Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Строгое рассмотрение подтверждает, что существуют возмущения, для которых слагаемое с !'с!На доминирует. Тогда нетрудно оценить изменение энергии магнитного поля возмущения по порядку величины (1в!йз) ) (!'а!На)Н Ефх-'(1!й) Х Х(с!4иЬ)Н,Е„. В итоге получаем условие баланса между ростом энергии магнитного поля возмущения и джоулевой диссипацией: (1!йй)Н„Е„(4и!с) оЕз„б. (2.251) Так как электрическое поле легко выразить через магнитное с помощью уравнения Максвелла го1 Е= — (1!с) (дН!д!), то уравнение (2.251) с учетом Еэ — — (ефс) Н, дает заготовку для получения дисперсионного уравнения 1!ц-"(4п!с) о(в!с) б.
(2.252) Для магнитогидродинамической тиринг-'моды .величину й мы уже оценили (см. (2.247)1; таким образом, дисперсионное уравнение принимает вид 1/Ь~(4в/с)в(а/с) (а'! /ФП о'!) (с !'Ь ~~рп /НЫ~. (2.253) 240 Очевидно, оно всегда дает неустойчивый корень с инкрементож неустойчивости (2.254) Эта оцелика по порядку величины согласуется с точным ответом.
1Можно показать, что насмеется полная аналогия рассмотренной плоской задачи о неустойчивости нейтрального слоя с задачей о неустойчивости равновесия плазмы в винтовом магнитном поле. Роль нейтральной плоскости играет магнитная поверхность, на которой Й1,=0, т. е. шаг винта силовой линии магнитного поля.
совпадает с шагом винта возмущения. Пересоединяющимися являются проекции силовых линий азимутального магнитного полж Рис. 2.46. Движение частиц в узком слое вблизи ней- тральной плоскости в винтовой системе координат с шагом винта, соответствующим нейтральной магнитной поверхности. Инкремент неустойчивости: имеет такой же порядок величины, что и (2.254). Именно этот тип: тиринг-моды привлекают для объяснения некоторых неустойчивостей в токамаке. Выражение (2.252), использованное здесь как заготовка для получения дисперсионного уравнения, в действительности имеет- значение, выходящее за рамки простого магнитогндродинамнческого приближения.
Так, например, при известной осторожности его можно применить даже для случая бесстолкновительной плазмы. Равновесие с нейтральным слоем бесстолкновнтельной плазмьг, может иметь физический смысл для так называемого геомагнитно- ' го хвоста Земли и в некоторых астрофизических ситуациях. В такой задаче следует представлять себе характер движения частиц в магнитном поле, меняющем знак при переходе через нейтральную плоскость х=О.
Вообще говоря, всюду, за исключением небольшой окрестности х=О, магнитное поле как бы привязывает частицы к своим силовым линиям, восстанавливая тем самым гидродина~мичес1гнй характер движения плазмы. Однако всегда найдется хотя бы узкий слой некоторой толщины бь внутри которого. движение частиц не замагничено; они как бы движутся по узкому коридору, отражаясь от его стен.
Примерный вид траекторий заряженных частиц изображен на рис. 2.46. Толщину этого коридора б~ можно оценить следующим образом. Очевидно, частицы могут 16 — 74 24й проникать за его пределы (с возвратом назад) на расстояние порядка ларморовского радиуса. Хотя в столь неоднородном магнитном поле представление о ларморовском радиусе имеет смысл только по порядку величины, оценим его оттс)еН бь Да.лее учтем, то Не!Н„,бг)Л. Отсюда б1 (Лгы)'". Естественно считать, что эта величина в бесстолкновительной .задаче и будет аналогом толщины сингулярного слоя для тирингмоды.
В отсутствие столкновений формальное вы1раженне для электропроводности о=лейт/уп, дает бесконечность. Тем не менее можно воспользоваться этим выражением, если под т подразумевать .,величину, близкую к той, которая используется в теории твердого тела и плазмы при рассмотрении явления аномального скин-эффекта. В выражении для о время свобод~ного пролета (ускорения) т .не обращается в бесконечность даже при отсутствии столкновений, так как в среднем за время порядка т 1/ио частица сместится увдоль слоя на,расстояние порядка длины волны и попадет в об- Рис. 2.47.
Магнитные силовые линии в верхней части плоского нейтрального слоя плазмы иа начальной стадии развития тиринг-неустойчивости (а) и в сильно не. линейном режиме (б) по результатам численного моделирования: — — — — изолннии равной плотности плазмы. На начальной стадии неустойчивость приводит к формированию магнитных островов вблизи центра нейтрального слон. В дальнейшем происходит объединение групп островов (зеленый л. м.. липатов А.
с. Физика плазмы», 1йур, т. Ы ласть с другой фазой электрического поля Е„. Естественно ввестгв некоторую эффективную электропроводность о (пез/т ) (1/йота) ° (2.255). Заметим, что вклад электронов в такую электропроводиость. в (тг/гп,)ггз раз больше ионного. В итоге инкремент нарастания который находим после подстановки (2.255) в (2.252), имеет поядок величины 11п ше Йоте(гне(ю агз. (2.256) При получении этой формулы мы воспользовались тем, что в нейтральном слое пТ=Нз 14и и, следовательно, гы,=с!юр..
