Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Существенно, что различные механизмы нарушения равновесия .допускают классификацию по скорости развития связанных с ними возмущений. Это позволяет ориентировать теорию на последовательное рассмотрение неустойчивостей и условий их стабилизации, начиная с тех, которые вызывают наиболее быстрые перемещения :плазмы и поэтому являются самыми опасными. Наиболее же опасными нарушениями равновесия являются те, которые можно считать магнитогидродинамическими. При возмущениях магнитогидродинамического типа макроскопические участки плазмы могут приобрести скорости порядка тепловой скорости ионов.
При таких возмущениях плазма ведет себя в магнитном поле аналогично идеально проводящей жидкости (или, точнее говоря, как идеальный проводник, лишенный собственной жесткости). В связи с большими математическими трудностями обычновы.деляют более простую задачу исследования устойчивости относительно возмущений малой величины или амплитуды. Метод используемого в этом случае теоретического анализа заключается в том, 2! 2 что плазма с заданными равновесными параметрами, такими как плотность, температура, магнитное поле, подвергается малой вир« туальной деформации, при которой возникают добавки к равновесным значениям тех же параметров.
Судьба такого состояния плазмы затем прослеживается с помощью уравнений магнитной гидродинамики плазмы (если такая модель описания плазмы оправдана). Предположение о малости амплитуды облегчает математическое исследование этих уравнений, так как пренебрежение квадратами и более высокими степенями малых величин дает уравнения, линейные относительно неизвестных величин р, и, Н. Но даже такая упрощенная (линейная) теория устойчивости для произвольных равновесных конфигураций оказывается довольно сложной.
Часто теории устойчивости плазмы приходится опираться на методы, разработанные в обычной гидродинамике. Самый простой, но чрезвычайно важный вид неустойчивости равновесия плазмы удобнее всего проиллюстрировать на примере уже рассмотренного выше равновесия с резкой границей в продольном магнитном поле.
Как будет видно из дальнейшего рассмотрения, почти все основные типы магнитогидродинамических неустойчивостей различных равновесных конфигураций «генетически» связаны с этим простейшим случаем. Поэтому неустойчивости плазмы с резкой границей посвящается отдельный параграф. Итак, пусть плазма занимает полупространство х)0.
Магнитное поле внутри плазмы для начала положим равным нулю. При х(0 имеется магнитное поле, направленное вдоль оси г с давлением Н'«)8п, уравновешивающим давление плазмы. Дополним рассмотренную здесь модель равновесия введением некоторой силы тяжести рд, направленной вниз по оси х (естественно, что речь идет о силе тяжести, компенсированной действием магнитного поля на плазму). Мы предположили, что магнитное поле при х= =0 скачком меняется от нуля до Нм т.
е. границу плазмы считаем бесконечно тонкой. Мы уже знаем, что из-за диффузии магнитного поля внутрь плазмы (и встречной диффузии плазмы) толщина этол границы должна быть конечной. Поэтому сделанное выше предположение означает, что мы будем интересоваться только явлениями с пространственными масштабами (длинами волн неустойчивости, в данном случае), значительно превышающими толщину переходного слоя б. В частности, будем исследовать деформацию равновесия плазмы (см.
рис, 2.31), представляющую собой волнообразное искривление поверхности раздела вдоль координаты у с длиной волны Х, значительно превышающей толщину переходного слоя. Само наличие неустойчивости рассматриваемого равновесия плазмы очевидно из аналогии с известной в обычной гидродинамике неустойчивостью тяжелой жидкости над легкой в поле тяжести.
Малая деформация поверхности раздела дает возможность «языкам» легкой жидкости всплывать в поле тяжести, «языки» же тя- 213 желай жидкости опускаются. В данном случае плазма играет роль тяжелой жидкости, магнитное же поле — легкой (в рассматриваемом случае можно говорить даже о невесомой жидкости). Количественное описание неустойчивости такого рода можно дать с помощью подстановки малых величин Ьр, и, бр в уравнения магнитной гидродинамики. Так, изменение плотности должно описываться уравнением дбр/д/+и йтаб Ро+Ро Йч п=О, (2. 183) в котором пренебрегается членом, содержащим произведение двух малых величин и и бр. Задача еще более упростится, если приближенно считать плазму несжимаемой жидкостью (такое приближение обычно справедливо при рассмотрении движений со скоростями, много меньшими скорости звука).
Тогда нз уравнения непре- 3„ ывности получается условие несжимаемости б(ч п=О, т. е. и„/дх+дио/ду=О. Скорость плазмы можно найти из уравнения Эйлера роди/д1= — йтаббр, в котором также отброшены члены, содержащие произведение малых величин. Вместо скорости и удобно ввести другую переменную — смещение плазмы из положения равновесия $, определяемую с помощью формулы и=д~/д/. Условие несжимаемости теперь принимает вид д$„/дх+д$о/ду=О, (2.184) а уравнение Эйлера род'$/д/о= †йтас1.
