Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 61
Текст из файла (страница 61)
с формулой (2.171)1. Однако диффузия плазмы в токамаке содержит дополнительные слагаемые, играющие гораздо более важную роль. Отбросим, не столь принципиальные дополнительные эффекты: сжатие плазменного шнура, обусловленное взаимодействием продольного тока с создаваемым нм азимутальным полем, дрейфовое движение в вихревом электрическом поле, возникающем лишь при изменении продольного, поля Нм Ключевая роль принадлежит в рассматриваемом случае тороидальной поправке иы,. В замкнутых системах дрейфовое движение частиц, вызванное торондальиой неоднородностью основного магнитного поля, должно было бы приводить к быстрому накоплению объемных зарядов (рис.
2.50). Из-за наличия тороидальной компоненты магнитного поля (Н ), создаваемой в случае токамака током по плазме, эти заряды должны компенсироваться вследствие перетекания вдоль силовых линий. В результате возникает своеобразная перманентная циркуляция зарядов: тороидальный дрейф все время стремится их разделить, движение же по ~р со скоростью п,Н (Н возвращает из- 288 Свг — дР(дг+ Яс) )тНв (1(с) 1вН + Рс,„„— — О! (2.306) — (1сг)'(др('др)+ Ран = О. (2.307) В качестве простейшего заменителя тороидальной силы снова введем искусственную тяжесть Гс„= — ри, ориентированную, как показано на рис. 2.50, вдоль направления от внутреннего к внешнему обводу тора. Тогда Рьа „=рдсозр; Р„, = — рх з(пср.
Считая, что в целом тороидальная поправка к равновесным .параметрам плазмы р(г) н р(г) мала (т. е. выполнено условие гЯ«1), нз уравнения (2.307) находим р= рз(г) +гре (г) К сов ср. (2.308) Теперь это выражение нужно подставить в (2.306).
Нетрудно видеть, что получится уравнение, в котором некоторые члены вовсе не зависят от угла гр, а другие члены пропорциональны сов ср. Приравняв эти части нулю по отдельности, получим — с(р„сс(г+ (1~с)1',Нв = 0 (обычное условие равновесия плазмы с прямыми силовыми линиямн, в данном случае играющее роль нулевого приближения); — «(др,( нг) ст сов гр+ (1/с) 1вН„= О. (2.309) Это уравнение как раз и дает выражение для тока вдоль силовых линий, компенсирующего разделение зарядов из-за тороидального дрейфа, вызываемого силой Гс„. 17в 259 быток заряда обратно (см.
рис. 2,50). Рассуждая так же как привыводе выражениядля скорости диффузии плазмы поперек прямолинейного магнитного поля (см. 9 2.9), нетрудно заключить, что появление новых токов приведет к дополнительной силе трения между электронами и ионами, а следовательно, и к дополнительному дрейфу под действием этой силы. Проделаем нужные выкладки, пользуясь математическим языком магнитной гидродинамики. Условия равновесия по г и ф имеютвнд Рис. 2.50. Разделение зарядов из-за тороидального дрейфа и перетекание заряда в тороидальной ловушке Скорость результирующего дрейфового движения и, плазмы под действием обусловленной током / силы трения (г =/з/сити) получаем из закона Ома 1,=о,и „/сН .
Итак, из (2.309) и (2.310) получаем и,= — с'г(йр,/йг)ттсозчз/о Н', (2.311) т. е. тороидальная поправка к диффузионному растеканию плазмы оказывается знакопеременной по углу р. Картина такого растекания скорее напоминает своеобразную диффузионную конвекцню (рпс. и 2.51). Но если определить средний поток плазмы по углу ~р, то он оказывается отличным от нуля. и направлен наружу. Действительно, интеграл от потока частиц по углу у дает (2.310) Рис. 2.5К Диффузионная конвекния плазмы в тока. маке вследствие конечной проводимости ~ ии,йр= ~ и,(г) и,с(р+ ) ои(г, у)и с(р. Первый член в правой части обращается в нуль. Чтобы найти би(г, оз) — тороидальную поправку к плотности плазмы, будем считать, что температура плазмы однородна вдоль магнитной поверхности, т. е. бв бр.
С учетом этого из (2.308) находим Ьи = (и,/р,) Зр = — ' г р, (г) д соз р. Рв Тогда ~ Зли+,тХ~= — (тг'с'(йр,/йг) птр,/а Н' ) (и,/р,) (2.312) о Если ввести й,— усредненное значение диффузионной скорости, разделив (2.312) на 2пио(г), то для й, получим и,"= — (г'/2) (с'(йр,/йг) й'р,/о, Н' р,). (2.3! 2а) Возвращаясь к настоящей тороидальности, в частности к силе 2рЯ вместо искусственной тяжести рд, для усредненной скорости итор получаем и„р — — — (2с% )'(г'/Г) (1/Н' ) (йр,/йг) (2 313) 260 Сумму и„и и„р можно рассматривать как эффективную диф.
