Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поскольку электрическое поле потенциально, то Е,„(Еы=й„(й. Из (2.236), (2.240) и условия )ц=0 легко получить дисперсионное уравнение токово-конвективной неустойчивости: — (м= у= — Х й','+(сЕ,)Н) (й„('А,) (1('«,) о«,/Нх. (2.241) В плазме с невысокой электронной температурой теплапроводность мала, и первым членом в (2.241) можно пренебречь. В таком случае косые деформации, для которых знак й«/А, совпадает со знаком Низ/дх, будут нарастать, т. е. должна иметь место токово'конвективная неустойчивость.
Однако в высокотемпературной плазме продольная теплопроводность при не слишком малых значениях и, быстро выравнивает возмущения температуры. Инкремент нарастания возмущений у может достигать больших положительных значений только при й, -О. В тороидальной геометрии роль А, выполняет компонента волнового вектора й, . Как было выяснено в предыдущем парагра'фе, при наличии шира величина й может быть очень мала только з вблизи магнитной поверхности с замкнутыми силовыми линиями. Она быстро увеличивается при смешении от такой поверхности в радиальном направлении.
Это означает, что шир подавляет токово-конвективную неустойчивость. Расчеты показывают, что роль токово-конвективной неустойчивости в энергетическом балансе высокотемпературной плазмы относительно невелика и уменьшается с ростом Т. Следует отметить, что модификация неустойчивости такого типа часто наблюдается в низкотемпературных газовых разрядах во внешнем магнитном поле. Она также имеет свой аналог в электронно-дырочной плазме твердого тела. 3 2.15.
Неустойчивость тиринг-моды Значительно более сложной является неустойчивость плазмы с конечной электропроводнастью, при которой происходит «разрыв» силовых линий магнитного поля. Эта разновидность неустойчивости получила название «разрывной», или тиринг-моды (от английского слова 1еаг)пд — «разрыв»). 236 В известном смысле ее можно представить себе как некоторое расширение области винтовой неустойчивости для магнитных систем с продольным током. В области устойчивости идеально проводящей плазмы, определяемой условием Крускала — Шафранова, в плазме с конечной проводимостью появляются области возможного развития медленной неустойчивости, изменяющей структуру винтового магнитного поля из-за локального пинчевания. При этом в шнуре вблизи замкнутых силовых линий происходит расщепление магнитных поверхностей и выделяются винтовые волны †локальные пинчи.
Эта мода неустойчивости играет важную роль в токамаке. Считают, что релаксационные колебания, наблюдаемые в токамаке в некоторых режимах, связаны с тем, что внутри плазменного шнура из-за тиринг-неустойчивости время от времени происхо- р дит перестройка магнитной конфигурации, при которой избыток энергии магнитного поля передается плазме. Не. устойчивость такого типа может оказаться важной также в астрофизике и геофизике.
Математические методы ис- Рнс. 2А4. Тнрннг-неустойчиво'ть ней. трельного слоя следования тиринг-моды весьма нетривиальны. Это связано с тем, что малое электрическое сопротивление в линеаризованных уравнениях для возмущений входит в малый коэффициент перед старшей производной. Это как раз та самая ситуация, в которой математика призывает к особой бдительности.
В некотором смысле теория гидродинамической устойчивости успела «набить себе шишки» в классической задаче об устойчивости течения Пуазейля по трубе, прежде чем В. Гейзенберг и С. Лин сумели «укротить» известное уравнение Зоммерфельда — Орра, в котором вязкость примерно таким же образом входила в малый коэффициент при старшей производной. Физический смысл возникших для тиринг-моды математических осложнений можно разъяснить следующим образом. В некотором очень узком слое из-за конечной проводимости плазмы происходит в буквальном смысле «разрыв» магнитных силовых линий. Не случайно эта неустойчивость иногда называется «разрывной». При этом разорванные «концы» силовых линий соединяются заново (как говорят, происходит «пересоединение»), но, образно выражаясь, с другими партнерами.
Не удивительно, что такая кардинальная перестройка топологии магнитного поля требует адекватно сложного математического описания. Рассмотрим плоскую модель тиринг-неустойчивости, появляющейся в задаче о возмущении равновесия плазмы в так называе'мом нейтральном слое. Пусть давление плазмы достигает макси- 231 Воспользовавшись условием несжимаемости )йи,+Ни„(Ох=О (как будет видно, при этом возникнут очень медленные движения), уравнения (2.242) и (2.243) после несложных алгебраических преобразований можно привести к уравнению для и„. — иври= (1 (4пс) (нНо+(1 !4пса) !оН« — ((го!ма) ри™„. (2.244) В этом уравнении потенциальным источником неустойчивости является член (1!4псГг)!'оН„.
С помощью условия вмороженности его можно привести к виду — (1!4ис)!'оНо~„. Он дает отрицательный вклад в упругость: !'Но)0 (рис. 2.45). С точки зрения энергетического принципа он соответствует третьему слагаемому (энергии пиичевания) в выражении (2.210а). Однако столь легкая доступность этого энергетического резервуара является иллюзорной. Возмущения, изображенные на рис. 2.44 и соответствующие неустойчивости типа локального линчевания в окрестности Нлг — — — йа плоскости х=О, молчаливо предполагают разрыв и пере- соединение силовых линий магнитного поля. Но это не- Х возможно, если плазму считать идеальным электрическим " гг проводником.
