются неустойчивыми.
Возбуждение волн сопровождается диффузией частиц пучка по скоростям, и в первоначальной области неустойчивости устанавливается «плато» на функции распределения (см. рис. 1.28). Однако такая функция распределения неустойчива, на ее переднем фронте производная д/ю/до положительна и происходит возбуждение волн.
Область неустойчивости и соответственно область диффузии в пучке все время смещаются к меньшим скоростям. В результате на функции распределения возникает как бы волна релаксации, имеющая вид ступеньки с крутым фронтом и распространяющаяся в область малых скоростей. Перед фронтом шумы остаются на тепловом уровне, за фронтом возбуждены интенсивные плазменные шумы, и функция распределения близка к «плато».
Процесс релаксации заканчивается, лишь когда частицы пучка продиффундируют до скоростей, сравнимых с тепловой скоростью плазмы. Окончательные границы «плато» определяются из следующих соотношений; (1. 196) (1.196а) ути~ от, Ошах цо. Высоту «плато» можно найти, воспользовавшись законом сохра- нения числа частиц в резонансной области: /о ("аы " и») = ~ /'е"~ = %~ откуда имеем приближенно /, = и,/~,.
(1.196б) Спектральную плотность энергии плазменных шумов в резонансной области о»в„«.я/Й<оы»» найдем с помощью так называемого интеграла энергии квазилинейных уравнений. Для его получения подставим в правую часть квазилинейного уравнения диффузии 1Ед('(д//до) (ко=а) из уравнения (1.195) для ~Ед(/)1». В результате приходим к следующему соотношению: иа„д/д/д/= (езп~/т',) (д/до) 1(1/оз) (дЕ»»/д/) 1. Проинтегрируем это уравнение по времени и пренебрежем вкладом тепловых шумов Е'ь(/=О). Интегрируя получившееся соотношение по скорости в пределах от ош~ до о с очевидным гра- 105 Здесь / — окончательная функция распределения в резонансной области, имеющая вид «плато» д/ /до=0; / (о) — максвелловская функция распределения тепловых частиц плазмы; /'ю(о) — начальная функция распределения в пучке.
Очевидно, что ничиым условием — спектральная плотность шумов на границе резонансной области обрашается в нуль 1Еа1з(о=о ~ )=О, получаем искомый интеграл энергии — формулу, связывающую спектральную плотность плазменных шумов и изменение функции распределения резонансных частиц: ~1Еа~'(о)= — к(т',/п,е')' по 1 (/ (1 р) — /;(и)) гЬ. (1.197) пп1~п Как следует нз формулы (1.197), спектральная ~плотность плазменных шумов вначале растет с ростом фазовой скорости, достигает максимума при 1о — ио и при больших скоростях быстро убывает, обращаясь в нуль при о=о,х (рис.
1.29). В той области скоростей, где первоначально не было пучка п(ио и /ао(р)=0 (это и есть основная энер( — ~.,„— ,и госодержащая область для спектра ~,~ х У волн), нз уравнения (1.!97) имеем следующее соотношение для асимптотической формы спектра плазменных шумов, соответствующей «плато» на функции распределения по скоростям / о. Рис. 1.29. Спектр плазменных ко лебаний, возбуждаемых при ква зилинейной релаксации электрон ного пупка в плазме 1Еа1*=4п*гг,т,(п'/м )(и — п, )( Полная энергия колебаний для такого спектра )Р=(1/4н) ~~(Е» ('=(1/4п') ~ ап~ Ее !'/) игр/пгй) =(1/3) п ти',. Именно такую энергию теряет пучок при квазилинейной релаксации к состоянию с плато на функции распределения: а~пах пигп= (1/2) и ти и — ~ /оп(тп /2) гЬ=(1/3) а ти .
(1.200) зппп Следует заметить, что спектр (1.197) — это еще неокончательно установившийся спектр в системе плазма — пучок. Он может меняться в результате нелинейного взаимодействия волн. Однако для не слишком энергичного пучка, когда энергия плазменных колебаний также достаточно мала, процесс дальнейшей нелинейной эволюции спектра (1.197) существенно более медленный по сравнению со временем его установления в рамках квазилинейных уравнений.
