Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(2.39). Следует различать два разных класса траекторий. К первому из них принадлежат траектории так называемых пролетных частиц, у которых вектор скорости составляет не слишком большой угол с вектором Н, вследствие чего они свободно перемещаются вдоль силовых линий. Ко второму классу относятся траектории так называемых запертых частиц. У таких частиц угол наклона скорости к направлению магнитного поля относительно велик, н поэтому они колеблются вдоль ограниченных участков силовой линии между областями с более сильным полем.
Поскольку напряженность магнитного поля вдоль силовой линии изменяется относительно мало, то в силу адиабатического постоянства отношения о' /Н ларморовская скорость и любой частицы испытывает относительно малые колебания вдоль траектории. В частности, для запертых частиц и должна в любой точке траектории иметь значение, близкое к результирующей скорости ио Определим с помощью уравнения (2.39) форму траектории для пролетных и запертых частиц. для того чтобы не усложнять вычислений, рассмотрим траектории таких пролетных частиц, у которых продольная скорость о в любой точке траектории не слишком мала по сравнению с ьн т.
е. движение частицы не очень сильно замедляется в областях с максимальным значением Н, (при х, близких к г). При указан. ном условии ввиду практической неизменности о значение о, относительно слабо изменяется при движении частицы. Следовательно, правую часть уравнения (2.39) можно в первом приближе- 10 — 74 14Ь евин считать величиной постоянной.
Обозначим ее С. Нетрудно убедиться, что ) С~ <<1. Действительно, пп Нв оз 1 Нв тис 1 (С~= —— о Н езй о Н еН„гс т где г — ларморовский радиус частицы в поле тока — величина, по общему условию достаточно малая. Заметим, что С ~ 11Н и практически не зависит от Н,. Из (2.39) следует, что г=г, — Сх. Если пренебречь членами второго порядка малости относительно С, то (2.39) можно привести к виду (х — Сгв)а+уз=газ.
Это уравнение окружности, центр которой смещен на расстояние Сгз относитель- Рис. 2.9. Траектории запретных ча- стиц Рис. 2.8. Траектории пролетных частиц но осевой линии винтового магнитного поля (рис. 2.8). При своем движении частица отклоняется от силовой линии на расстояние Сг,л.гв(Нв~Н ) (г/Н), ко раз превысить ларморовский радиус, но оно остается малым по сравнению с го. Следовательно, пролетные частицы с не слишком малой о хорошо удерживаются в винтовом поле.
Более детальный анализ показывает, что зто имеет место для любых пролетных частиц. Выясним теперь поведение запертых частиц. В этом случае ов( (о и продольная скорость о, сильно изменяется вдоль траектории, обращаясь в нуль в точках отражения от области с более сильным полем (рис. 2.9), между которыми происходит колебание частиц.
(В плоскости ху частица колеблется между точками М, и Мт). В данном случае в уравнении,(2.39) правая часть уже не 148 где г, — ларморовский радиус в результирующем магнитном поле. При соблюдении условия Н,/Нв (~ г/Я это отклонение может в несколь- является постоянной величиной. Из адиабатической инвариант- иости о' /О следует, что и = Й о, ~х — х Д' К, где х — абсцисса точки отражения е.
Дрейфовую скорость иа в этом случае также можно считать практически постоянной. Интегрируя (2.39) с учетом указанной зависимости для о,, получаем 2пл гга Ьг=г — г,= —" — )г Ю,(1 — сои грм). а т Здесь гр — значение угла гр в точке отражения. На рис. 2.9 изображена форма траектории в проекции, напоминающая банан. Как нетрудно убедиться, смещение Лгш для запертых частиц значительно превосходит смещение для пролетных частиц (в отношении, пропорциональном )Г2Л/г для двух противоположных предельных случаев). Следует отметить, что компенсация дрейфа прн движении запертых частиц происходит в результате того, что точки поворота траектории М1 и Ма расположены симметрично относительно экваториальной плоскости плазменного витка.
Такое расположение точек поворота будет иметь место только при наличии аксиальной симметрии по углу О. В противном случае траектории могут стать незамкнутыми, что должно ухудшать удержание частиц в магнитной системе рассматриваемого типа, которая может служить простейшим примером «замкнутой магнитной ловушки». В идеальном случае частицы могут уходить из такой ловушки только в результате кулоновских столкновений друг с другом. Вопрос о влиянии кулоновских столкновений на время удержания частиц и сохранение тепловой энергии в замкнутых ловушках будет обсуждаться ниже (см. 5 2.17).
Здесь мы ограничимся только одним замечанием по указанному поводу. Поскольку при своем движении в магнитном поле запертые частицы сильнее отклоняются от линии поля, то кулоновские столкновения быстрее выбрасывают их из магнитной ловушки. Для иллюстрации сравним рис. 2,10«п и б. На рис. 2.10кп показана проекция траектории частицы в однородном магнитном поле до и после столкновения. с другой частицей, сопровождающегося относительно небольшим изменением вектора ч. Смещение происходит на расстояние порядка доли ларморовского радиуса. На рис.
