Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть, например, Т >Т . Не будем заранее считать анизотро- пню температур малой, т. е, не будем предполагать выполненным условие ы«апь Оценим, при какой степени аиизотропии экспонен- та ехр( — (п«7/2) [(ъ — вьн)»/Т„й''1), входящая в выражение для ин кремента, станет порядка единицы: 7п, (м — а„.)'/Т, й' 1. (2.144) Квадрат волнового вектора И можно выразить через а с помощью дисперсионного соотношения для «холодной» плазмы, вывод которого приведен выше (см. 9 2.6); й'с'/и'=ы»гн/[гон (ын< — и) ] (если речь идет о волне, вектор поляризации которой вращается в направлении вращения ионов в магнитном поле). Подставляя йз=ыза;вз/[с»авн(4ан — и) ) в (2.144) и учитывая, что согласно (2.143) для неустойчивости необходимо в<«выл(1 — Т3,/Ть;) полу чаем Т,/Т,, в )УН'/8япТ, .
(2.145) При этом условии инкремент неустойчивости становится заметным. Аналогичное условие имеет место и для волны, поляризованной в направлении вращения электронов. Ясно, что при прочих равных условиях электронная ветвь должна иметь больший инкремент. Развивая последовательно аналогию с продольными колебаниями, для рассматриваемого взаимодействия между частицами и волнами при циклотронном резонансе можно рассмотреть квази- линейную стадию, которая должна учитывать обратное влияние волн на распределение частиц по скоростям (в данном случае по и, и о7).
Для простоты и здесь ограничимся простейшими случаями, а именно ионными и электронными циклотронными волнами (свистами), распространяющимися вдоль Нч. Ограничение случа- $3 — 74 !93 ем параллельного распространения упрощает алгебру, позволяя рассматривать только основную гармонику циклотронного резонанса и освобождая от необходимости выписывать громоздкие формулы с функциями Бесселя. Но в то же время оно не вносит существенных изменений в физическую картину. Будем исходить из кинетического уравнения д)1д(+па (д1(дг) — мн(дед р)+(е~т) (Е, + (1~е) (чх Н 1) (д1(дтг) = О и уравнений Максвелла для Е , Н . Если представить функцию распределения в виде суммы медленно и быстро меняющихся частей: 7=1,(1, и , о,) + 1, и воспользоваться формулой для 1„ то урана и Ь~ а пение для медленно меняющейся части принимает вид 1см.
(1.192) ] Знак г- в резонансном знаменателе относится к право- или лево- поляризованным (обыкновенной и необыкновенной) волнам. В резонансной области это уравнение можно упростить; (2.147) 194 пх М пт пйп— мпх— к к Рис. 2.23. «Линии уровня» в плоскости оЬ, о, в результате квазилинейной релаксации волнового пакета свистов в плазме В качестве примера применения уравнения (2.147) рассмотрим задачу о поглощении частицами одномерного волнового пакета. Резонансная область скоростей и„ соответствующая такому волновому пакету, изображена на рис.
2.23. Она лежит в левой полуплоскости, так как и,= = (оз вн) /й отрицательно для свистов (ох<гон). Окружности изображают линни уровня для первоначально изотропиого распределения по скоростям. Так же, как н в кваз~илинейной теории ленгмюровских колебаний, резонансные частицыдиф- фундируют до тех пор, пока не достигается установившееся состоя- ние «плато», Для достаточно узкого волнового пакета [Ь(ы/й) « «'в/й] установившееся состояние таково, что ([1 — (йп,(л)] (д~,!до )+(Аа„(а) (д),~да«)) =О.
(2.148) При достижении такого состояния диффузия прекращается„как это видно из сравнения (2.148) с уравнением (2.147). Это условие определяет плато для рассматриваемого случая по аналогии с условием п1п/до=О (плато в квазилинейной теории ленгмюровских колебаний). Линии уровня установившегося распределения поскоростям (линии равных значений функции распределения), удовлетворяющего уравнению (2.148), определяются уравнением "1+пг мп» 2 л — * =сопз1 (2.149) В этом можно убедиться, если функцию распределения вида 1](п' +и',)12 — ао,1х] подставить в уравнение (2.147). Линии уровня представляют собой окружности, но их центры смещены вправо на.
расстояние ы/й (см. Рис. 2.21). Сравнивая условия «плато» с уравнением (2.115) для декремента затухания, видим, что декремент вату- х к хания свистов в состоянии плато обра- и щается в нуль (аналогично случаю х ленгмюровских колебаний). х Квазилннейная диффузия такоготиьп па, если она возникает в результате х "е неизотропной неустойчивости плазмы в ловушке с магнитными пробками, например в магнитосфере, приводит Рис. 224.
лекгмюгпв«кке калек диффУзии вектора скорости частиц из а иткп поле области удержания в конус потерь. Оказывается, что в условиях магнитосферы Земли это важнейший механизм, определяющий время жизни частиц в радиационных поясах. Эта диффузия связана с возбуждением электромагнитных волн типа свистов. Однако к диффузии в конус потерь может приводить и другой механизм, связанный с возбуждением электростатических колебаний.
В лабораторных магнитных ловушках плазма помещена в сильное магнитное поле и, как правило, электронная цикла- тронная частота превышает плазменную. Электроны в этих условиях оказываются замагниченными. Рассмотрим колебания, электрический вектор в которых почти перпендикулярен к магнитному полю. Из-за замагниченности электронов их движение при колебаниях происходит не вдоль электрического вектора, как в изотропной плазме, а толька вдоль магнитного поля (рис. 2.24). В результате частота колебаний существен- 1З 195 но уменьшается по сравнению с электронной плазменной ор„и такие низкочастотные колебания могут оказаться в резонансе с захваченными в ловушку ионами. Действительно, из дисперсионного уравнения продольных колебаний плазмы (2.96) следует, что при вр,<(ып, частота электронных ленгмюровскнх колебаний в замагниченной плазме в=в„, соз О (2.150) (см.
