Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2.43. Изолинии плотности плазмы при возникновении гравитационной неустойчивости Рис. 2.42. Схематическое изображение развития деформаций при <гравитационной» не- устойчивости равным нулю. В обоих случаях неустойчивость существует тогда, когда напряженность магнитного поля убывает в сторону уменьшения плотности плазмы. Она вызывается диамагнитным эффектом; плазма выталкивается в сторону более слабого магнитного поля. Однако для упрощения математического анализа развития неустойчивости оказывается удобным заменить диамагнитный эффект, обусловленный неоднородностью поля, действием (в том же направлении) некоторой постоянной силы, а магнитное поле считать однородным.
В качестве такой силы в упрощенной модели процесса удобно снова выбрать силу тяжести. Отсюда и происходит термин «гравитационная» неустойчивость. В окончательных формулах нетрудно перейти от силы тяжести к реальному диамагнитному эффекту. Для того чтобы разобрать механизм возникновения и развития косых деформаций в плазме с конечной проводимостью, воспользуемся следующей моделью. Плоский слой плазмы с концентрацией п(х), убывающей вдоль оси х, находится в сильном магнитном поле В, параллельном оси г (рис. 2.40). Сила тяжести, моделиру« 232 ющая влияние неоднородности магнитного паля, направлена по оси х.
Допустим, что в плазме возникает флуктуация плотности вида пг-ехр ( — йс1+йэу+й,з). В результате такого возмущения изолинии плотности плазмы в каждом горизонтальном сечении приобретают волнистую форму (рис. 2.43). Это означает, что флук. туации плотности указанного вида представляют собой малый сдвиг косых слоев плазмы вдочь оси х.
Вследствие существования силы тяжести, перпендикулярной к Н, должно происходить дрейфовое движение частиц, скорость которого направлена по оси у и имеет разный знак для ионов и электронов. В однородной плазме такое движение не может создать разделение зарядов.
Однако, если возникают возмущения плотности, зависящие от координаты у, потоки заряженных частиц из соседних объемов плазмы не компенсируют друг друга, и поэтому происходит электрическая поляризация косых слоев с образо. ванием объемных зарядов (см. рис. 2.42), В идеально проводящей плазме й,ФО заряды должны были бы компенсироваться в резуль. тате перетекания вдаль силовых линий, поэтому косые деформации не могли бы развиваться.
Однако при конечной проводимости плазмы полная компенсация не происходит, и из-за возникновения электрического поля начальное возмущение должно возрастать. В этом легко убедиться из рис. 2.42. В результате дрейфового движения на левой стороне каждого выступа (т. е. косого слоя, смещенного вперед) появляется положительный заряд, а на правой стороне — отрицательный. Величина этих зарядов зависит от скорости, с которой они отводятся током вдоль силовых линий. Электрическое поле, создаваемое зарядами в плазме, вызывает дрейф в направлении 1ЕХ Н1. Этот дрейф направлен таким образом, что выступы в распределении плотности смещаются в направлении положительной оси к, т. е. вперед, а впадины — в противоположном направлении. Это означает раскачку колебаний плотности, т.
е. развитие неустойчивости, Рассмотрим количественную сторону указанного механизма. Ли. неаризованное уравнение движения имеет, вид — ииапстии+~7р1=(11с) [11Х Н1+и;п1д. (2,225) В плазме с достаточно хорошей проводимостью косые возмущения должны нарастать медленно, поэтому инерционный член в уравнении (2.225) при й,чьО относительно мал. Проектируя это вектор. ное уравнение на оси х и у, находим следующие соотношения между компонентами тока и градиента давления: —, („и+ ап,= др,'(д ' (2.226) — (1(с)1'„Н=др,/ду. (2.226а) Из условия квазинейтральности в рассматриваемом процессе получаем б(ч1,=61ч1 "+й 1, =,О.
(2.227) 233 Из (2.226) и (2.226а) следует, что сИч ) = — Мат,суп,~Н. (2.228) Подставляя это выражение в (2,227), находим ) „=(тай/Н) (п1йв/Й,). (2.229) Уравнение непрерывности имеет внд — ) мп, + и, г() ч ц + 1 п,ут,и, + и т7 и, = О. (2.230) Поперечная скорость движения плазмы удовлетворяет условию 61ч и =О. Действительно, и = — (с[Н') [ту гр, К Н[+(т;с[еН') [я 'х Н[, где уг — электрический потенциал, связанный с возмущением в плазме. Следовательно, Таким образом, второй член в выражении (2.230) исключается.