На рис. 1.30 и 1.31 приведены результаты численного моделирования и лабораторного эксперимента, иллюстрирующие образование плато на функции распределения. 106 Обратной по отношению к рассмотренной выше является задача о поглощении первоначально заданного пакета плазменных колебаний. Поглощение сопровождается диффузией резонансных частиц к большим скоростям и установлением «плато» на функции распределения (рис. 1.32); Спектр колебаний, устанавливаю- (гг ~те щийся в результате такого процесса, можно найти из квазилинейного интеграла энергии, при выводе которого, естественно, уже нельзя пренебречь начальными колебаниями, и поэтому в уравнении (1.197) следует зименить ))Ей~)э-е-~)Ей!)з — )Ей)з (1=0).
Долю энергии плазменных шумов, поглощаемых в плазме, легко можно оценить с помощью закона сохранения энергии: йг (( = О) — %' (г = со) = — ) ()а — 7") (люз(2) (Ь = и""ти()и. (1. 201 При малом числе резонансных частиц пг" только малая часть энергии волнового пакета поглощается в плазме, поглощение практически прекращается после установления «плато» на функции Рнс. 1.31. Экспериментальное исследование релаксации электронного пучка в плазме (Левитский С. Л., Швгпурнн Н. М. «Журн.
( экспернм, н теор. фнз.», 1967, т. 52, с. 350). Измерения проводились в лампе, наполненной водородом, в которую инжэктирозадся электронный пучон; плазма создавалась самим пучком. 2 Показано Распределение по скоростяы ! Ы(йа Х в зависимости от задерживающего потенциала на коллекторе, ! — ток на коллектор. функция распределения пучка измерялась ири фиксированном О 500 (000 нг ЭЬ расстоянии между катодом н коллектором электронов, но прн различных значениях тока в пучке (кривые ! †«). В режиме со слабым током пучок почти моноэнергетический, при увеличении силы тока (кривая !) происходит «разммтие» функции распределения. При еще больших токах возникает характерная для хвазилинейных уравнений «волна релаксации» на функции распределения, РаспРостРаняю" щаяся в сторону малых энергий. Прн максимальных токах (кривая 4) на функции Распре деления образуется «плато» 107 Рнс. 1.30.
Релаксация электронного пучка малой плотности в плазме в численном эксперименте (Кош(ап(( Н. 1., РараОороц1оз. «РЛуз. меу. ~.е(1», 1977, и. 29, р. 1276): ! — функция распределения плазмы; у — функция распределения пучка. Начальные параметры пучка и плззмы: отношение их плотностей л,(лз-р )О-Л отношение средней скорости пучка к тепловой сноростн плазмы из(от 40, разброс по скоростям в пучке Ьо, з,эот . функция распределения пучка и плазмы показана в различные моменты вре.
мени Г. В результате релаксации пучка на его функции распределения образуется плато (о' (О! )г «о ( (о' (о' (ое (а' (о' (о а' распределения резонансных частиц. В этих условиях дальнейшее поглощение плазменных колебаний возможно только при учете обычной столкновительной диффузии, рассмотренной в $1.9. Дело в том, что если квазилинейная диффузия приводит к установлению «плато» на б функции распределения, д/о/до=0, Ег то столкновения стремятся вернуть наклон функции распределения к равновесному значению.
В результате возникает конкуренция между влиянием волн и влиянием столкновений, при достаточно частых столкновениях функция распределения сильно отличается от вида «плато» и затухание Ландау сохраняется. О Ю Чтобы продемонстрировать это, введем в квазилинейное уравнение Рис 1.32. Поглощение пакета диффузии также и диффузионный ленгмюровскик колебаний член, соответствующий парным столкновениям. Для рассматриваемой задачи, в которой функция распределения существенно меняется лишь в узкой резонансной области, достаточно удержать только член со старшей, производной (д/до)т(Т/т) (д//до), не учитывая динамического трения. В результате конкуренции между квазилинейным воздействием волн на частицы и столкновениями в резонансной области должно установиться некоторое квазистационарное распределение (д/,/д/=0), подчиняющееся уравнению д/до 1/г(и)%/ди 1= — т(гоз/йг) (дз/до')/о.
(1.202) Интегрируя уравнение (1.202) один раз, находим . %/ до=(д/м/дп) / ~1+Р (и) /т (от/ й) з) . (1.203) 0(п) =(еа/лаз) (~ Еа ~'/о) (/го =от) — коэффициент диффузии в резонансной области. Полученный наклон функции распределения подставим в формулу для декремента затухания у=(п/2) Х ~Х (отз/йз) (д//до). В результате у — у / 11+аз(Еа) /гпзт (от/й) зб/с~. (1.204) В этой формуле уь — декремент затухания Ландау, рассчитанный по максвелловской функции распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
