Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 51
Текст из файла (страница 51)
При этом нужно учитывать квазиупругую силу в результате искажения магнитного поля. Если эта сила больше изменения давления, то равновесие устойчиво. При смещении плазмы поле внутри нее «вморожено» и силовая линия с «закрепленными» концами изгибается, рождая силу натяжения Нзг/1(пК где Я вЂ” радиус кривизны силовой линии. Так как Н /.а/2бг (рис. 2.34), то объемная квазиупругая сила равна Нагбз/2зт/.а.
При смещении плазмы магнитное поле снаружи остается параллельным границе, т. е. также изгибается: ЬН 2Н,33/1.. (2.197) Итак, следует учесть дополнительное увеличение силы натяжения. В итоге получаем, что равновесие устойчиво, если (На;+Н'о) /2п/з)дрй/2п. (2.198) (2.202) Поскольку существуют возмущения со сколь угодно малыми А= =2п/А, то резкая граница плазмы всегда неустойчива даже при учете стабилизирующего влияния силы натяжения.
Это наводит на мысль о том, что если граница плазмы (как в любом реальном случае) слегка размыта, то в формуле (2.198) нельзя рассматривать возмущения с длиной волны, меньшей толщины границы (скажем, б), т. е. возмущения, удовчетворяющие условию И>1. Действительно, возникающая при смещении элемента неоднородной плазмы квазиупругая сила остается такой же, как и в предыдущей задаче: Н'бз(2пР, то архимедова сила дбр (бр — разность плотностей смещенного элемента и окружающей плазмы) изменится.
Действительно, бр=бЫр~ фг, (2. 199) так что условие устойчивости есть Н'12пй~>ййрз(г(г йр(б, (2.200) т. е. размытая граница плазмы ширины 6 на самом деле может быть устойчива. Постановка задачи с введением гипотетической силы тяжести д может показаться слишком искусственной. Однако в любом реальном равновесии плазмы в магнитном поле роль такой эффективной силы тяжести играет любая перпендикулярная к магнитному полю сила, действие которой не зависит от знака заряда. Такой силой может быть, во-первых, центробежная сила, связанная с движением частиц вдоль искривленной силовой линии.
Очевидно, при этом следует заменить й на о','К, где Я вЂ” радиус кривизны силовой линии, а о', — средний; квадрат скорости продольного движения ионов (электронов). Во-вторых, эта сила может быть связана с дрейфом в неоднородном магнитном поле (см. 5 2.1). Если эта неоднородность вызвана кривизной силовых линий, то замена производится следующим образом: д — +о' 12)с. Складывая оба эффекта, получаем д (1(Я) (о', +и'„ь(2) ~ (1~И) (р„+р„)(р.
(2.201) Отсюда видно, что выпуклая граница плазмы должна быть неустойчива. Для стабилизации силой натяжения силовых линий необходимо, как это видно из (2.200) и (2.20!), чтобы Н', ) (41,''р(Ь) (о', +и' ~2)~К где Š— эффективная длина силовой линии; )с — радиус ее кривизны; б — толщина размытой границы. В заключение этого параграфа следует заметить, что если плазма движется ускоренно, то аналогом д является ускорение границы а. Инкремент нарастания возмущений в этом случае есть 1гпв- ) аН. Такого типа неустойчивости наблюдаются в экспери- 217 ментах по «инерциальному» методу удержания в термоядерном синтезе. Сюда относятся методы быстрого сжатия плазмы нарастающим аксиальным магнитным полем (так называемый «О- пинч»), быстро сжимающаяся под действием мощного лазерного излучения капля плотной плазмы.
й 2.12. Желобковая неустойчивость плазмы и энергетический принцип устойчивости в магнитной гидродинамике Тенденцию плазмы обнаруживать неустойчивость вблизи выпуклых участков границы можно интерпретировать как следствие диамагнетизма плазмы. Будучи диамагнетнком, плазма стремится распространяться в сторону более слабого магнитного поля. Именно поэтому если поверхность плазмы лежит в области, где напряженность магнитного поля убывает от границы плазмы наружу, то положение границы может оказаться неустойчивым. Для замкнутых магнитных ловушек справедлива следующая теорема.
Нельзя создать такое магнитное поле, напряженность которого возрастает наружу от границы плазмы вблизи каждой точки поверхности тороидальной плазменной конфигурации. Нормальная к поверхности плазмы = — компонента йтас( ~ Н ~ меняет знак вдоль границы. Простой иллюстрацией может служить система токамак. В этом случае Н убывает от границы Рис.
2.38, Образование «азыза» на плазмы наружу на внешней стороповерхности плазмы не тороидального плазменного витка и возрастает на внутренней стороне витка. Указанное свойство замкнутых ловушек, естественно, вызывает сомнение в возможностиустойчнвогоудержания плазмы в таких системах. Появляется следующий вопрос: не может ли плазма отдельными «языками» вытекать в область более слабого поля? Ответ на этот вопрос зависит от того, имеем ли мы дело с плазмой высокого давления, для которой параметр ~=8яр!Нз 1, нли же с плазмой низкого давления, для которой р«1. В этих двух крайних случаях условия устойчивости совершенно различны. При р -1 на поверхности плазмы могут образовываться и развиваться локальные возмущения типа «языков» (рис. 2.35).
