Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть магнитные силовыелинии являются прямыми, лежащими в плоскостях уг. Напряженность этого поля примем постоянной и равной Н,. Примем угол между Н«и осью з зависящим от координаты х. Если при я=О Н0збг, то вблизи к=О простейшей формой такой зависимости 207 может служить Ни=(х/Е,)На. Физически для реализации описываемого поворота силовых линий нужно иметь электрический ток, текущий вдоль силовых линий по плазме.
Наложим возмущающее магнитное поле Н„=Н(сок(к,я+/г„д). Тогда «уравнения движения» для силовых линий с учетом возмущений можно записать в виде х/х/Ю= (Н /Но) соз (/г,г+/еау), г/У/с//=к/Ьм где 1 — кооРдината вдоль силовой линии На. ИнтегРих руя второе из этих уравнений, получаем уь ха//Е,+ (1/Ь,) ~ хт/1. хо Выберем хо, удовлетворяющее условию /г,= — /гя(хо//,,), Оно означает, что возмущение находится «в резонансе» с невозмущенной силовой линией в плоскости к=хо, иначе говоря, фаза возмущения постоянная вдоль 1. При этом условии дгс/с(1,=(Н /Н,) соз ( —" ~-«(/а). (2.175) Теперь немедленно воспользуемся аналогией с уравнением движения электрона в поле монохроматической электростатической волны при условии резонанса ш/А=по (по в невозмущенная скорость): г/о/Ш= — Е соз Я иг//~.
Правила соответствия очевидны: Н /Но+ — +(е/т)Е; л //.;а-й; х« — +о. Тогда ширина зоны захвата Ьэ=(г1з/т)~~'= (аЕ(лгл)"~ электрона полем волны соответствует ширине /як=(Н /Н,) (Е,/я„) ~ воны резонансного возмущения магнитного поля. Картина возникающего расщепления магнитных поверхностей на плоскости х, д в точности совпадает с картиной поведения фазовых траекторий частицы на У 0 У Рис. 2.3!. «Резонансное» разрушение магнитных поверхностей: регуляряое (а) и стохастическое (б), приводящее к броуновскому движению силовых линий у 08 плоскости о, х (рис. 2.31,а).
Аналогом осцилляции захваченных электронов на этом рисунке являются так называемые м а г н и тные островки. Для возмущения, представляющего собой суперпозицию отдельных гармоник Н,= '~~~ Н „соз(й,г+й„у), нетрудно провести рас»' а суждения, приводящие к установлению аналога квазилинейного приближения для электронов (см. 3 1.16). Условием применимости такого приближения должно являться перекрытие зон резонансов. соседних гармоник возмущения. Это квазилинейное уравнение, которое описывает стохастическое поведение силовых линий магнитного поля (см.
рис. 2.3!,б), легко написать по аналогии с (1.192) пользуясь введенными выше правилами соответствия: П, д (~ ~Р/,Р В рассматриваемом приближении «диффузия» силовых линиж описывается с помощью соответствующей плотности вероятности (н(1, г). После этого небольшого отступления проанализируем равновесие кольцевого плазменного витка, используя уравнения магнитной гидродинамики. В первом приближении можно считать, что плазменный виток имеет в поперечном сечении форму окружности радиуса а. Вне этого круга р и 1 обращаются в нуль. Тороидальная поверхность радиуса а представляет собой граничную поверхность, плазменного витка, «оторванного» от стенок вакуумной камеры,, внутри которой этот виток находится. Вместе с тем это одна из.
магнитных поверхностей тороидального поля. Другим независимым параметром, определяющим геометрию системы, является большой радиус плазменного витка Р. В дальнейшем будем предполагать,. что а«Я (это практически всегда выполняется в эксперименте). Заметим, что при малом отношении аЯ плазменный виток по свойствам должен приближаться к прямому цилиндру. Поскольку в задачу входят два главных параметра а и Я, отвечающих двум степеням свободы, то нужно найти два условия равновесия витка — по малому и большому радиусам. Для первого можно пренебречь влиянием тороидальностн и использовать уравнение равновесия, справедливое для прямого плазменного цилиндра. При этом плазма находится под действием полей Н и Н, (в первом приближении поле Н ~роли не играет), и поэтому уравнение равновесия должно представлять собой обобщение соотношений (2.173) и (2.174).
Такое обобщение можно получить, считая, что напряженность обоих полей и давление плазмы зависят только от г (т. е. от расстояния между данной точкой и точкой О в попе- 14 — 74 209' речном сечении). Простые вычисления показывают, что для равновесия необходимо, чтобы соблюдалось следующее равенство: р+ Н',/8т: = Н', (а)/8;+ Н', (а)/8н, (2. 176) где Н', — усредненное значение Н' в плазме.
Это равенство можае записать также в следующем виде: 2на'/г = /'/с+ (Н', (а) — Наа)а'/4. (2. 177) Более детальный анализ приводит к выводу, что соотношение (2.177) справедливо также и для тороидальной системы после внесения небольшого уточнения, которое относится к величине На(а). При строгом расчете Н (а) в (2.177) должно соответствовать Н на поверхности плазмы при гр=п/2 (рис. 2.32). Выясним теперь происхождение и величину сил, которые могут вызвать изменение Н.