Более строгая теория, которая позволяет уточнить численные коэффи- о ог о~ оа пе х а е,г е~ ое дг У Рис. 2.48. Эволюция во времени двух взаимосвязанных магнитных островов, появляюшихся в токамаке в результате развития тиринг-мод в случае, когда нв двух различных магнитных поверхностях тиринг-мода имеет одно и то же азимутальное волновое число (гп=з). На нелинейной стадии происходит слияние Раз. рушенных магнитных островов (Пг(г!!е И. М, Моппсе)!о 1). А., КозепЫи!и М.
р(ь 1агаИе! тгг. у. Ргерг!п! РР1.-1282, Рг!псе!оп, 1976) 16а *циенты, потребовала бы использования методов кинетической теории. Считается, что инкремент неустойчивости (2.256) слишком мал для того, чтобы вызвать заметные эффекты в нейтральном слое геомагнитного хвоста. Если в силу каких-нибудь обстоятельств, например из-за наличия в равновесии небольшой вертикальной компоненты магнитного поля, движение электронов в сингулярном слое замагничено, то нужно учесть ионы.
Действуя по уже использованному рецепту б — (лм,Л)п', о (лез(т;) (11йпт1), легко найти инкремент неустойчивости, который в этом случае оказывается го,раздо ббльшим, чем оп|ределяеыый формулой (2.256): 1гпни (т,!и,)'1'!ты,. (2. 257) Этот режим неустойчивости, по-видимому, может играть важную роль в геофизике. Энергия, высвобождаемая из-за тиринг-неустойчивости геомагнитного хвоста, считается ответственной за явление так называемых м а гни тосф ер ны х субб ур ь — процессов взрывообразного вторжения плазмы геомагнитного хвоста в магнитосферу и ионосферу Земли.
Развитие бесстолкновительной тиринг-моды в плоском ней-тральном слое иллюстрируется па рис. 2.47, который получен в численном эксперименте. Для сравнения на рис. 2.48 показаны конфигурации магнитных поверхностей в токамаке, полученные при исследовании гидродинамической тиринг-.моды численными методами. й 2.16.
«Дрейфовая» неустойчивость плазмы Магнитная гидродинамика даже при учете конечного электрического;сопротивления остается всего лишь некоторой приближенной моделью описания плазмы. Она неполностью учитывает некоторые важные степени свободы, как, например, относительное движение ионной и электронной компонент. Йеустойчивости, связанные с такими дополнительными степенями свободы, могут играть в физике плазмы большую роль. Разумеется, плазма должна быть достаточно разреженной, чтобы реализовать их.
Среди этих неустойчивостей основную роль играет так называемая дрейфовая неустойчивость. Соответствующий ей тип движения плазмы— -едрейфовые» волны — складывается из практически свободного перетекания электронов вдоль силовых линий магнитного поля и движения ионов в основном поперек магнитных силовых линий. В самой простой форме для описания этих эффектов в обобщенном законе Ома нужно учесть градиент давления электронной компоненты. Исследование этого эффекта привело к обнару-жению так называемых дрейфовых неустойчивостей, теория которых к настоящему времени разработана достаточно детально. Попытаемся в общих чертах изложить основные представления о физическом механизме явлений, относящихся к этому классу. »244 С чисто,мзтематической точки зрения мы будем при этом все время только скользить по поверхности теории, оставаясь ~на грани качественного и количественного анализа.
Нетрудно найти оправдание для такого нестрогого подхода. Дело в том, что, переходя от изучения относительно простых видов магнитогидродинамической неустойчивости идеально проводящей плазмы к эффектам, связанным с диссипативными силами, и далее — к дрейфовым неустойчивостям, мы вступаем в район все более сложных теоретических построений, которые к тому же имеют гораздо меньшую опору со стороны эксперимента, Одним из исходных пунктов в исследовании нового класса неустойчивостей служит уравнение движения электронной компоненты.
В наиболее общем случае его можно записать в виде ~см. (2.58)~ твп + чр = — впŠ— — [пе)(Н1+ ° (2'258) Последний член в правой части есть сила трения между электронами и ионами. Изучая механизм развития диссипативных неустойчивостей, мы использовали проекцию этого у~равнения на направление, параллельное Н, и при этом пренебрегали инерционным членом и величиной ~тр„, считая их малыми по сравнению с силой трения.
Именно иа указанных допущениях основано применение закона Ома в его простейшей форме )=оЕь Теперь поступим иначе: пренебрежем силой трения, но будем учитывать Хуры. При этом из (2.258) следует, что Чры= — епЕ,. (2. 259) Инерционный член по-прежнему считается малым. Соотношение (2.259) в теории дрейфовых неустойчивостей часто используется в качестве эквивалента закона Ома. Рассмотрим снова плоский слой плазмы, в котором при отсутствии возмущений концентрация п(х) плавно меняется вдоль оси х.
Магнитное поле Н, как и ранее, будем считать однородным и направленным вдоль оси г. Допустим далее, для простоты, что температура электронов Т, постоянна по всему слою. Для «стандартных» возмущений плотности типа плоской .волны (ехр(1п„у+ +Ав — 1ы1)) из (2.259) в линейном приближении следует уравнение для,возмущения плотности электронов пьи (2.280) п1«Т«=поя(р1 где «р1 — возмущение электрического потенциала. Это так называемое больцмановское распределение, уже использовавшееся ранее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
