Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Обсудим теперь соотношение между теорией слаботурбулентной плазмы и колмогоровской теорией турбулентности несжимаемой жидкости. Строгое аналитическое описание гидродинамической турбулентности крайне затруднительно, так как турбулентное движениеуже Ихг нельзя ~представить в виде набора l собственных мод (вместо них мы ! имеем набор непрерывно дробящих! ся вихрей). Поэтому в гидродина! ! мической турбулентности у нас нет эквивалента такого статистического ! описания, какое в слабой турбулентности дает приведенное выше кинетическое уравнение, и наиболее надежные оценки основаны на соК1 Кз ображениях размерности.
Предста- 3 6 С к т ь ) т б у л е н т ~ ~ о ~ с т и в и м с Е б е с и ' У а 1 и Ю, к О Д а и с о ч н и к ирис. 1.36. Спектры турбулентности в случае постоянства потока анер- крупномасштабного (малые й) турени по спектру в интервале равно- булентного движения (рис. 1.36, весна !1!1) мевтлу областями рас область источника /) отделен от области, где турбулентное двикачки 1 и зат ханин /П) жение быстро затухает из-за увеличения вязкой диссипации в мелких масштабах (область поглощения /П).
Тогда энергия турбулентных движений перекачивается от больших масштабом к меньшим из-за процесса нелинейного .дробления масштабов вихрей, проходя последовательно все уменьшающиеся масштабы инерционного интервала (область П).
Хорошо известные размерностные соображения приводят к следую.щему спектру турбулентности в инерционном интервале: %'л 1 //ез/з (1.218) '.1 !6 (закон Колмогорова — Обухова). Эти соображения основаны на предположении о постоянстве потока энергии по спектру в инерционном интервале. Количественно это условие записывается в виде Ю яд/ть=сопз1. (1.219) Здесь' %% — спектральная плотность турбулентных движений; тл— характерное время перекачки энергии, зависящее от л; й/т имеет смысл скорости переноса в й-пространстве. Поскольку этот процесс вызван нелинейным слагаемым (оЧ)о=воз в уравнении Эйлера (1.102), то из соображений размерности имеем 1/тх-40. (1.220) Здесь о — скорость в турбулентных пульсациях масштаба й-'.
Очевидно, что энергию этих пульсаций й)Гз можно записать в виде поМо', и из (1.220) имеем размерностную оценку 1/тл й(/гЮьр!з, (1.220а) которая вместе с условием (1.219) дает закон турбулентности Колмогорова — Обухова. Интересно найти аналог колмогоровского спектра в слабой турбулентности плазмы, когда такой спектр может быть получен не только из размерностяых оценок, но и из точного решения кинетического уравнения. Однако сложность плазменной задачи состоит в том, что даже в изотропной плазме существуют различные взаимодействующие между собой ветви колебаний: плазменные, звуковые, электромагнитные, так что некоего универсального. спектра с простой степенной зависимостью не существует. Поэтому искать такой спектр имеет смысл лишь в некоторых случаях, когда возбужден определенный тип волн.
Прн этом наиболее просто решается вопрос о спектре панно-звуковой турбулентности. Пусть источник такой турбулентности находится в области достаточно длинных масштабов. Спектр ионно-звуковых колебаний в области больших длин волн, когда несущественна дисперсия фазовой скорости,— распадный, причем во взаимодействие вовлекаются колебания с коллинеарпыми (или, точнее, почти коллинеарными) волновыми векторами. Процесс коротковолновой перекачки энергии связан тогда со слиянием конно-звуковых квантов, которое описывается уравнением (1.217). Из этого уравнения имеем следующую оценку ть (с учетом соображений размерности) „т )л,т„.
(1.221) Вследствие распадности спектра ионно-звуковых колебаний энергия турбулентных пульсаций Ф)Рь входит в формулу для в первой степени. Эта энергия нормируется на тепловую энергию в плазме лолтнз')лз=л,Т,. Величина ых=л(Т,(лт;)ьа — единственная в рассматриваемой задаче имеющая размерность частоты. 11г Используя условие постоянства потока энергии в инерционном интервале — (1.219) и оценку (1.221) для тд, получаем следующий спектр иоино-звуковой турбулентности: )р 1) ьзуа (1.222) Эта формула определяет спектр турбулентности в масштабах инерционного интервала, отделяющего область источника от коротковолновой области поглощения звуковых колебаний ионами плазмы.
Тот же степенной спектр ионно-звуковой турбулентности был получен путем строгого решения кинетического уравнения для волн. О Ед (Оа л О 50 1ОО и Рмс. !.37. Спектры ленгмюровскид и ионно-звуковых волн, нозиикаюп(их при электромагнитной накачке, численный эксперимент (Горбушина Т. А. и др. Пре- принт Ин-та прикл. мат. АН СССР, 1978.
