Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 54
Текст из файла (страница 54)
С ростом х, по мере продвижения в глубь плазмы, магнитное поле, при х=О для определенности направленное строго по оси г (перпендикулярно к плоскости рисунка), приобретает компоненту по оси у. Будем считать, что вблизи плоскости х=О эта компонента магнитного поля ведет себя как Н„=Нх((, Для установления соответствия между плоской задачей и цилиндрической геометрией, для которой дано определение шира О„заметим, что Н„ соответствует Н .
Приращение Н за счет изменечия угла поворота Ж)/с1г имеет вид г(Н„=(г)ь) (~Я/дг) Нг(г. Сравнивая его с приращением Н„прн изменейии х, получаем 3,/г 1/Ь,. 22з Воспользуемся еще уравнениями ЬН„=(лН,Д„; Ьр=Л.; ЬН'„+ИЬН„=О, (2.220) (2.221) (2.222) полученными из условия вмороженности магнитного поля дН/д1= =го([пХН), уравнения непрерывности и условия 61ч Н=О соответственно. Исключая все переменные, кроме ЬН„, нетрудно полу. чить одно уравнение для возмущения магнитного поля: ЬН"« — й«ЬН« — (4пр а1Н~«) ЬН>=О. (2.223) Теперь видно, в чем заключался дефект простого вывода, осно.
ванного на балансе сил: не был учтен член со второй производной (обязанный своим происхождением возмущенному давлению маг. нитного поля). Обращает на себя внимание изящная аналогия между исследуе. мым уравнением и уравнением Шредингера с потенциальной ямой 1/х' для известной задачи нерелятнвистской квантовой механики о «падении> частицы на притягивающий центр. Не удивительно, что ход рассуждений, который будет сейчас проведен, очень напоминает рассуждения, содержащиеся практически в любом курсе квантовой механики. 229 Нетрудно видеть, что возмущение такого равновесия, выбран.
ное, как и в старой задаче Крускала — Шварцшильда, в виде ехр( — 1ьз(+1зу), имеет при хМО компоненту волнового вектора вдоль силовой линии А =ФОх. По этой причине и возникает ста. билизирующая сила натяжения силовых линий, учтенная ранее в упрошенном рассмотрении. Однако строгое рассмотрение должно учитывать также и возмущение магнитного давления 6(Нз,+Нзу) /8п — (Н,ЬН,+НуЬНу) (4п. (2.2! 8) При дальнейшем анализе воспользуемся методом отыскания границы устойчивости, основанным на поиске решения, соответствующего условию зз'=О, т.
е. случаюнулевой упругости (см. 5 2.12). Компонента уравнении Эйлера по оси у превращается в простое условие баланса сил 1МН,Н;=Н',ЬН„(газокинетическое давление плазмы считаем пренебрежимо малым, как и в большинстве задач о желобковой неустойчивости плазмы). С помощью этого уравнения возмущение магнитного давления можно переписать в следующем виде: Н„ЬН„14и — 1Н'>ЬНх(4пй. Основная компонента уравнения Эйлера — по оси х (в направле. нии действия силы тяжести) — теперь принимает вид (зн„) зн, (н„зн„) (и «зн„) 4 ЬР6' 4 + 4 > — — О. (2.219) В окрестности сингулярности х=О (именно в этой точке й, =0) будем искать решение уравнения (2.223) в виде х", пренебрегая членом йтбН„.
Подставляя искомое решение в усеченное уравнение (2.224) получаем выражение для показателя и = 1/2 + )Г1/4+ и, где а=4пр'д/.а,/Н'. Нетрудно увидеть, что характер решения меняется при условии а< — 1/4. В этом случае решение можно представить в виде х =ехр (1н)пх), где т= )у 1а~ — 1/4. Это значит, что вблизи х=О решение имеет бесконечно много нулей. Поэтому решения, затухающие на бесконечности, можно сшить с любым решением вблизи х=О. При т',<О этого сделать нельзя. Поэтому критическое значение Рис.
241. Баллоннан мода неустоичиностн 1о! есть 1/4 ет, что в формуле (2.217) численный коэффициент нужно принять равным 1/4. Отметим, кстати, что в упомянутой квантовомеханической задаче о «падении» на центр условием захвата частицы потенциальной ямой также является а( — 1/4. У неустойчивости сайдэмовского типа есть аналог и для равновесных систем совсем другого вида, в частности не имеющих «шира», но обладающих свойствами магнитной потенциальной ямы «в среднем», как говорят, имеющих «средний минимум Н». Примером может служить магнитная ловушка, магнитное поле которой обладает минимумом 1" й/Н.
