Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 32
Текст из файла (страница 32)
1.43. Профиль потенпивлв нелинейной ионне-звуковой волны при различных уровня. энергии оспиллято. ри в эффективней потенпизльной яме 0 (сн. рис. 1,42); ! — сяяусоидяльяяя волна яя лой амплитуды; П вЂ” иелияейияя яиоидяльняя волна; Пу— уедииеиияя волил — солитои р ется малой. В результате получаем к н о и д а л ь н у ю в о л эту (см. рис. 1.43). Наконец, при э-«О вершины ф(й) разносятся на бесконечно большое расстояние, и мы имеем уединенную волну, или солитон. В такой волне при й-«~со, ф — «О и с(фЩ-«О (см.рис.1.43). Полагая в интеграле «энергии» д'=0 и с(ф/с($=0 при ф=фвид, что эквивалентно условию су'(федях)=0, получаем дисперсионное соотношение для солитона, устанавливающее связь между скоростью его распространения и амплитудой потенциала в нем: пя=(То)2птт) т1ехр (афпулху'Тс) — 1|я/ '1ехр(ефптлх/Те) — 1 — ефпуях/ Те) .
(1.247) Так же, как и в ленгмуоровской волне, в нелинейной звуковой волне существует предельное значение амплитуды потенциала, при превышении которого происходит отражение ионов от горба потенциала, приводящее к возникновению многопотокового движения ионов и к опрокидыванию волнового профиля. Из вида функции У(ф) в рассматриваемом случае [см.
(1.246)) следует, что в ионно-звуковой волне предельное значение амплитуды потенциала ефпред — Монф12. (1.248) 129 Воспользовавшись дисперснонным соотношением (1.247), нетрудно показать, что для солитона тзкая амплитуда соответствует, критическому числу Маха М,ч „— — оф/ (Т,(т;) и'=1,6.
Стационарный ионно-звуковой солитон возможен только при числах Маха М<М р,а, при больших числах Маха дисперсия не останавливает нелинейное укручение и опрокидывание волнового профиля. Рассмотренная здесь уединенная волна — солитон,представляет собой симметричный горб потенциала. Такая волна возможна только в отсутствие какой-либо диссипации, когда условия за фронтом волны повторяют условия перед ее фронтом, т.
е. решение строго обратимо. Наличие дисснпации приводит к нарушению симметрии и возникновению своеобразной ударной волны, связывающей два различных состояния плазмы: невозмущенное (перед фронтом) и модулированное интенсивными колебаниями (за фронтом). Структура ударной волны существенно зависит от конкретного механизма диссипации. Кроме чисто столкновительного затухания,колебаний возможны также коллективные механизмы диссипации, связанная с ними ударная волна называется б есстолкновительной Рассмотрим, как происходит формирование беостолкновительной ударной волны. Ограничимся случаем достаточно малых амплитуд волн, когда удается построить ламинарную теорию.
Будем считать, что обычная диссипация из-за парных столкновений частиц отсутствует, но примем во внимание эффект отражения ионов ат переднего фронта, играющий роль бесстолкновительной диссипации. В построенной выше гидродинамической теории такое отражение вообще отсутствовало, если только амплитуды были не слишком велики: ~р<1р,р,д (М<1,6).
Однако в действительности ионы имеют распределение по скоростям, и для небольшой группы резонансных с волной ионов эффект отражения возможен и при малых амплитудах волны. Если число отраженных ионов невели* ко, то можно найти форму профиля устанавливающейся в этих условиях ударной волны. При учете отраженных ионов уравнение для потенциала (1.246) модифицируется таким образом, что пг-~-и< — по~(фшах) оф/ (озф — 2е<р/т;) пз+2па((~р), (1.249) В этой формуле и; — плотность ионов, проходящих над потенциальным горбом, ~которая определяется ранее полученной гидродинамической формулой.
Из добавленных слагаемых первое соответствует вычитанию отраженных ионов из полного числа ионов пм второе представляет собой вклад в плотность отраженных ионов. Величина п01 (~р) есть полная плотность отраженных ионов в точке с потенциалом ~р. Коэффициент 2 перед последним членом в (1.249) возникает из-за наличия двух групп движущихся навстречу друг другу частиц. Конкретный вид 1(~р) легко найти, зная 130 невозмУщенное РаспРеделение ионов по скоРостЯм (м(п); » +(зз«»»;! !1» а,1(т) = » — (2'«/т.) !~ ф ! (1.250) При добавлении в уравнение для потенциала слагаемого, пропорционального !" (~р), величина Ю 1«энергия» осциллятора в потенциальной яме У(!р)) уже не является интегралом движения.
Появление отраженных ионов.приводит к уменьшению «энергии» осциллятора в эффективной яме, пропорциональному числу отраженных частиц: с = — 8«вл, ~ ( (у) г(у. о (1.251) Теперь нетрудно понять, как можно сконструировать решение с профилем потенциала, показанным на рис. 1.44. Перед фронтом д'=О, т. е. профиль потенциала такой же, как и в случае соли- У тона. В результате отражения Рва в уменьшается (перемещение д' в потенциальной яме 0(~р) показано на рис. 1.42 стрелками).
Поэтому за фронтом вол- \ ны имеют место интенсивные упорядоченные колебания. Ре- Уь У шение такого типа, в котором з СОСтОяНИЕ ПЛаЗМЫ МЕНяЕтСя От рис. !.44. Оср»»о»ание бесстолкиовипервоначально невозмущенно- тельной удараой волам го (до арихода солитона) к состоянию, модулированному интенсивными колебаниями, и есть бесстолкновнтельная ударная волна. В отличие от обычной газовой динамики возмущенное состояние (за фронтом ударной волны) не является термодинамически равновесным, так как яет настоящих столкновений, устанавливающих его.
