Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Первым следствием условия равновесия плазмы (2.158) является постоянство ее давления вдоль силовых линий магнитного поля, так как []КН] ! Н. В произвольном случае магнитное поле может иметь довольно сложный характер и свойства равновесного состояния плазмы оказываются непростыми. Задачи такого рода имеют важное значение в проблеме управляемого термоядерного синтеза.
Здесь же мы рассмотрим простейший случай равновесия плазмы в магнитном поле с прямолинейными и параллельными друг другу силовыми линиями магнитного поля, иначе говоря, равновесие плазмы в продольном магнитном поле. Магнитное поле имееттолько одну компоненту Н„которая является функцией координат х и у (в плоскости, перпендикулярной к полю). В этом случае условие равновесия принимает вид дрых= — (1~8и) дНе,(дх; др(ду= (1)8„) дНз,(ду (2.159) 1Эз Следовательно 3=(с/Н) Чр. (2.163) Электрический ток связан с относительным движением электронов и ионов плазмы со скоростью 1/еп. Электрическое сопротивление такому току есть следствие силы трения между электронами и вонами плазмы: Г=пт, ()/еп) т,ь (2.! 64)' где т„— — 1/тм — время свободного пробега электронов по.отношению к соударениям с ионами.
Точно так же, как рассматривался дрейф заряженных частиц под действием произвольной силы р, можно говорить о дрейфе электронов и ионов под действием силы трения. Скорость такого дрейфа из=с(т,/еНзп)те'ЦХ Н). (2.165) 199 р+Н',/8п=сопз(. (2.160) Это соотношение показывает, что магнитное давление Н'/8п за пределами области, занятой плазмой, больше, чем внутри нее, на величину р~„. Максимальное давление, при котором плазма может удерживаться полем заданной напряженности Нм определяется из условия рвах=Н~О/8п. (2.161) Видно, что магнитное поле внутри плазмы оказывается меньше внешнего поля; это следствие того, что плазма представляет собой диамагнетик.
В этом случае плазма должна полностью вытеснять поле из занимаемой ею области пространства. До сих пор, говоря о равновесии плазмы в магнитном поле, мы испольэовали лишь одно из уравнений магнитной гидродинамики— уравнение Эйлера, в котором считали Ыи/И=О. Выясним, совместимо ли это допущение с остальными уравнениями магнитной гидро- динамики. Исходя из уравнения приходим к выводу о неизбежности диффузии магнитного поля внутрь объема, занимаемого плазмой, т. е. в область более слабого поля.
Таким образом, магнитное поле, вообще говоря, будет изменяться во времени. Но тогда давление плазмы, жестко связанное с магнитным давлением условием равновесия (2.160), тоже долж. но меняться, т. е. будет происходить изменение распределения плазмы в пространстве. Этот встречный процесс также имеет диффузионный характер.
Коэффициент диффузии плазмы, очевидно, имеет такой же порядок величины, как и 0м=с'/4пп, если давление плазмы сравнимо с давлением магнитного поля р Н'/8п. Уравнение, описывающее процесс диффузии плазмы в магнитном поле при р«Нз/8п, можно вывести следующим образом. Равновесие плазмы достигается в результате протекания тока плотно- стью Она одинакова для ионов и электронов, поскольку разные знаки зарядов ионов и электронов компенсируются взаимно противоположными направлениями сил трения. Поэтому в процессе такого дрейфа электрическая нейтральность плазмы не нарушается. Подставим теперь найденную скорость иа движения плазмы под действием сил трения в уравнение непрерывности.
Получим уравнение диффузии дп/д1= — Йч пиа=(с'р/оН') Ап. (2.166) В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что в реальном случае плазмы с конечной электропроводностью строгого равновесия не существует, так как скорость плазмы отлична от нуля. Это значит, что инерционный член в уравнении Эйлера, вообще говоря, не обращается в нуль и можно говорить лишь о приближенном выполнении условия равновесия. Это условие выполняется с тем болыпей точностью, чем меньше относительная величина инерционного члена. Допустим, что тр — характерное время, за которое происходит изменение плотности плазмы. Тогда сделанное приближение справедливо при условии ~ пгп~и/тг'1 << (1/с) ~))(Н(.