Вследствие вмороженности поля в плазму образование отдельного языка приводит к искривлению силовых линий с увеличением магнитной энергии. Соответствующая работа производится расширяющейся плазмой благодаря ее тепловой энергии. Если «язык» встречает более слабое поле, то он будет распространяться все дальше, н это означает неустойчивость границы плазмы.
В данном случае не- 218 устойчивость имеет локальный характер, т. е. она зависит от мест ной геометрии поля. Как уже говорилось, в замкнутых ловушках на отдельных участках поверхности плазменного витка геометрия пол благоприятствует развитию «языков» (это имеет место там, где поверхность плазмы двояковыпуклая). Поэтому плазма с р 1 в ких системах должна быть более неустойчивой. Об этом не следует забывать прн обсуждении перспектив использования высокотемпературной плазмы. Совершенно иная ситуация складывается в том случае, если давление плазмы исчезающе мало по сравнению с магнитным давлением. Заметим, что это условие фактически соблюдалось во всех исследованиях, выполненных до сих пор на установках типа токамак. При 1)«1 возмущения плазмы не могут вызвать заметных искажений формы силовых линий.
Следовательно, ло- КаЛЬНЫЕ ДЕфОРМапнн тИПа «ЯЗЫКОВ» Рис. 2Д6, )К«лобковая дефоравтоматически стабилизируются, и все м«чня возмущения внутри плазмы или на ее границе могут носить только характер перестановки целых систем трубок. Плазма, заполняющая магнитную трубку, образованную очень тонким пучком силовых линий, стремится расшириться и поэтому будет перемещаться в ту сторону, где объем трубки увеличивается.
Этот объем ЬР= ) 65г(1, где 65 — площадь поперечного сечения трубки и Ж вЂ” элемент длины силовой линии. Вследствие неизменности магнитного потока бФ по длине трубки можно написать т=) б5На)Н=) бФЩН=бФ, "Ы1Н. (2.2ВЗ) Вмороженность силовых линий означает, что при всех перемещенияхданной трубки, заполненной плазмой низкого давления,бФ остается постоянным. Следовательно, объем трубки изменяется пропорционально )'Ж/Н. Поскольку плазма, как и всякий другой газ, имеет естественную тенденцию к увеличению объема, то в процессе перемещения трубки )Ж1Н играет роль, аналогичную потенциальной энергии. Описанные здесь перемещения отдельных элементов плазмы, при которых силовые трубки меняются местами, замещая друг друга, называются перестановочными, или конвективн ы и и, деформациями.
Появление таких деформаций на границе плазмы с внешним полем приводит к тому, что поверхность плазмы приобретает «желобковую» структуру (рис. 2.36), ориентированную вдоль силовых линий. Поэтому иногда говорят также о деформациях желобкавого типа — самых опасных врагах равновесных конфигураций. Критерий устойчивости по отношению к таким деформациям до. 219 пускает простую формулировку, если воспользоваться введенным выше понятием о «потенциальной энергии» У.
Граница плазмы устойчива в том случае, если при выходе магнитной трубки с плазмой изнутри на поверхность с образованием выступа происходит возрастание О, т. е. имеет место условие б)' й)Н~0. (2.204) Вариация интеграла берется между двумя бесконечно близкими силовыми линиями по нормали к границе плазмы. При другом знаке неравенство (2.204) означало бы неустойчивость границы плазменной конфигурации. Полученный критерий устойчивости имеет достаточно ясный физический смысл.
Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы напряженность поля, усредненная вдоль силовой линии, возрастала от границы плазмы наружу. Это частная форма извест. ного принципа «минимума Н». Заметим, что согласно (2.203) ) й(Н=БЪ'~ЬФ. Поэтому ~ й/Н можно назвать «удельным объе. мом» магнитной трубки. Для того чтобы установить область применимости критерия устойчивости (2.204), надо сначаРвс. 2.37. Иллюстрация связи потец- ла устранить неопределенность цяэльноя энергии ц поперечного тока в выражении для ц, которая за- ключается в том, что не указаны пределы интегрирования по длине силовой линии. Неопределенность исчезает в том случае, когда силовые линии на поверхности плазмы замкнуты, так как очевидно, что при этом интеграл ) й(Н должен распространяться на всю длину силовой линии.
Для уточнения можно ввести следующее определение потенциальной энергии У магнитной поверхности с замкнутыми силовыми линиями: У= — (! /Ж) $ й(Н. (2.205) Здесь Л вЂ” число обходов вдоль магнитной системы, после которых силовая линия замыкается на себя. Потенциальная энергия У является однозначной характеристикой поверхности.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим две близкие магнитные поверхности и определим ток, протекающий между ними через перегородку, проведенную вдоль одной из магнитных силовых линий (рис. 2-37). Суммарный ток й, проходящий через перегородку, очевидно, не должен зависеть от выбора силовой линии: Л= ф у ппй=сопзС. (2.206) Здесь Нп — элемент нормали к магнитной поверхности и ) — компонента плотности тока, перпендикулярная к Н. Интеграл берется 220 вдоль силовой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