Основная идея теории тиринг-неустойчивости заключается в том, что в некоторой, очень малой окрестно- Рис. 2.4о. Профиль магнитного поля и производной от плотности тока 238 мума в плоскости х=О, магнитное поле, направленное по оси г, равно нулю при х=О и нарастает при удалении в обе стороны ог нейтральной плоскости с характерным масштабом изменения х= =Л. При этом направление магнитного поля в нижней полуплоскости обратно направлению его в верхней (рис.
2.44). Такой скачок магнитного полЯ поддеРживаетсЯ током )о, текУщим вдоль оси У. Даже из простых интуитивных соображений ясно, что такое равновесие обладает большим избытком свободной энергии, заключенной в магнитном поле. Потенциально этот избыток энергии мог бы освободиться, если бы, условно говоря, произошла наннигиляция» встречных магнитных полей. Физическим механизмом такой аннигиляции могло бы быть пинчевание, разбиение первоначально плоского токового слоя на отдельные жгуты (см. рис.
2.44). При таком пинчевании возмущение выбирается в виде ехр ( — 1от1+1м,). Нужно учитывать возмущения скорости и магнитного поля иа, и„Н„Н,. Электрическое поле возмущения направлено по оси у. Уравнение Эйлера дает — (гори= — (г(р! г!х)+ (1 !4ис) !пНз+ (1 ! 4пс) 1Н;, (2.242) — нори, = — )йр — (1 ! 4пс) !Н„, (2.243) сти нейтральной плоскости учитывается конечное, хотя и весьма малое, электрическое сопротивление.
Его учет размораживает силовые линии магнитного поля, тем самым снимая топологический запрет на разрыв и пересоединение силовых линий. . Таким образом, можно «осуществить доступ» к источнику свободной энергии и вызвать неустойчивость, которая может рассматриваться как один из случаев неустойчивостей волн с отрицательной энергией. Общие принципы такого рода неустойчивостей, разобранные в ч.
1, как раз и показывают, что неустойчивость появляется, если можно обеспечить конечную величину диссипации энергии волны. Электрический ток в возмущении рассматриваемого здесь типа направлен по оси у и равен 1'„=о(ń— (и„Н, /с) 1. (2.245) Всюду, за исключением некоторой окрестности нейтральной плоскости, электропроводность плазмы можно считать бесконечной, т. е, пренебрегать левой частью уравнения (2.245). В то же время найдется такая окрестность х=О, в которой магнитное поле столь мало, что в уравнении (2.245) придется пренебречь вторым членом правой части. Назовем такой слой сингулярным. Очевидно, его толщина б будет зависеть также от того, насколько быстро спадает и«при приближении к нейтральной плоскости.
Закон спадания и» в окрестности х=О существенным образом зависит ат конкуренции членов правой части уравнения (2.244). Член в левой части пренебрежимо мал, так как неустойчивость тиринг-моды развивается очень медленно (ы мало). В то же время старшую производную в правой части этого уравнения следует сохранить, хотя коэффициент, стоящий перед ней, мал по тем же причинам. Оценку б нетрудно провести, если приближенно третий член в правой части уравнения (2.244) представить в виде (1егр//гг) (с(ги /с(хг) (1«гр/Ьг) (и /бг) н сопоставить его по порядку величины с первым членом правой части того же уравнения.
(Второй член при х — »О становится очень малым, так как /'г-»-0 при х«-0). Итак, получаем (ыр/йг) (и»/бг) Но/г/4ггс. (2.246) Для оценки величины /г достаточно сопоставить его с любым из двух членов правой части уравнения (2.245). Например, со слагаемым о(и„/с)Н«. Такой произвол связан с тем, что на границе между внешней областью, где в уравнении (2.245) пренебрегают 'членом в левой части, и сингулярной областью, в которой пренебрегают вторым членом справа, все члены имеют один и тот же порядок величины.
С учетом этого приближенное равенство (2.246) дает после подстановки /г и Н,=Н Ь/Ь следующую оценку: Н«цгд!!г П« ~йиг О«//Пг (2.247) 239 Теперь рассмотрим внешнюю область, в которой электропровод- ность условно считается бесконечной. Уравнение для возмущения магнитного поля го1 Н=4п)!с с учетом б(ч Н=О можно представить как (ЦН.— (1 !Аз) (<РНх!йх'Я = (4п!с) !э (2.248) (пока еще оно является совершенно точным и применимо всюду).
Для внешней области в уравнении (2.244) пренебрегают членами с инерцией, так как в мало. Тогда !з — — — 1(!'а!йНз)Н . Подставляя в (2.248), получаем И [̈́— (1 ! йз) (<РН,!г(х') + (4п!'з! с) Н„! йзНо~ =О. (2.249) Перед последним шагом к решению задачи удобно рядом с этим уравнением для магнитного поля во внешней области написать уравнение для магнитного поля во внутренней области !И (Н,— (1!йз) (г!'Н„!г(ха) ) =(4и!с) аЕ„(2,250) в соответствии с уже обоснованным пренебрежением вторым слагаемы~м в законе Ома (2.245). Правый член в (2.250) как раз и учитывает конечную диссипацию (омическую) энергии возмущения, которая является .ключом к задаче о неустойчивости типа отрицательной энергии. Оценим полный баланс диссипируемой энергии.
Для этого умножим обе части уравнений (2.245) и (2,250) на Е„, проинтегрируем по всему плазменному слою и сложим оба уравнения. Физический смысл правой части получившегося выражения ясен; это джоулево тепло ) !Едх. Левая часть представляет собой изменение энергии магнитного поля возмущения. Дестабилизирующую роль, как уже говорилось, играет член с !'~!Нм Мы не будем вникать в характер решения для возмущения магнитного поля во внешней области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