рис, 2.!4, вторая ветвь колебаний). Покажем, что взаимодействие этих колебаний с захваченными в ловушку ионами действительно приводит к неустойчивости. Прн не слишком малых значениях отношеф ния й,/й частота г» остается все же существенно больше ионной циклотронной частоты. В этом случае магнитное поле не влияет на взаимодействие ! ионов с волной (незамагниченные ионы) и эффективное взаимодействие Г имеет место при условии выполнения ' резонанса Ландау.
Тогда влияние Рвс. 2.25. Функция Распрел«л«- магнитного поля на ионы проявляется у" ""гь» только в том, что магнитное поле «размешивает» пх функцию распределения по углам ларморовского вращения. Поэтому функция распределения ионов в ловушке имеет вид 1,(ч)=),(п',+и'„, и,).
(2. 151) Ионы с достаточно малсй поперечной скоростью и (о,TЙ„!Н,— 1 (Н ~Н, — «пробочное» отношение) попадают в конус потерь и уходят из ловушки. В результате этого функция распределения ионов в ловушке имеет вид, представленный на рис. 2.25. Покажем, что при такой функции распределения ионов всегда существуют распространяющиеся почти перпендикулярно к магнитному полю неустойчивые электростатические колебания, и определим фазовые скорости этих колебаний.
Пусть для определенности волна распространяется по оси у. Инкремент неустойчивости у- дд/дп„, где д — функция распределения, проинтегрированная по поперечным (по отношению к волне) компонентам скорости и„ о,. Для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы — ~ 1(О~~, у)пуИ ~ м)0. (2.152) Левую часть этого неравенства распишем следующим образом, переходя к интегрированию по полярным координатам и, о„Р: ~ г)п„йп»г1п, (д~ди„) ~ (о'„, и,) 6 (и„— м/Ф) = =(2»,'А) ~п Ип йфп«(дауда' )~(п' > п,)8(о з(пР— в~й).
186 Интеграл по ~р легко вычисляется, и в итоге условие неустойчиво- сти записывается следующим образом: ~ (д~~ди'„г) Ы до,( ~/ о' — а'~й' > О. (2.153) Если бы в подынтегральном выражении отсутствовал множитель ~о'„— в*1'й'] '", то для функции распределения (см. рис. 2.23) интеграл в левой части неравенства (2.153) обратился бы в нуль. Интеграл положителен при выполнении условия в(й(о '", (2.154) поскольку в этом случае при интегрировании по и наиболее существенна область, где д1',(до' ~ О. Таким образом, неустойчивыми оказываются все колебания с фазовыми скоростями, удовлетворяющими неравенству (2.154).
Условие возникновения неустойчивости, так же как и инкременты нарастания, конечно, можно получить и из дисперсионногоуравнения ленгмюровских колебаний, приведенного в ч. 1. В этом уравнении необходимо учесть, что электроны замагничены, а в резонанс с колебаниямимогут попадать только ионы, и, следовательно, только их нужно рассматривать в кинетическом приближении. Функция распределения ионов определяется формулой (2.151). С учетом этих замечаний дисперснонное уравнение преобразуется следующим образом: ,' 1 — (е'г,/в') соз'3 — (4яе'~т,а) ) А (д1',/дч) (кт — а) 'г(к=О.
(2. 155) Будем считать, что ионы определяют только мнимую часть частоты, и соответственно этому в последнем слагаемом учтем только мнимую часть резонансного знаменателя: 1гп 11/(кт — в) 1=пб (кт — в). Преобразуем интеграл по скоростям, переходя к полярным коор. дииатам о,ср, о„и интегрируя по ср: ~Й(д)',ада )зш116(йо зшр — в)о Нп 1йрдо = =Ф 1 д1, 1 0 по ЙГд агдо„ь'рге <~з д Л. * в ' Ъ Окончательно получим следующее дисперсионное уравнение: )/й Оз м~ 191 Из этого уравнения следует, что частота колебаний определяется формулой (2.150), а инкремент нарастания амплитуды 2е~е~ ея ! д~а е" Гее* Т з ) еп е2,] Де 2 ы !ее 1 (е2 м е [см.
условие возникновения неустойчивости (2.153)]. Возникающая при выполнении условия (2.153) неустойчивость хорошо известна в физике плазмы. Это так называемая к о н у с н а я н е у с т о й ч ив о с ть, которая должна весьма существенно влиять на динамику частиц в ловушках с сильным магнитным полем. Из-за неустойчивости функция распределения, показанная на рис. 2.23, должна переходить в состояние с плато в той области скоростей, где первоначально д1е/до' )О.
В этом случае происходит диффузия частиц в пространстве скоростей в сторону убывания о, т. е. уход частиц в конус потерь. Таким образом, развитие конусной неустойчивости должно стать причиной быстрого ухода плазмы из ловушки. 2 2.9. Равновесие плазмы в магнитном поле Подобно тому как в механике обычной жидкости простейшим случаем является гидростатика, т. е. раздел гидродинамики, изучающий равновесие жидкой или газообразной среды, в магнитной гидродинамике плазмы можно выделить раздел о равновесии плазмы в магнитном пале. В таких состояниях левая часть магнитогидродинамического уравнения Эйлера (2.57), описывающая инерцию плазмы, полагается равной нулю, и в результате получается уравнение (1/с) [1,'х', Н]=дгаб р, (2,! 58) означающее, что сумма объемных сил, действующих на плазму, равна нулю в любой точке внутри плазмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