(2.185) Эти уравнения, вообще говоря, нужно дополнить граничными условиями на границе, разделяющей плазму и магнитное поле, и уравнениями Максвелла для магнитного поля в области вне плазмы. Но в рассматриваемой здесь частной задаче путь к ответу оказывается более простым. Смещение при волнообразной деформации с длиной волны Х зависит от у па гармоническому закону о(х, у, /) =Цх) ехр ((йу — Ы), (2.
186) где й=2п/Х, а гз — собственное значение частоты, соответствующее волновому числу й. Подставляя искомый вид $ (2.186) в уравнения (2.184) и (2.185), получаем Л„/о(х+ 1,Ф1у — — 0; (2.187) — р, о'1„= — дбр/дх; (2. 188. Ром оо =1лбр (2. 189) Здесь учтено, что бр=бр(х) ехр (1/оу — Ъ/). Из уравнений (2.188) и (2.189) можно исключить бр, если первое из них умножить на И, второе продифференцировать по х, а затем сложить оба уравнения: 214 1/4Г + Л„/о/х = О. (2. 190) Из (2.190) определяем ~ц и, подставляя его в уравнение (2.187), находим д'1„(Нх' — А'~„= О. (2.191) Общее решение этого уравнения имеет вид суммы двух экспонент ехр (+.йэх) с произвольными коэффициентами.
Из физических соображений ясно, что по мере удаления от границы х=О создаваемое волнообразное искривление первоначально плоской границы должно сказываться все слабее. По этой причине из двух возможных экспонент следует удерживать лишь затухающую при х- оо, т. е. $„=$, ехр ( — йх), (2.192) где $, — постоянный коэффициент. Изменение давления при смещении плазмы бр можно найти из следующих соображений.
В равновесии действие силы тяжести внутри плазменного слоя уравновешивается градиентом давления р«д — ар« (х) фх=О, (2.193) в результате чего давление плазмы должно зависеть определенным образом от координаты.х: р=(Х)). При смещении на рас* стояние $„р=рэ(х+~„), и, раскладывая это выражение в ряд, получаем с учетом (2.193) бр=(пр(пх) ~„=рюш„. (2.194) Далее подставляя (2.194) в уравнение (2.189), приходим к оР$„= =(й$ р«д. Заменив ф. на 4э, с помощью (2.190) легко получить аэ$» — — — йд$э. Иначе говоРЯ, диспеРсионное УРавнение длЯ частоты е имеет вид ы = — йй (2.
195) и дает мнимые собственные значения, соответствующие экспоненциально растущим во времени решениям. Дисперсионное уравнение (2.195), если в нем изменить на противоположный знак в правой части, совпадает со знаменитым уравнением волн тяжести в океане — так называемых «гравитационных» волн. Это совпадение не случайно, ведь в задаче об устойчивости удержания плазмы магнитным полем мы, образно выражаясь, поставили жидкость (плазму) «с ног на голову», т.
е. против силы тяжести. Этот пример неустойчивости равновесия плазмы исторически был исследован раньше всех прочих (неустойчивость Крускала — Шварцшильда). Теперь, двигаясь шаг за шагом от простых ко все более сложным видам равновесия, изучим, как изменяется их устойчивость. Первым очевидным шагом на пути обобщения модели Крускала — Шварцшильда является допущение, что и в объеме (полупространстве), занимаемом плазмой, имеется магнитное поле (более слабое по условиям равновесия, чем снаружи). Из интуитивных 212 соображений сразу ясно, что само по себе оно не сможет сделать устойчивой конфигурацию, в которой тяжелая жидкость лежит сверху.
Теперь сделаем еще один шаг: ограничим объем, занимаемый плазмой, в направлении вдоль Но твердыми стенками, представляющими собой идеально проводящие пластины, установленные перпендикулярно к магнитному полю на расстоянии /. др)т ат друга (рис. 2.33). Поля внутри и снаружи плазмы параллельны. Перпендикулярно к ним направлена сила Р=рд. Поле внутри плазмы есть Нь снаружи Но Дальнейшее рассмотрение проведем на уровне наглядных оценок.
Если граница плазмы смещается по вертикали на бг, причем возмущение имеет длину 1 2п//е поперек поля.и, естественно, /. вдоль, то давление на наиболее отклонившемся участке границы Рис. 2.34. Возникновение стабилизирующей силы натяжения при изгибании границы плазмы в магнитном поле Рис. 2.33. Неустойчивость границы плазмы при наличии идеально проводящих торцов увеличится на массу столбика плазмы высотой бз (архимедова сила) 216 бр=раба. (2.196) Наиболее важный новый эффект, который связан с введением идеально проводящих торцов, — это искажение магнитного поля из-за вмороженности силовых линий (закрепления концов силовых линий).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