Однако к бесстолкновительным ударным волнам можно применять соответствующие законы сохранения (а при переходе через фронт — соотношения Гюгонио), учитывая вклад колебательной структуры за фронтом. Максимальное значение потенциала за фронтом волны фш«« (см. рис. 1.44) мало отличается от соответствующего значения в уединенной волне с тем же числом Маха. Минимальное значение потенциала ~р; («левая» точка поворота осциллятора на рис. 1.42) определяется условием э — У(~р )=О, и поскольку при малых ~р потенциальная энергия У(~р) меняется квадратично, точка поворота !р ы оказывается пропорциональной корню квадратному из энергии — Ю за фронтом, т. е.
из полного числа отраженных 9* !31 частиц: (' чпзах т 112 фгп1„-.( — 6'"- ~ ~ 1Ь)йР) (1.252) Период колебаний гр($) за фронтом определяется нитегралокл М вЂ” () (р) + й'~ Чм1п рис, 1,45, Экспериментальное наблюдение укрученпя нелинейной ианно-звуковой волны (Алиханов С. Г., Белан В. Г., Сагдеев Р. 3. «Письма ЖЭТФ», 1968, т. 7, с. 405): первоначальное возмущение плотности (амплитуда Ап(п 1!5) (а) и формирование нелинейной осдилляторной структуры по мере удаления от источника (б) 132 Очевидно, что этот период конечен и логарифмически зависит от энергии Х 1п (1 — д') 1и (1/)рщ)тг) .
(! .253) Наконец, появление уходящих на бесконечность ионов приводит к скачку потенциала ср . Такой скачок пропорционален 1, и при малом числе отраженных ионов ср «гр )ги При больших числах Маха, когда возникают многопотоковое движение ионов и опрокидывание волнового фронта, изложенная выше так назьгваемая ламинарная теория бесстолкнов и т е л ь и о й у д а р но й в о л н ы неприменима. В принципе может Рис.
1А6, Опрокидывание нелинейной ионно-эвуковой волвы при больших числах Маха в численном эксперименте (Ллиханов С. Г., Сагдеев Р. 3., Чеботаев П. 3. «Журн. экспернм и теор. фив.», 1969, т. 57, с. 1565). Показана Фаэовая плоскость новое )о, к) после опрокидывания Фронта волны. Видно появлекие впереди Фронта пенно-звуковой волны ионов, убегающих вперед со скоростямн йи. Наличие этих ионов приводит к образованию подножия на проФиле потенциала )и плотности) в волне возникнуть неустойчивость многопотокового движения ионов типа рассмотренной в $ 1.14 пучковой неустойчивости электронов.
Неустойчивость подобного типа, как известно, переводит энергию упорядоченного движения в энергию хаотических турбулентных пульсаций. Овязанная с неустойчивостью аномальная диссипация может в определенных условиях привести к формированию некото. рого турбулентного слоя конечной толщины, играющего роль фрон. та турбулентной бесстолкновительной ударной волны.
Иллюстративные примеры генерации нелинейных ионно-звуковых волн приведены на рис. 1.45 (лабораторный эксперимент с плазмой низкой плотности) и на рис. 1.46 (одномерный числен- ный эксперимент). ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 2 2.!. Движение заряженных частиц в магнитном поле Наиболее интересные и важные для различных приложений свойства плазмы обнаруживаются при анализе ее поведения в магнитном поле. Под действием магнитного поля плазма теряет изотропию и многие ее свойства радикально меняются. При наличии магнитного поля появляется возможность создать плазменные конфигурации, зан~имаюшие ограниченную часть .пространства и, так сказать, подвешенные в вакууме.
Это уке нечто совершенно не свойственное обычному газу. В этих условиях плазма приобретает некоторые новые свойства, отличающие ее от всех других состояний вещества. Поскольку в конечном счете все характерные черты плазменных процессов обусловлены законами движения частиц, то прежде чем заняться магнитными свойствами плазмы как макроскопической субстанции, нужно проанализировать вопрос о влиянии магнитного поля на движение электронов и ионов. Как известно, в однородном магнитном поле заряженная частица движется в общем случае по винтовой линии. Проекция траектории на плоскость, перпендикулярную к вектору магнитного поля Н, представляет собой окружность радиусом гп=ти с~еН, где о — поперечная составляющая скорости частицы.
Это так называемая л ар моро века я о к р уж ность. Вращение по этой окружности происходит с ларморовской частотой цп=ео(тс. Вдоль силовых линий частица движется с постоянной скоростью о,. Рассмотрим теперь движение частицы в неоднородном магнитном поле. В физике плазмы мы обычно встречаемся только с таким уровнем неоднородности, при котором на расстоянии порядка ларморовского радиуса частиц вектор Н остается почти постоянным по величине и направлению: другими словами, в «микромасштабах» магнитное поле изменяется очень медленно.
Выясним, какие изменения вносит слабая неоднородность поля в характер движения частиц. Допустим сначала, что напряженность магнитного поля изменяется вдоль силовой линии. !34 Наблюдая за траекторией частицы, которая навивается на эту силовую лин~ию, можно установить, что форма траектории заметно меняется на протяжении отрезков, в пределах которых происходит существевное увеличение или уменьшение напряженности магнитного поля Н. При движении в сторону возрастания поля траектор~ия становится более крутой и она похожа на сжимающуюся пружину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
