Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При одинаковых температурах и длинах свободного пробега имеем инете = (глН«ле) (Онгть Поэтому для одной и той же плазмы электроны могут быть «замагннчены», а ионы нет. Как раз такая ситуация часто осуществляется в низкотемпературной плазме МГД-генераторов. В высокотемпературных или достаточно разреженных плазмах замагниченными оказываются и электроны, и ионы. К таким плазмам относятся: плазма в магнитных термоядерных ловушках, в верхних слоях ионосферы, в магнитосфере Земли, солнечной короне, в газовых разрядах прн низком давлении. Во многих представляющих интерес случаях процессы, протекающие в плазме, охватывают промежутки времени, меньшие времени соударения, но значительно превышающие период ларморовского оборота частиц в магнитном поле.
При этом можно прене- 155 При вычислении плотности тока в такой плазме нужно соблюдать некоторую осторожность. Дело в том, что ток )еч елцю создаваемый перемещением центров ларморовских кружков, не описывает полного переноса заряда. Существует ещедополнительный ток даже при покоящихся центрах ларморовских кружков, обусловленный их диамагнитным моментом р. При равномерном распределении днамагнетиков со средним моментом р и плотностью л в пространстве обтекающий ток возникает лишь на границе. Он приводит к ослаблению магнитного поля на величину ЬН=4илр. При неоднородном распределении в пространстве возникает и объемный ток.
Его плотность )о определяется из уравнения го1 ЬН =го1 4ллр = 4«)о~с; (2.54) )о.=сго1лр. Это есть искомый дополнительный ток. С помощью функции распределения представим его в следующем виде: бречь парными соударениями частяц, т. е. опустить интеграл столкновений в правой части дрейфового кинетического уравнения (2.53).
Тогда оно описывает поведение своеобразной бесстолкновительной плазмы в магнитном поле. Подобная модель часто используется для исследования колебаний и волн в плазме и для анализа некоторых важных неустойчивостей плазмы в магнитном поле. й 2.5. Гидродинамика плазмы в магнитном поле Гидродинамическое приближение для плазмы в магнитном поле можно получить так же, как это было сделано в $1.5 для плазмы без магнитного поля. При рассмотрении плазмы, свойства которой меняются на расстояниях Ьр, значительно больших длин свободного пробега 1 за промежутки времени тг, большие времени свободного пробега, функции распределения ионов и электронов следует считать близкими к максвелловским. В такой плазме состояние каждой заряженной компонеяты задается плотностью п(г, 1), температурой Т(г, 1) и средней макроскопической скоростью п(г, 1).
Уравнения для этих величин, т. е. уравнения гидродинамики, выводятся, как и в $ 1.5, нахождением моментов от кинетического уравнения (2.52). Эти вычисления аналогичны вычислениям, проведенным в $ 1.10, поэтому их не стоит повторять. Нужно лишь учесть, что кинетическое уравнение (2.52) содержит дополнительное слагаемое в правой части с силой Лоренца (е/тс) [чХ Н) (д[1дч). (2.56) Простое интегрирование по дч (нулевой момент) этого слагаемого дает нуль.
Это и не удивительно, так как сила Лоренца не может изменить баланс числа частиц, учитываемый уравнением непрерывности: дп(д1+б)ч ля=0. В уравнении Эйлера, получающемся при вычислении момента первого порядка — умножении на ч и последующем интегрировании по Ыч (по частям) член с силой Лоренца дает ч —, [ч Х Н) — г(» = — — ', ~ [ч Х Н[ ~дч = —, п [и Х Н[. Это есть не что иное, как средняя сила Лоренца, действующая на все частицы одного сорта в единице объема. Итак, в старом урав-. нении Эйлера для плазмы без магнитного поля (1.102) добавляется слагаемое (е(с)п[пКН~ в правой части: тп(с(п/Ж) = — дгаб р+епЕ+(е7с) л[иХН1.
(2.57) Уравнение для температуры остается неизменным, если не учитывать возможного изменения теплопроводности. Таким образом, каждая заряженная компонента плазмы в гидродинамическом приближении описывается системой уравнений (1.100), (1.106) и (2.57). Учтем теперь столкновения между частицами разного сорта. 156 Так же как и в $ 1.10, это дает силу взаимного трения между компонентами плазмы в уравнениях Эйлера. Тогда уравнения движе ния двухжидкостной гидродинамики для квазинейтральной плазмы,. состоящей из электронов н такого же числа ионов одного сорта (п,=п,=п), принимают внд дщ е пт, — „' = — т!р, + епЕ+ — п [и, )( Н| — т, (и, — и ) т„п; (2 58) ит, — „= — рр, — елŠ— — и [и,,'х', Н1+ т, (и, — и,) т„п.
(2.59) Й3е е По отношению к этим уравнениям справедливо замечание, сделанное в $1.10 в связи с анализом гидродинамического приближения в теории плазмы. По существу для упрощенного вывода уравнений динамики плазмы в гидродинамическом приближении как в отсутствие, так и при наличия магнитного поля нет нужды в использовании аппарата кинетических уравнений, поскольку имеем здесь дело с простым применением самых общих законов динамики к движению микроскопических элементов обеих компонент плазменной субстанции. Переход к описанию плазмы как единой жидкости можно провести, складывая уравнения (2.58) и (2.59). Прн этом обычно пренебрегают инерцией электронов, а суммарная электрическая сила,. действующая на элемент объема плазмы, обращается в нуль из-за квазннейтральности.
