Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Такие выкладки оказываются необходимыми, если интересоваться свойствами магнитного звука при частотах, сравнимых или превышающих ыиь В приближении «холодной» плазмы, т. е. когда тепловое движение ионов и электронов в волне, распространяющейся поперек магнитного поля, не учитывается, выкладки оказываются несложными. Прежде всего запишем, линеаризованные уравнения движения ионов и электронов в поле волны сжатия: Н, =Н, + Н, ехр ( — Ы+ Их); Е=(Е„; Е,; 0) ехр( — 1»г+1йх); — т,1 и„=еЕ,+(с~с) и„1Н,; (2.75) и»«= — сЕ„~Н, +1(и~ая«) (сЕ„~Н,) т,й»и„, = еń— (е(с) и„,Н;1 и„,=сЕ„(Н, + (к»7« „) (сЕ„~Н,).
Далее учтем уравнении Максвелла для компонент поля волны ИЕ„=+ 1(а~с) Н; — 1еН,=(4«(с) и,е (и„, — и,).! Считая плазму квазинейтральной (и;=п,=п), нетрудно прийти к выводу, что и„1=и»,=и„, а уравнение непрерывности принимает 1бб вид — пол+1/сияло=О. Дисперсионное уравнение имеет вид сов//са=(Нас/4лро) (отар,/са) /(йа+соар,/са) (в пренебрежении поправками порядка т,/т;). Фазовая скорость от значения Н/)Г4яр, при малых частотах с ростом м уменьшается до нуля при частоте (отн,оон,) . Диспер- 1/а сионная кривая для этого типа колебаний для наглядности показана на рис. 2.13.
Отклонения от линейного закона дисперсии начинают существенно проявляться при /е а'озре/с. Закон Оо дисперсии магнитного звука по форме напоминает зависимость со (й) для ионного звука. Но вместо дебаевского радиуса здесь присутствует характерная длина с/оор„ предельно возможной является частота (атнгптно) на. Волновые процессы при частотах, близких к гибридной, вообще играют важную Рис. 2.13. Дисперсиоииая кривая магиптороль в физике плазмы. В ча- ук и К ь я стности, в магнитозвуковой волне при оо-~(отгенйн.) ыа кинетическая энергия колебательного движения ионов (продольного, т. е. в направлении распространения звука) сравнивается по порядку величины с кинетической энергией электронов, которую они приобретают в результате электрического дрейфа и„= — СЕ,/Но (вдоль оси у().
Все это справедливо для плазмы в не слишком сильном магнитном поле На/8л((лот,са. В такой плазме состояние в магнитозвуковой волне оказывается квазинейтральным. Однако при очень сильных магнитных полях (2.78) Нас /8л » лот,са для высоких частот становится существенным отступление от квазннейтральности. Закон дисперсии для таких колебаний имеет вид (опять-таки при пренебрежении тепловым движением) оо'//г'=(Н'„'4яр,) ~н, оо р; /(/а + — Р' м'рг)). (2.79) Фазовая скорость стремится к нулю при ионной ленгмюровской частоте (со-а-серо). Характерная длина, прн которой становится существенным отклонение от линейного закона дисперсии, есть Нот,,'4лрос. 1б7 Тепловое движение частиц, не учтенное в проведенном рассмотрении, сделало бы все вычисления весьма громоздкими, так как пришлось бы заниматься кинетической теорией. Иногда учет теплового движения не только приводит к количественным поправкам, но и дает качественно новые физические результаты.
Только так, например, можно получить характерные типы колебаний плазмы, распространяющиеся почти поперек магнитного поля с частотами, близкими к целым кратным циклотронных частот ионов и электронов. Эти типы колебаний называют м о д а м и Б е р н ш т е й н а. Новые типы колебаний могут возникать в плазме и при распространении вдоль магнитного поля. Наиболсс важными среди них являются магнитогидродинамические альвеновс к и е в о л н ы. Вывод свойств этих волн с помогдью уравнений магнитной гидродинамики пе представляет трудности. Пусть направление оси г совпадает с направлением вектора постоянного магнитного поля Н,. Альвеновские волны распространяются вдоль Н, и являются поперечными, т.
е. соответствующие пм компоненты скоросги плазмы и колебаний магнитного поля перпендикулярны к Н„а следовательно, и к направлению распространения волны. При таких поперечных смещениях плазмы, первоначально однородной, не возникает ии сжатий. ни разрежений, т, е. плотность плазмы, а также давление в процессе распространения альвеиовских волн остаются постоянными. В этом случае уравнение Эйлера магнитной гидродипамики (2.60) с учетом (2.01) принимает внд р ди(д(= — огай Нз) 8п+(1(4п) (Н угад) Н. (2.80) Линеаризация означает, что нужно отбросить член с магнитным давлением (как квадратично малый).
