Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Период фазовых колебаний в магнитном поле получается нз формулы (1.!50) с помощью очевидной замены еЕ=ей,р — ~-!хл,Н. Таким образом, где Е+ — Е,+1Е„. Замена о=О ехр ( — !ыи1) в уравнении (2.13ба). дает г(й(г(1=(ест) ехр ( — (а(+(вы!+(нй х+Й,г). (2.137) Теперь воспользуемся тем, что рассматривается, как обычно,.
волна малой амплитуды. В данном случае это значит, что волна не слишком сильно возмущает траекторию частицы. Иначе говоря,. в экспоненте, стоящей в правой части уравнения (2.136а), под х и г будем понимать их невозмущенные значения, соответствуюшие свободному движению частицы в магнитном поле: дх!Ж=ц соз вн( — и„з!п вн1; г(у~й(=и з!п ын1+пэ соз вн(; дг/И=а,. Тогда экспоненциальный множитель принимает вид ,'г (1)=ехр [! (ои — — й,п,)1+! Я и„(мн) (! — соз и()— — ! (йасин!юи) $' аиг). В итоге возмущенное движение частицы определяется зависимостью от времени экспоненциального множителя У (1).
Функция ти(1) =ехр(( — )йрм!"н) '""~и!+1(йри~мн) (1 — созыв!)) (2.!38) является периодической по ! с периодом 2п/епо и ее можно представить в виде ряда по ехр Ипан(), Коэффициенты разложения для функции вида (2.138) после несложных преобразований можно выразить через бесселевы функции (именно так появляются цилиндрические функции в теории колебаний замагниченной плазмы). Мы не будем вдаваться в дальнейшие детали вычисления. Остановим внимание лишь на следующем сушественпом обстоятельстве. С учетом сказанного выше результирующая вынуждаюшая сила !правая часть уравнения (2.137)1, представляющая собой действие поля волны на частицу, оказывается суммой элементарных гармонических сил вида У „ехр ( — !га1+!пент1+!н,п„() . Соответственно реакция частицы на такое воздействие есть просто сумма влияний отдельных сил: и„~„~(пыи+н,и„-— га).
Наибольшего эффекта взаимодействие достигает при условии резонанса ы — й.-п,=яви. (2.139) Здесь, очевидно, а принимает все целые значения; и=-+1, —:2, ... Резонанс при л=! для электронов уже был рассмотрен ранее для случая взаимодействия с частицами необыкновенной электромагнитной волны, распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля.
Это циклотронный резонанс между электронамп и элек!зв чрическим полем волны, вектор которого вращается в ту же стоРону, что и электроны. В условии резонанса учитывается доплеровский сдвиг частоты в'=а — л„о, (в радиофизике условие резонанса с п=1 часто называют резонансом при нормальном эффекте Доил ер а). Если бы в предыдущем параграфе было учтено движение ионов в необыкновенной волне, то условие их резонанса с волной имело бы вид ы — М*= — ыпь (2.140) (Поскольку ионы вращаются в сторону, обратную направлению вращения электрического вектора, то резонанс возможен только при достаточно большом доплеровском сдвиге частоты, когда изза этого сдвига частота меняет знак.) Аналогичным образом условия резонансного взаимодействия обыкновенной электромагнитной волны с ионами и электронами имеют вид гв — М.=ыл,', (2.140а) т» М~ — гане.
Таким образом, наряду с циклотронным резонансом с я=1 возможен также циклотронный резонанс с п= — 1. Это так называемый циклотронный резонанс при аномальном э ф ф е к т е Д о п л е р а. Заметим, что он возможен только при достаточно большой продольной скорости частиц и„превышающей фазовую скорость волны о/й,. Резонансы в условиях нормального и аномального эффектов Доплера были изучены довольно давно при рассмотрении излучения заряженных частиц в магнитном поле. Оказалось, что физическая картина, соответствующая этим двум резонансам, совершенно различная. При нормальном эффекте Доплера излучение происходит из-за наличия поперечной составляющей энергии частиц, в данном случае ларморовского осциллятора, и сопровождается переходом этого осциллятора на более низкий энергетический уровень. Резонанс возможен и в отсутствие продольного движения частиц и,— э4). Резонанс же при аномальном эффекте Доплера соответствует излучению волн в результате существования продольной энергии заряженной частицы.
Излучение сопровождается увеличением поперечной энергии частицы, т. е. возбуждением ларморовского осциллятора. Так же, как излучение отдельной заряженной частицы, пучковая неустойчивость при аномальном эффекте Доплера развивается из-за присутствия продольной составляющей энергии пучка, т. е. обыкновенная электромагнитная волна может возбуждаться электронным пучком, движущимся вдоль магнитного поля. При нормальном эффекте Доплера пучковая неустойчивость развивается из-за существования поперечной составляющей энергии пучка ларя 90 моровских осцилляторов. Действительно, инкремент пучковой неустойчивости необыкновенной волны, полученный в предыдущем.