Подставляя и из (2.165), получаем 1 АОвитр « гэпетги (2.167) Отсюда видно, что чем выше степень замагниченности плазмы, тем с большим правом можно говорить о ее равновесии. Из рассмотренной картины диффузии плазмы в магнитном поле вытекает еще одно следствие: диффузия связана со столкновениями между частицами разного сорта — между электронами и ионами (столкновения между одинаковыми частицами в рассмотренном приближении не приводят к диффузии, так как не дают силы трения). Используя уравнение диффузии плазмы (2.166), нетрудно оценить время диффузии (т. е.
время, за которое распределение плотности плазмы существенно изменится). Это время ~„ъ. /.'„/Уь ~н 1 '~НО/с'Р. (2.168) Таким образом, данное равновесие плазмы имеет конечное время жизни порядка т„. Полезно привести еще один вывод коэффициента диффузии плазмы поперек магнитного поля, рассматривая случайные блуждания частиц вследствие столкновений. За время одного свободного пробега т„электрон в среднем испытывает одно кулоновское столкновение, в результате которого он смещается в плоскости, перпендикулярной к Н, иа расстояние порядка ларморовского радиуса гв..
При многократных столкновениях согласно статистическим законам складываются квадраты отдельных смещений. Поэтому за время 1 частица сместится перпендикулярно к Н иа рас- 200 стояние Лх~г„,)/(~т„. (2.169) Кроме того, среднее смещение при таком диффузионном процессе должно быть порядка )Г0„~ . Следовательно, "'и,l" . Вследствие квазинейтральности плазмы скорость ее диффузии в направлении, перпендикулярном к Н, должна практически совпадать со скоростью диффузии электронов, так как прн сравнимых значениях температуры электроны из-за меньшей величины ларморовского радиуса блуждают поперек поля гораздо медленнее, чем ионы.
Поэтому формула (2.170) дает оценку коэффициента диффузии для плазмы в целом. Среднее время между двумя столкновениями т=то/пе~. Поэтому Н„~.г',( ~ о'тлР,с'пеуе'Н'т,ч .с'Р7чН'. (2.171) По порядку величины этот результат совпадает с найденным ра. нее коэффициентом диффузии (2.!66). В диффузию рассмотренного типа дают вклад только столкновения электронов с ионами, но не электронов между собой.
Это обстоятельство может ускользнуть от внимания, если ограничиться лишь грубой моделью случайных блуждеиий. Вот почему макроскопический подход, основанный на силе трения, особенно полезен. Он автоматически учитывает, что столкновения междуэлектронами не создают средней силы трения, а следовательно, и диффузионного дрейфа. Очевидно, что теплопроводность плазмы в направлении, перпендикулярном к Н, также должна резко снижаться при увеличении напряженности поля. В противоположность диффузии, которая обусловлена столкновениями между ионами и электронами, тепло- передача в плазме поперек силовых линий происходит в основном в результате ион-ионных столкновений (если Т; не слишком мало по сравнению с Т,).
Это объясняется тем, что интенсивность тепло- передачи зависит от ширины той области, в пределах которой при наличии градиента температуры перемешиваются траектории частиц с различной тепловой энергией. Коэффициент теплопроводности в направлении, перпендикулярном к Н, пропорционален квадрату ширины области перемешивания, а эта ширина по порядку величины сравнима с ларморовским радиусом. Поэтому теплопередача в основном идет через ионную компоненту Х = г*и (~п. 3 Отсюда видно, что коэффициент ионной теплопроводности в направлении, перпендикулярном к силовым линиям, уменьшается примерно в,(инетп)' раз по сравнению с тем значением, которое он имеет в отсутствие магнитного поля.
Коэффициент поперечной теплопроводности для водородной плазмы можно вычислить, поль- 20! (2.172) $2.10. Примеры равновесия плазмы в магнитном поле. Токамак Простейшим конкретным примером применения основных уравнений магнитогидродинамики (2.60), (2.63) может служить изолированный плазменный столб цилиндрической формы, удерживаемый магнитным полем протекающего в плазме продольного тока (рис. 2.26). При равновесии радиальный градиент давления в плазменном столбе должен быть равен электродинамической силе ( Цс) 1',Н„, где 1', — плотность продольного тока, а Н вЂ” напряженность магнитного поля тока. Силовые линии этого поля имеют кольцевую форму. Величины 1, и Н в случае цилиндрической симметрии связаны соотношением 1' = (с1'4яг) Яг(г) (гН„), — Нр~й = (1~4я) (Н,/г) Яйг) (гН~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
