Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Решение кинетического уравнения (2.109) записывается в виде /,= — ! (е/2т,) Е ехр(!у) [(1 — 'во,/а) д/,/ди + + (йо /а) д/,/до,]/(Аи, — а+ ан,). (2.110) Вычисляя с помощью /, ток (2.!07), приходим к следующему дис- .персионному уравнению: сЧг'/а' — 1 = — (2ве'/т,а) ] с/чи [(1 — йо /а) д[,/до + +(йи /а) д/,/ди,]~/(во,— а+ан,) (2.1!1) .Для получения дисперсионных характеристик электромагнитной волны в холодной плазме и ее декремента затухания разобьем равновесную функцию распределения на две части — функцию 878 распределения основной массы частиц (тепловых)„определяющих дисперсию волны, и функцию распределения небольшой группьг резонансных частиц, взаимодействие которых с волной приводит к ее затуханию. Для электрической волны круговой поляризации, электрический. вектор которой вращается в ту же сторону, что и электроны, условие резонансного взаимодействия с электронами имеет вид йа — 'ййог=йлне, (2.112).
т. е. частота волны с учетом доплеровского сдвига совпадает с циклотронной частотой. При этом частицы долгое время находятся прк одной н той же фазе поля и могут эффективно обмениваться энергией с волной. Условие резонанса (2.!12) записано для необыкновенной волны. Для обыкновенной волны аналогичный резонакс имеет место с ионами йа — я йо й= йакй. (2 113) При распространении электромагнитной волны под углом к магнитному полю возможны и другие резонансы.
Подробно этот вопрос рассматривается в следующем параграфе. Пренебрегая вкладом теплового движения в дисперсию волн„ интеграл в правой части уравнения (2.111) можно вычислить предельным переходом ой — й:О, и — — й4). Тогда получим — ~ и д)',/до дч= 1 Р 2ййй Ий,1 К К Кй Учтем теперь вклад резонансных частиц, используя симвалическукь запись 1/(Ао,— +~„)=УДАо — ай+ай )+1яЗ(Ь, — +йй„), смысл которой был разъяснен ранее. Слагаемое с главным значением вещественно и поэтому приводит только к малой (пропорциональной плотности резонансных частиц) поправке к частоте. Пренебрегая этой поправкой, сохраним в интеграле лишь вклад от 4-функции.
Вычислив для резонансных частиц интеграл по о„приведем дисперсиониое уравнение к виду сй + р(( . = 1.=' — ~» о ~(1 — — ) — + й й й й 2яей Ой Г Г Г 'аай 1 д(й йййй 1 Гй1,) .1. г ~ (й йй ) дйй Г аа1 а~,) + м дййй ) ~йй=<"' "неый' (2.114) Если пренебречь правой частью, то это уравнение, естественно, совпадет с дисперсионным уравнением для Е=волны, полученным в 5 2.6 из гидродинамических уравнений (напомиим, что мы рассматриваем высокочастотную ветвь и не учитываем движение ио12й 179 электронов.
В релятявистском случае формула для циклотронной частоты ан,=еНа/т,с переходит в следующую; апг=иНес/а, (2.118) где ш =т,с'~/1+ р'/т'с' — энергия частицы. Г!ереход к реляти вистскому случаю очень прост. Для этого следует заменить !/т,(д/дт) иа д/др. В результате вместо (2.1!!) получим следующее дисперсиоиное уравнение: (2.119) Разделим функцию распределения /э на две — функцию для тепловых иерелятивистских частиц плазмы и функцию релятивистского пучка (2.117). Для частиц пучка интеграл по продольным и поперечным импульсам легко вычисляется интегрированием почастям. В результате приходим к следующему дисперсионному уравнению: С А — а +и м/(а — аз )= = — (1/2) [ш'~ Я'с' — м')/(а — Ап, — ал,)') (п' /с').
(2. 120) (сй/в(0)) з=е т. е. дисперсионные свойства такой волны те же, что для исследовавшейся выше необыкновенной волны. Наличие пучка малой плотности приводит к возмущению ее частоты. Полагая, что эта волна находится в циклотронном резонансе с электронным пучком (2.122) !8! в!О ~ =й и о+ гане, Здесь учтено, что для неустойчивой волны приближенно должно выполняться условие циклотронного резонанса (2.112), и поэтому в правой части дисперсионного уравнения сохранены только слагаемые со старшей степенью (квадрат) резонансного знаменателя. Подчеркнем, что при иерелятивистском рассмотрении частиц пучка вклад пучка содержит только первое слагаемое, пропорциональное й'с', Таким образом, нерелятивистское рассмотрение применимо лишь для медленных волн с большим показателем преломления Ю>)1, в общем же случае нужно учитывать релятивистскую зависимость массы и циклотронной частоты частиц пучка от их энергии.