Существуют следующие причины их появ.ления: 1. Согласно законам электродинамики в кольцевом проводнике с током должна возникать радиальная сила растяжения, пропор- циональная Р. При и, а/Л« 1 она равна г 'а (Р/2са) (дЯ/д/7), где 0 ,У вЂ” коэффициент са- моиндукции проводб ан ника. 2. Плазменный виток должен растягиваться также под дейстанем внутреннего давления. РастягиваюРис. 2.32. Происхождение пондероноторной силы, растягива1ощей виток но радиусу щее усилие можно определить, вычислив работу, совершаемую давлением плазмы при бесконечно малом жзменении Я, и разделив эту работу на б/т'. Таким путем нетрудно найти, что полное растягивающее усилие равно 2пааар.
3. Существует также радиальная пондеромоторная сила, обусловленная различием в напряженности продольного магнитного поля вне и внутри плазмы. Механизм возникновения этой силы можно разъяснить, обратившись к рис. 2.32, на котором изображен .небольшой отрезок плазменного витка. Кольцевые силовые линии внутри плазмы стремятся сократиться, вследствие чего возникают .силы Г, и Ра, приложенные к торцам отрезка. Их равнодействующая направлена внутрь. Как нетрудно установить, она равна НаааЛО/3, где ЛΠ†углов длина отрезка.
Если бы напряженность поля внутри и снаружи витка была одинакова, то эта сила должна была бы уравновешиваться боковым давлением силовых линий, поэтому результирующая сил бокового давления должна быть равна На(а)аа/з8/8. В общем случае при На(а)~На остается разностный '2! О эффект. В расчете на всю длину витка он дает силу радиального растяжения, равную 2ч , аз — яа' аз а' з [н*(а) — и') = — 4 [и'(а) — и'!.
(2.178) Для равновесия плазменного витка необходимо, чтобы сумма трех радиальных растягнвающих усилий компенсировалась силой Р взаимодействия тока 1 с поперечным полем Н . Следовательно, условие равновесия по большому радиусу имеет вид Р дЯ яа',, 1! ! 2 'аР+ ° + 4 [Н'(а) — Й)=2 гт — (2.179) Если плазменный виток создается внутри тороидальной камеры, изготовленной из материала с высокой электропроводностью, то коэффициент самоиндукции можно принять равным 2'=2пЯ[!п (Ь!а) +1,1, (2.
180) где Ь вЂ” радиус поперечного сечения камеры; 1; — внутренняя индуктивность плазмы на единицу длины витка (при равномерном распределении тока по сечению 1;=1!4, а при сильном скин-эффекте 1;=О). Используя (2.177) и (2.180), можноисключитьизуравнения (2.!79) член, содержащий Н'(а) — Й'. В результате условие равновесия по Я принимает вид 2! г ь цр ~,— !т ~н, В установках, предназначенных для получения плазменных витков в режимах эксперимента с не очень большой длительностью, компенсация растягивающих усилий может происходить автоматически, так как при радиальном расширении шнура в проводящей оболочке камеры возникают токи Фуко.
Они создают поперечную слагающую магнитного поля Н, необходимую для компенсации растяжения. Как показывает несложный расчет, составляющая Нд пропорциональна ! и смещениюН„=(27!с) (61Ьз). Итак, равновесие должно устанавливаться при определенном смещении 6 = (Ь'!А) [!п Ь(а+ 8ЯР!Н', (а) + (1, — 1)12[. (2,182) В экспериментальных установках Ь«!т, и поэтому равновесие устанавливается при относительно небольших смещениях плазмы относительно центра поперечного сечения камеры. В режимах с большой длительностью компенсация растяжения с помощью токов Фуко оказывается недостаточной, и приходится создавать дополнительные источники поперечных полей, размещая кольцевые проводники с током вблизи камеры. С помощью таких проводников можно управлять положением витка в камере, изменяя величину 6.
14 * 21 $ й 2.11. Устойчивость границы плазмы в магнитном поле Кроме диффузии существует еще одна причина распада равновесия плазмы в магнитном поле. Подобно тому как в механике равновесие тела или материальной точки в поле сил не всегда бывает устойчивым, плазма, обладающая, выражаясь формально, бесконечным числом степеней свободы, также может оказаться неустойчивой относительно малого отклонения от положения равновесия. Имеет смысл говорить лишь о таких неустойчивостях, которые разрушают равновесие плазмы за время меньшее, чем время диффузии. Допустим, что плазменная конфигурация находится в состоянии равновесия.
Это означает, что все параметры, характеризующие свойства плазмы (плотность, температура, распределение частиц по скоростям), должны оставаться постоянными во времени. Будет ли такое состояние сохраняться длительное время или же под влиянием случайных флуктуаций параметров возникнут быстро нарастающие возмущения, которые вызовут резкое нарушение исходного равновесия плазмы? Такова в общей постановке задача об устойчивости. Поскольку плазма представляет собой механическую систему с бесконечным числом степеней свободы, то в строгом смысле слова полный теоретический анализ ее устойчивости по отношению к разным видам возмущений может оказаться практически неосучцествимым. Общепринятый подход, сложившийся к настоящему времени в физике устойчивости плазмы, состоит в последовательном рассмотрении различных неустойчивостей, начиная с самых простых моделей — магнитогидродинамических и постепенно усложняя их, чтобы ввести в рассмотрение эффекты конечной диссипации, многокомпонентность плазмы, кинетические эффекты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