фузионную скорость радиального потока плазмы в тороидальной ловушке. В этом случае имеем Г!араметр д=(г~)х) (Н (Н ) часто называют «коэффициентом запаса устойчивости» (по отношению к винтовым возмущениям). В условиях экспериментов на установках токамак при г=а он обычно лежит в пределах от 3 до 5. Величина д связана с углом вращения силовых линий соотношением д=2п/Г1.
Формула (2.314) эквива. лентна следующему соотношению между эффективным значением суммарного коэффициента диффузии и обычным коэффициентом диффузии Р' соответствующим магнитному полю с прямыми силовыми лийиями (см. (2.171) ): (2.315) Р =Р' (1+(2а ~а ) д'). Если в нем выразить д через 11, то получается формула, справед- ливая также и для систем типа стеллараторов: (2.315а) Рр — Р' (1+8вао ~~йа„). Эту формулу часто называют формулой Пфирша — Шлютера. Второй член, характеризующий здесь тороидальную поправку к коэффициенту диффузии для устойчивой плазмы, относительно велик (на установках токамак отношение РвзрР должно было бы составлять 10 †). Но даже с учетом этой поправки скорость диффузии оказывается небольшой.
Однако практически в существующих экспериментальных установках не удается получать плазму, в которой все виды неустойчивости подавлены. Поэтому коэффициент поперечной диффузии во много раз (на несколько порядков) превышает значение коэффициента, вычисляемого согласно Пфиршу и Шлютеру. Однако нужно иметь в виду, что указанное выражение (2.315)' для Р„справедливо лишь в том случае, если плазма имеет достаточно высокую концентрацию, и,поэтому при вычислении скорости потока частиц можно пользоваться магнитогидродинамическим приближением. Для этого необходимо, чтобы в каждом элементе объема распределение частиц по скоростям было полностью изотропным. В плазме с низкой концентрацией и высокой температурой влияние тороидальности на процессы переноса может быть более сильным, чем указывалось выше.
Это объясняется той ролью, которую в таких процессах играют частицы, запертые в ограниченных участках силовых линий между областями сильного поля. 261 Прн низкой концентрации такие частицы образуют в системе как бы отдельный статистический ансамбль. Очевидно, что о существовании отдельной группы запертых частиц можно говорить в том случае, если за время колебания одной такой частицы мегкду точками отражения вероятность ее перехода из «запертого» состояния в «пролетное» мала. Очень грубую оценку коэффициента поперечной диффузии 1)'„ для запертых частиц можно получить при помощи соотношения В' » (Ьг)'1»„ (2.316) где Лг — смещение частицы в направлении, перпендикулярном к Н, за промежуток времени ть Примем Лг по порядку величины равным полуширине «банан໠— серповидного сечения траектории запертой частицы.
Для того чтобы частица сместилась на расстояние Ьг, ее скорость должна повернуться на угол порядка )ГаЯ (так как для запертых частиц угол о„/о, составляемый направлением скорости с плоскостью, перпендикулярной к Н, имеет порядок величины 3/ а/Р, и при изменении этого угла соответственно изменяется ширина серповидного сечения). Поскольку кулоновсьие столкновения носят характер многократного рассеяния, при котором суммарный угол поворота скорости Ла статистически складывается из малых отклонений, то время т~ можно определить при помощи соотношения т,- т(ба)'- та/Р, где т — время между двумя соударениями электрона с ионами. Подставляя в (2.316) выражения для Ьг и ть находим (2.317) В (~~ ~~) (Н~д ~Н ) где гп.
— ларморовскнй радиус электронов. Отношение концентрации запертых частиц к концентрации всех частиц в плазме порядка )Га(Н. Поэтому эффективный коэффициент диффузии плазмы должен быть порядка Р' ~' а/Я. Окончательно, с учетом численного множителя, для получения которого потребовалось бы воспроизвести громоздкие вычисления так называемой неоклассической теории переноса, коэффициент диффузии равен П =36~/а~К(г~~ ) (Н' (Н' ). (2.318) Эта величина превышает тороидальную поправку в формуле (2.315) в отношении (Я/г)м', т. е.
для существующих установок по .меньшей мере в несколько десятков раз. Таким образом, оказывается, что при чисто классическом (ламинарном) рассмотрении эффект тороидальности может увеличить диффузионный поток в плазме низкой плотности в 1000 и более раз. 262 Проведем наглядное сопоставление скоростей диффузии / в двух рассмотренных пре- ! дельных случаях: магнитогид. / 1 родинамическом и так пазы. / ваемом банановом — построим ! | условный график зависимости коэффициента диффузии отча- -ь стоты столкновений т,=1/т, л ...
р,,„е» (рис. 2.52). Условность такого, кт/е) и представления очевидна хотя бы из того, что в действитель- Рпс 2.52. зависв козффппиента ности выражения (2.315) и диффузии плазмы от частоты спупаре- (2.318) для коэффициентов диффузии содержат прямую зависимость коэффициента от температуры помимо зависимости т« от температуры. В обоих предельных случаях ход /?(т,) изображается прямыми. Наклон /?из(т«) (в банановом режиме) в 3,6(/?/а)з1з раза больше. Этот режим реализуется при т«<( //?)" (Н./Н,) (~„/ ) Если это условие не выполнено, то запертые электроны не успевают описать бананообразную траекторию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