Однако, как уже говорилось, трудно добиться, чтобы магнитное поле возрастало наружу во всех направлениях. Поэтому на локальных участках поверхности, где магнитное поле убывает в сторону от плазмы, возможно возникновение локальных деформаций— так называемых «баллонных» мод (рис. 2.41). Эта неустойчивость, как и мода Сайдэма, вызывается конечной величиной р и стабилизируется, если сила натяжения силовых линий достаточно велика. Как уже говорилось, кроме неустойчивостей, причиной которых является стремление плазмы к расширению в направлении, перпендикулярном к магнитному полю, может существовать особый тип неустойчивости, свойственный самой магнитной конфигурации.
Эта неустойчивость обусловлена тем, что вдоль силовых линий винтового магнитного поля действуют максвелловские натяжения (неустойчивость пинчевания). Силовые линии стремятся сократиться путем деформации, при которой они выпрямляются, а плазменный шнур винтообразно извивается. Если малые винтовые дефор. 230 мации описываются обычным выражением ф- ехр[!(л~р — лг)1, то л называется номером моды. При а=1 возмущения соответствуют простому однозаходному винту, при п=2 — двухзаходному н т.
д. Стабильность плазменного витка по отношению к винтовым деформациям зависит от коэффициента запаса д. Согласно критерию Крускала — Шафранова при д>1 стабилизируется наиболее опасная первая мода винтовой деформации. Если д>п, то обеспечена устойчивость по отношению ко всем винтовым модам вплоть до и-й. Детальный анализ показывает, что при очень больших д (четыре и более) должны быть стабилизированы все винтовые возмущения. Именно поэтому величина д и была названа коэффициентом запаса но винтовой неустойчивости. Подведем итог описанию магнитогидродинамнческой неустойчивости идеальной плазмы с вмороженными силовыми линиями.
Все три рассмотренных выше типа возмущений: желобковые или перестановочные деформации, баллонная мода и винтовое извиванис плазменного шнура с продольным током — при невыполнении условий устойчивости развиваются очень быстро и практически полностью уничтожают эффект магнитной термоизоляцин. Инкремент нарастания для перестановочных возмущений порядка о~/а (где о; — тепловая скорость ионов), а для винтовых возмущений порядка о„!а, т. е.
неустойчивость развивается, как говорят, за «инерционные» времена. Всякая попытка нагревать магнитогидродинамически неустойчивую плазму представляется совершенно бесполезным делом. Однако, как мы видели, все указанные виды неустойчивости в плазме низкого давления сравнительно легко подавляются при использовании магнитных систем с большим отношением Н9/Н~, удовлетворяющих условию минимума В или гке обладающих широм. 5 2.14. Магнитогидродинамическая неустойчивость равновесия при конечной электропроводности До снх пор, говоря о магнитогидродинамической картине устойчивости плазмы, мы исходили из представления об идеальной вмороженности магнитного поля в плазму.
Реальная плазма из-за на. личня сил трения между электронами н ионами обладает конечной электропроводностью. Во многих случаях, когда идеальная бесконечно проводящая плазма оказывается устойчивой, добавление даже небольшого электрического сопротивления «размораживает» силовые линии, и они перестают увлекаться плазмой.
В результате может появиться новый класс так называемых диссипативных неустойчивостей, как правило, имеющих характер более медленного тихого просачивания плазмы в магнитном поле. Это просачивание тем медленнее, чем меньше электрическое сопротивление. Среди неустойчивостей, связанных с конечной проводимостью плазмы, условно выделим следующие виды; «гравитационную» и токовоконвективную, или «штопорную», неустойчивость. Эти типы неустой- 231 чивостей свойственны самой плазме, т. е.
источником энергии для них является тепловое расширение плазмы, как и в случае желобковой неустойчивости плазмы. При развитии этих неустойчивостей плазма практически не возмущает магнитного поля, образующего как бы жесткий каркас нз неподвижных силовых линий. При этом, очевидно, электрическое поле должно быть потенциальным (безвихревым), т. е. Е= — '7~. Наибольшим сходством с обычной желобковой неустойчивостью идеально проводящей плазмы обладает «гравитационная» неустойчивость. Различие между этими двумя явлениями заключается в том, что если магнитное поле вморожено в плазму, то энергетически выгоднее развиваться только деформациям, ориентированным строго вдоль силовых линий, в то время как при конечной проводимости плазмы появляется возможность распространения косых возмущений с волновым вектором й„не Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