Также исчезает сумма противоположно направленных и равных по величине снл трения между ионами и электронами; Сумма сил Лоренца (еп(с) [(и; — и,) Х Н) приводится к виду (1/с) ЦХН| (сила Ампера), так как еп(и; — и,) =3. В результате уравнение Эйлера одножидкостной гидродннамики плазмы в магнитном поле (ее чаще называют магнитной гидро- динамикой) имеет вид пЛЫи(г(1=(1(с) [Д Х Н[ — цгаб(р, + р,); и=(т,и,-[-т,и)~(т, +т,); (2.60у Л4=гп, +т,. Плотность тока 1 можно выразить через Н из уравнения Максвелла го! Н=(4п/с)).
Исключив 3, силу Ампера можно представить в виде (1!с) [1ХН)=(1/4п) [го1 НХН~. Векторное произведение в правой части удобно раскрыть с помощью известного векторного тождества (1/2) 8тад а'=(а угад) а+ [аХго1 а1. В применении к рассматриваемому случаю это дает (1/4п) [го1 НХ Н1= — птаха Нз!8п+(1(4п) (Н угад) Н. (2 61)' Первый член в правой части уравнения (2.61) можно интерпретировать как градиент магнитного давления Н'18п.
Второй член !5Т называют силой натяжения силовых линий магнитного поля. Он отличен от нуля только для магнитного поля с кривыми силовыми линиями. Соответствующая ему сила всегда оказывается направленной в сторону, противоположную искривлению силовой линии. В магнитной гидродинамике неизвестными величинами являются плотность п, скорость и, давление р и магнитное поле Н. Число уравнений для определения этих величин должно соответствовать числу самих неизвестных функций.
Три уравнения (для определения и, и, р) у нас есть. Это уравнение непрерывности для и, урав. пение Эйлера для и (2.60) и уравнение состояния для давления. Недостающее уравнение для магнитного поля выводится по следующей схеме. Нужно воспользоваться уравнением Максвелла го1 Е= — (1/с) (дН(д1) и подставить в него электрическое поле Е, выраженное через плотность тока с помощью закона Ома.
Но при наличии магнитного поля связь между 1 и Е, т. е. закон Ома, отличается от результата, полученного в ч. 1. Зля того чтобы выяснить характер связи в общем случае, обратимся снова к уравнениям, характеризующим поведение обеих компонент плазмы. Умножая уравнения (2.58) на т, и (2,59) на лм и вычитая одно из другого, получаем — — и [(и; — и,) р,'Н[+ягабр,— ) — +ецЕ+ — [и'х, Н[=0. (2.62) В правой части этого выражения отброшены члены порядка лг,/ть а в левой — инерционные члены, поскольку предполагается, что заметное изменение плотности тока может происходить лишь аа времена т„»тм и на расстояниях Ьр»1.
Теперь удобно представить (2.62) в следующем виде: 1= а [ Е+ ~ — и )( Н ~ ) —,— „, [1 )~ Н[+ —,„рас1 р,. (2 63) Это соотношение является обобщением закона Ома для плазмы, находящейся в магнитном поле. В частности, когда ток течет параллельно магнитному полю и плазма является однородной (т. е. градиент давления отсутствует), соотношение (2.63) совпадает с выведенным в предыдущей главе соотношением (1.21) с той лишь разницей, что Е надо заменить на Е'=Е+(1/с) [пХН]. Однако в общем случае уравнение для 1 отличается от простого закона Ома дополнительными членами в правой части, из которых первый пропорционален градиенту электронного давления, а второй содержит векторное произведение [)КН[.
Эти дополнительные члены имеют простое физическое истолкование. В выражении для ) появляется величина (е(т,тм)х7р„так как ток в ионизованном газе может быть вызван не только электрическим полем, но также и разностью электронных давлений в различных точках пространства. Член, содержащий [)ХН[, свидетельствует о влиянии магнитного поля на движение электронов в плазме. ФИ Из-за указанных дополнительных членов между плотностью тока и напряженностью электрического поля нет простой связи. Прн заданных значениях Е' плотность тока может иметь самые различные значения.
Эта неопределенность существенно ослабляется в том случае, когда плазма находится в квазистационарном состоянии, т. е. при оп !~И=0. В квазистационарном состоянии основные уравнения (2.60) н (2.63) принимают вид — [3 Х Н! — ятад р, 1 3 =,а ~Е+ — [и,'х, Н[ — — ятад р!). ! 1 (2.65~ Сделав естественное допущение о том, что дгабр, и дгабйч направлены параллельно друг другу, находим из (2.64), что дгад р!.! !. Обращаясь к (2.65), видим, что вектор Е' должен иметь две взаимно перпендикулярные компоненты Е', н Е', из которых Е', [[ 3, а Е' ()дгабр,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