Решение дисперсионного уравнения можно получить аналогично тому, как это было сделано для пучковой неустойчивости в отсутствие магнитного поля. Частота наиболее неустойчивой волны определяется из условия (2.121) для мнимой части добавки к частоте, т. е. для инкремента нара« стання, получаем из дисперсионного уравнения .следующее соот- ношение: 'г'Г( н'~(сЧ' — оя) э го д (2.123) Приведенная формула для инкремента нарастания содержит вкладыы от двух возможных механизмов неустойчивости электронного пучка в магнитном поле — циклотронного и мазерного. Остановимся на этом вопросе более подробно.
Так же, как и в отсутствие магнитного поля, в рассматриваемом случае для возникновения неустойчивости кроме резонансного условия (2.122) должно выполняться условие бунчировки частиц пучка в тормозящих фазах поля волны. Для 'электронного пучка в магнитном поле возможны два механизма бунчировки.
Один из иих существенно связан с продольной неоднородностью поля волны — это бунчировка электронного пучка по продольным фазам лг, при которой частицы пучка стягиваются в сгустки, локализованные в области тормозящих фаз. Такой механизм аналогичен бунчировке электронного пучка в отсутствие магнитного поля, с той разницей, что в рассматриваемом случае электромагнитной волны бунчировка осуществляется из-за наличия продольной компоненты силы Лоренца, (обусловленной магнитным полем волны) (е/с) [ч1Н),.
Можно воспользоваться условием (1.16!), если под в понимать частоту волны в системе отсчета, вращающейся вместе с электронами. Таким образом, условие бунчировки по продольной фазе имеет вид 㻠— гзн «йо,. (2. 124) И опять, как без магнитного поля, стабилизация неустойчивости происходит в результате захвата электронов пучка в эффективные потенциальные ямы.
При колебаниях электронов в этих потенциальных ямах меняется продольная фаза. Период этих осцнлляций определяется формулой (1.150) с заменой Е на (о /с)Н. Таким образом, чь = 11' $/ Ь (еН(т„с). (2. 125) Амплитуда поля, при которой происходит стабилизация неустойчивости, так же как и в изотропной плазме, определяется из условия ать !. Связанная с такой бунчировкой неустойчивость называется циклотронной. Однако в магнитном поле возможен еще один механизм бунчнровки — группировка частиц пучка по фазам вращения в магнитном поле.
В отличие от первого механизма этот механизм бунчировки является чисто релятивистским. Поясним, как происходит группировка электронов по фазам вращения в магнитном поле (рис. 2.!9). !за В системе отсчета, вращающейся вместе с электроном, частота изменения действующего на электрон электрического поля оз' — гпгг (го' — частота поля с учетом доплеровского сдвига, оз'=го †,п,).
Если циклотранная частота не зависит от энергии, то ускорение электрона на первом сн» огН Рис. 2.19. Группировка частиц по фазам пврморовекого вращения го — ноя) гон. (2.126) Нерелятивистская группировка по продольной фазе существенна только для' достаточно медленных электромагнитных волн ы«йс, т. е. Лг(го) ))1. В этом случае в формуле для инкремента доминирует первое слагаемое и имеет место нерелятивистская циклотронная неустойчивость. При раскачке быстрой электромагнитной волны го>йс существенным оказывается релятивистский эффект зависимости циклотронной частоты от энергии. Неустойчивость этого типа называют м а з е р н о й.
Как и следовало ожидать, вклады от обоих механизмов группировки [слагаемые в квадратных скобках в выражении (2.123) для инкремента1 противоположны по знаку. Это объясняется тем, что условия группировки (2.!24) и (2.!26) противоположны. Интересно отметить, что прн гп=яс, т. е. для среды с показателем преломления Л(гп) 1, соответствующие вклады компенсируют друг друга и неустойчивость отсутствует. Происхождение самого термина «мазерная неустойчивость» связана с использованием квантовомеханнческой интерпретации. При такой интерпретации электронный пучок рассматривается как 183 полупериоде изменения поля компенсируется торможением его на втором полупериоде н суммарное изменение энергии равняется ну- щ«п~„ лю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