Второе слагаемое в правой части дает (1(4п) (Над(дг) Н. Итак, лпнеаризованнос уравнение движения имеет вид рсдп/д1=(! )4п) (Нюд(дг) Н. (2.81) В качестве уравнения для магнитного поля волны возьмем уравнение (2.70), в котором член го1[иХН1 для случая альвеновских волн упрощается: гоЦ и Х Нл) == Нади ~ дг, а само уравнение принимает вид дН(д(=Нади)дг+ (сз(4ло) (д2Н(дгз) (2.82) В пренебрежении магнитной вязкостью уравнения (2.81) и (2.82) легко объединить, исключив любую из переменных и пли Н. В итоге получается обычное волновое уравнение 1(пхх(д'и(д)з) =д'и(дгз (2.83) с линейным законом дисперсии о=)гпх. Учет магнитной вязкости приводит, как нетрудно увидеть, к затуханию волны.
Роль упругой возвращавшей силы в магпитогидродинамических волнах играет 168 сила натяжения силовых ливий. Поэтому удобно представить альвеновские волны как колебания упругих нитей (силовых линий магнитного поля), нагруженных плазмой (из-за эффекта вмороженности) . Квадрат показателя преломления М'=я'с'/ьз', соответствующии альвеновской волне, равен 4плт;сз1Н'. Ему можно дать наглядное толкованне па языке дрейфового движения заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях (см. ~ 2.1).
Движение со скоростью с(Ех',Н](Н' не приводит к электрическому току, так как и ионы, и электроны движутся вместе. Дрейфовое движение в следующем порядке приводит к смещению зарядов в направлении электрического поля 1см. формулу (2.31)1: х= =(е(та'и) Е„. Теперь диэлектрическую проницаемость можно выразить через электрический момент Р единицы обьема а=1+4пР)Е, где Р= = — пах. Пренебрегая смещением электронов (оно меньше ионного в т;/и, раз), получаем диэлектрическую проницаемость в области низких частот 4ипт;сз(Н'.
Соответствующий показатель преломле» ния ()'е для подавляющего большинства плазм чрезвычайно велик. Таким образом, магнитогидродинамические волны представляют собой просто замедленные поперечные электромагнитные колебания. В очень разреженной плазме они плавно переходят в обычные электромагнитные волны в вакууме. Однако в нашей магнитогидродинамической модели не учтен ток смещения, и поэтому такой предельный переход невозможен. Величина альвеновской скорости не содержит характеристик теплового движения плазмы. С этим обстоятельством связана замечательная особенность магнитогидродинамических волн: их свойства универсальны, где бы они ни распространялись, в проводящей ля жидкости, помещенной в магнитное поле (С. Лундквист в своих классических опытах генерировал волны в жидкой ртути), или в бесстолкновительной плазме.
В последнем случае, разумеется, теряет смысл понятие магнитной вязкости и затухание может быть вызвано эффектами бесстолкновительного взаимодействия волна — частица, примером которого в отсутствиемагнитного поля является резонанс Ландау.
В бесстолкновительной плазме появляется эффект аномальной дисперсии и двойного лучепреломления, когда частота волны по мере увеличения становится сравнимой с ларморовской частотой ионов. Самое общее описание волн в такой неизотропной среде, как плазма в магнитном пале, основано на введении тензора диэлектрической проницаемости.
Из уравнения Максвелла легко можно получить связь между тензорами диэлектрической проницаемости и проводимости: ао,=бы+! (4п1ьз) и;д. (2.84) Это соотношение — тензорное обобщение рассмотренного в ч. 1 соотношения между диэлектрической проницаемостью н проводи- 169 получаем с учетом (2.84) и (2.85) следующий тензор диэлектри- ческой проницаемости: ва е1 — в, »а О О (2.88) где в„=1— а рв 1! в' а на а а р«ан в, = — в = — 1 13 — а = а 'н,) ав в =1 — ~ %~а рп а ~( з а гю мостью плазмы. Компоненты тензора проводимости пр.— коэффи- циенты в тензорном обобщении закона Ома: 1';=ос«Е». (2.85) Формула (2.84) получена для плоской волны, пропорциональной ехр ( — 1а1+! кг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