2.10,6 показано, как изменяется форма траектории запертой частицы при столкновении в точке Ма, которое приводит к небольшому повороту вектора скорости с изменением знака " Строго говоря, это справедливо только в области, где ! в, ) «, в . Поэтому дальнейшие вычисления сохраняют силу лишь при ие слишком малых значениях угла ~р. 10* 147 юа (о, «о ).
В этом случае траектория смещается по радиусу г и1а расстояние 2пг ~ 2г„(На1 Нч) Яф ~/Н~». Поскольку (Н (Н,) (г(Я) >) 1 и Я/г »1, то смещение запертой части- цы при столкновении в винтовом поле во много раз превосходит ° смещение частицы при столкновении в неискривленном магнитном поле и одинаковых значениях импульса и напряженности магнитного поля.
ф 2.3. Адиабатические инварианты движения частиц в магнитном поле Вернемся к выводу о сохранении магнитного момента 1х заря.женной частицы при движении в слабо меняющемся в пространстве магнитном поле. К этому вопросу можно подойти с более общей точки зрения. В классической механике при описании почти периодического (квазипериодического) движения консервативной системы говорят о некоторых приближенно сохраняющихся величинах — адиабатических инвариантах. Так, например, если у маятника с медленно (адиабатически) меня1ощейся во времени длиной подвеса Л (простейший случай квазипериодического движения) это изменение за период колебаний невелико, то справедлив закон .сохранения адиабатического инварианта: х, Т= )'пах, где о — скорость осциллятора; х — координата, характеризующая его смещение от положения равновесия.
Интеграл берется между двумя крайними точками траектории. В общем случае произвольной консервативной системы, описываемой 1 обобщеннымн координатами д; и соответствующими угу Н Рис. 2.10. Изменение траектории частицы при столкновении в однородном (а) и тороидальном (б) полях 148 обобщенными импульсами рь выражение для адиабатического инварианта нмеет следующий вид: Тс = ф РФ7~ (2.41) где предполагается, что по координате д, имеет место квазипериодическое движение. Таким образом, если система обладает М степенями свободы и по каждой степени свободы совершается квазипериодическое движение (с медленно по сравнению с периодом меняющимися параметрами), то существуют У адиабатических инвапиантов.
Ларморовское вращение заряженной частицы вокруг силовых линий магнитного поля можно трактовать с этих позиций. В определение адиабатического инварианта (2.41) в случае ларморовского вращения частицы нужно подставить р=то и г(ц=гпг(р, где гп — ларморовский радиус частицы, а ч~ — фаза вращения. Тогда г~ 1, = и ~ п «нс( р = 2ят'и' с,'еН = (4г/е) тср, (2.42) а т. е. р=сопз1. Таким образом, видим, что сохранение магнитного момента р заряженной частицы есть следствие общего принципа адиабатической инвариантности. Первый адиабатический инвариант р можно записать и по-другому: и = яг'н Н(1! 2я) (е'~тс') = сопз1, (2.43) что означает сохранение магнитного потока через площадку, ограниченную ларморовской окружностью при вращении частицы в магнитном поле.
Применительно к общему случаю движения заряженной частицы в магнитном поле, изменяющемся во времени и пространстве, условия сохранения адиабатической инвариантности магнитного момента р имеют следующий вид: )Н(Н~ <<анг 1/Н(цгас1 Н ! (< 1(г„. (2. 44) Если заряженная частица заперта между двумя магнитными зеркалами (колеблется вдоль силовых линий, не выходя за пределы ограниченной области пространства), то такому движению также можно сопоставить соответствующий адиабатический инвариант 1= ~ то, й. Здесь интеграл берется вдоль силовой линии между двумя точками отражения частицы (где п1 обращается в нуль), причем и можно выразить с помощью следующих соотношений: !! ш,=то'„~2+шь; и =рН.
Отсюда находим п и, подставляя в формулу для адиабатического инварианта 1, (назовем его вторым, в отличие от р — первого ади. абатического инварианта), получаем Г, — 4 гы,: ~Р ю. (2.45) 149 Для выполнения условий сохранения второго адиабатического инварианта движения частицы нужно, чтобы за период одного колебания частицы между магнитными зеркалами магнитное поле вдоль силовой ликии изменилось мало. Изменение поля вдоль силовой линии, по которой движется частица, может быть вызвано двумя причинами: 1) пространственной неоднородностью магнитного поля, приводящей к дрейфу частицы поперек (при таком дрейфе частица все время переходит с одной силовой линии на другую — с отличающимся, вообще говоря, магнитным полем); 2) изменением общей картины силовых линий нз-за нестационарности магнит- У ного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