№ 17). По осям отложена спектральная плотность энергии ионно-звуковых (а) и ленгмюровских (б) колебаний в завнсимости от номера гармоники л. Распад электромагнитной волны накачни приводит к рождению гармоники плазменной волны с л=яь Эстафетная перекачка энергии (распады 1 ('ч-з( в длиннсволновую часть спектра леигмюровских волн првводит к уста- новлвнию спектральных распределений, показанных на рисунке Значительно сложнее решается задача о турбулентности ленгмюровских колебаний. Дело в том, что спектр ленгмюровских колебаний — нераспадный и основные нелинейные процессы в слабой ленгмюровской турбулентности — распад с рождением ионнозвуковых колебаний, а в изотермической плазме Т,=Т( — индуцированное рассеяние на ионах плазмы.
В элементарных актах, соответствующих каждому из этих процессов, часть энергии ленгмюровского кванта передается ионно-звуковому кванту либо рассеивающей частице. Поэтому нелинейное взаимодействие в ленгмюровской турбулентности сопровождается «покраснением» ленгмюровских квантов, т. е. перекачкой ленгмюровской энергии в область длинных масштабов и больших фазовых скоростей, где вообще невозможно резонансное поглощение энергии волн частицами. Так, в ленгмюровской турбулентности возникает проблема аккумуляции энергии при 7е-ьО и образования «плазмонного конденсата» (наподобие «Бозе-конденсата»). Тенденция к образованию конден- 118 сата в процессе нелинейного взаимодействия плазмонов хорошо видна в численном эксперименте (рис.
1.37). Разгадка парадокса «конденсации» плазменных колебаний имеет важное значение в физике нелинейных колебаний и турбулентности плазмы. Эта проблема подробно обсуждается в следующем параграфе. 9 1.19. Модуляционная неустойчивость и коллапс ленгмюровских волн Оказывается, что «конденсат > — достаточно интенсивный газ длинноволновых плазмонов — неустойчив относительно процесса модуляции его плотности и образования каверн — областей локализации более высокой концентрации волновой энергии, из которых под действием силы высокочасготного давления вытеснена плазма. Физический смысл неустойчивости можно разъяснить достаточно наглядно.
Представим себе, что на первоначально однородном фоне ленгмюровских волн хотя бы в результате флуктуации возникла область, где амплитуда колебаний электрического поля несколько превышает средний уровень. В результате в этой области возрастает и высокочастотное давление, так что электроны из нее вытесняются. Возникающее прн поляризации плазмы квазистатическое электрическое поле вытягивает ионы вслед за электронами, образуется квазинейтральный профиль пониженной плот'ности. Как движутся плазмоны на таком профиле плотности? Мы знаем, что каждый плазмон — это квазичастица с энергией ы,(г)=юру(1+бп(г) /2пз)+(3/2)й'г'пы„, и импульсом к (здесь и= =и,+бп — плотность плазмы; ыр0 — плазменная частота, соответствующая невозмущенной плотности).
Поэтому уравнения движения плазмона, записанные в гамнльтоновой форме, имеют вид г)й/г(1 = — да/дг = — ««,дби/дг; дг/д(=д«/дй=3(гг ов ' (1.223) Из этих уравнений очевидно, что профиль с пониженной плотностью играет роль потенциальной ямы для плазмона. Действительно, в этом случае сила Г дк/д1 ускоряет те плазмоны, которые движутся на дно ямы, и тормозит движущиеся в обратном направлении. В результате достаточно медленные плазмоны захватываются в потенциальную яму, возрастают высокочастотное давление н, следовательно, деформация профиля плотности, потенциальная яма становится глубже, что приводит к дальнейшему росту локальной интенсивности ленгмюровских волн и высокочастотного давления.
Таким образом, развивается неустойчивость автомодуляции пространственного распределения плазмонов — стягивание их в сгустки-каверны. Из проведенного анализа ясно, что при неустойчивости изменяется характер траекторий плазмонов. Если в отсутствие взаимодействия плазмоны двигались по пролетным траекториям с по- !19 ((ч) =па(т(2иТ)'1'ехр( — ти'(2Т+е~р) Т). (1,224) Интегрирование по скоростям в этой формуле приводит к распределению Больцмана для плотности распределения электронов в потенциальном поле. По аналогии с максвелловским распределением равновесную функцию распределения плазмонов в отсутствие деформаций плотности условно представим в виде М =М ехр( — й'(Р))Г'Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