параграфе, обращается в нуль при о — +О. Рассмотрим циклотронную неустойчивость электромагнитных. волн. Для многих физических приложений, в первую очередь для физики магнитосферы, чрезвычайно важной оказывается циклотронная неустойчивость ионных и электронных свистов, т. е, обыкновенной волны при м~о>н; и необыкновенной волны при м5: ~ ви,. Показатель преломления таких волн достаточно велик (ск/в))1), и поэтому прн рассмотрении их неустойчивости можно не учитывать релятивистские эффекты в движении резонансных частиц.
Кроме гидродинамической циклотровной неустойчивости, которая исследовалась в предыдущем параграфе, возможна также кинетическая неустойчивость. В этом случае так как резонансные частицы имеют неравновесную функцию распределения (пучок, анизотропия распределения по скоростям), то может происходить обращение знака декремента циклотронного затухания в формуле. (2.115). Эта формула описывает взаимодействие резонансных электронов с необыкновенной волной, но ее можно легко обобщить на случай взаимодействия с такой волной резонансных ионов: 2яе~ в 1 ьа д/', "" г д/', ) Йй (2.
141)~ Отметим, что как и в ч. 1, формулы для декремента (инкремента) амплитуды волны можно получить не только формальным решением дисперсионного уравнения, но и с помощью простого энергетического подхода, основанного на балансе энергии в системе волна — резонансные частицы. Из формулы для циклотронного декремента (инкремента) необыкновенной волны следует, что условие возникновения циклотронной неустойчивости имеет вид Покажем, как это условие реализуется в плазме с неизотропным максвелловским распределением по скоростям (с разными продольной и поперечной температурами): /, ~ ехр ( — ти' /2Т вЂ” то',/2Т, ). Выполняя интегрирование по о, находим, что критерий неустойчи'вости в этом случае имеет вид Т /Т, +(а„/в)(1 — Т /Т,)'<О (для электронов); (2.143) Т /Т,, — (аьч/в)(1 — Т /Т„) <,О (для ионов).
(2.143а), 19Ь При этом для неооыкновенпой волны циклотронная неустойчивость на электронах возникает при Т ) Тп (нормальный эффект Доплера), а на ионах — при Т, ) Т (аномальный эффект Доплера). Для обыкновенной волны неустойчивость на ионах и электронах имеет место при обратных соотношениях между температурами. Циклотронная неустойчивость свистов (или геликонов) играет фундаментальную роль в динамике радиационных поясов Земли. В существовании такой неустойчивости можно убедиться, если конкретные функции распределения частиц радиационных поясов— энергичных протонов и электронов — подставить в критерий (2.142). На рис.
2.22 показаны примеры функций распределения энергичных частиц в магнитосфере Земли по данным измерений иа спутниках. Рис. 2.22. Контуры линий уровня функции распределения протонов в радиацион- ном поясе Земли. скорост лана в масс|табе 10' сзос на лелепне. трн показанных распределения соответствуют трем последовательным областям пространства вдоль траектории спутника, на но- тором проводилось нзчерекпе функции распределения протонов.
Условя» для нонне-цнклотрокноа неустаячнвостн выполняются за счет распределения с опустошенным «конусом потерь» !в!Р1мю о, л Рьуысз а1 но1 Р!аята 1п манпе1озрьете. ед. ьу В. нпипчиь ы 51еппо. Ьопбоп, Р1еппт Ртеаз, Ота! Для конкретности проведем дальнейшие выкладки для модельного максвелловского распределения с неизотропными температурами. Это, конечно, является идеализацией, так как «резонансные» частицы, вызывающие неустойчивость в,магнитосферной плазме, разумеется, не описываются максвелловским распределением. Из (2.143) следует, что неустойчивость имеет место даже при очень малой анизотропин температур )Ть — Т, ~~Т2 «41, при этом, однако, инкремент у оказывается экспоненциально малым.
Действи гельпо, т пропорционально 1, (п, = (и — ю„)(й,1 ° ехр ( — (и!12) [(ю — и)'(Т ь )е"-'1). При за ~ юш й'=н!'Ъ'„, и так как согласно (2.143) неустойчивость имеет место для м=ю .!Т. — Т ~!Т, то для наиболее „опасных" и! !92 волн иикремент у будет пропорционален ехр ( — (т,/2) (Ол/Т) [Т/(Т вЂ” Т )1'). Следует заметить, что в реальной ситуации при малой анизотро- пии рассмотренная неустойчивость может и не возникнуть, если, например, в «обрезанном» максвелловском распределении отсутст- вуют частицы с большими продольными скоростями: и, ~ГТ~т, Т/(~Т вЂ” Т ~), ответственные за раскачку колебаний. Это приводит к тому, что на практике нарастание волн вследствие подобной неустойчивости мо- жет быть заметным лишь при достаточно высокой степени анизо- тропии, тем большей, чем больше отношение магнитного давления к плазменному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