Продольным движением ионов также можно пренебречь, поскольку оно представлено в (2.230) членом, содержащим множитель па)т„который мал по сравнению с туп"'. С учетом этих замечаний уравнение непрерывности (2.230) можно записать в следующей форме: (2.232) — 1озп, — (с)Н) 1)гяйч (г(па)с(х) =О. Далее из закона Ома находим ) ы = 1гггпврь (2.233) где и — электропроводность плазмы. Последнее соотношение справедливо в там случае, если продольный ток в невозмущенной плазме отсутствует. Решая систему уравнений (2.229), (2.232) и (2.233), получаем следующее выражение для инкремента нарастания малых возмущений: у= — )от=от «/го„ (2.234) где аз~а= — й'(1(па) (плакс(х); гав=Ма(й'и) гантгянвтвт (2.234а) Согласно (2.234) инкремент растет с уменьшением гг,.
При очень малых я„ когда от, становится порядка гаа, в уравнении (2.230) следует сохранить поперечный инерционный член. Это означает, что исследуемая неустойчивость переходит в желобковую с инкрементом у=ота. Таким образом, «гравитационная» диссипативная неустойчивость является продолжением желобковой для случая с конечной проводимостью. ' В плазме могут развиваться только косые возмущения, очень сильно выгянутые вдоль силовых линий, для которых й, относительно невелико. 234 Для того чтобы перейти к реальному случаю плазмы, находящейся в неоднородном магнитном поле, нужно заменить фиктивную силу рд истинной силой диамагнитного выталкивания. Если Я вЂ” радиус кривизны силовой линии неоднородного магнитного поля, то замену нужно провести по уже известному рецепту: а= ((Ф) (2р/р) (2.235) Очевидно, что в системах, удовлетворяющих условию «минимум О», «гравитационная» неустойчивость подавляется так же, как и желобковая.
Однако косые деформации с не слишком малым отношением й,/Аг нельзя стабилизировать при помощи шира. Поэтому в ловушках без магнитной ямы «гравитационная» неустойчивость может приводить к аномальной утечке частиц из плазмы. Вследствие диссипативного характера «гравитационной» неустой. чивости она тем менее опасна, чем выше температура плазмы. Если в равновесном состоянии по плазме вдоль магнитного поля течет ток и при этом существует градиент температуры в направлении, перпендикулярном к Н, то может возникать так называемая токово-конвективная неустойчивость.
С ней также связана раскач. ка косых деформаций в плазме, но при этом, в противоположность «гравитацнонной» неустойчивости, главную роль играют не возмущения плотности, а возмущения температуры и электропровод- ности. Пусть в плазме с начальной температурой Т,(х), которая изменяется вдоль оси х, происходит флуктуация температуры, причем Т,=Т вЂ” Т, зависит от координат и времени по закону ехр( — !Ы+1л„у+1л,з).
Поскольку проводимость есть функция температуры плазмы, то возникают также возмущения проводимости о1=(сЫ)ггТ) Ть Из-за наличия продольного тока возмущения должны приводить к электрической поляризации косых слоев, которая будет носить такой же характер, как и в случае, когда на плазму действует сила тяжести. Выясним условия раскачки малых возмущений. Из закона Ома для продольной составляющей тока следует, что (1*=а1 Ео+ооЕь (2.236) где Ед — начальная напряженность электрического поля в плазме; Е~ — возмущение поля. Из уравнений непрерывности для ионов и электронов получаем дл; . дл; «Ем дл, )~'+ г((ч лРг= д~ + О д + лв|лго1«у — — О; (2.237) дл, .
дл «Е,ц дл, <~~ +б1члв«е= д~ + о д +ла(йго1«е=О. (2.238) Время нарастания возмущений очень велико по сравнению со вре. менем релаксации зарядов в плазме. Поэтому можно считать, что в рассматриваемом процессе квазинейтральность плазмы практи- 235 чески не нарушается, Вычитая выражение (2.237) из (2.238), по- лучаем вм|' оые 0 (2.239) что эквивалентно условию )ы=0. Добавим теперь уравнение теплового баланса. Учитывая, что в неравновесной плазме энергия переносится вместе с веществом в результате дрейфового движения, можно записать это уравнение в виде — 1мТ, +(сЕ,„,'Н) дТ,(дх= — Х„Р,Т,. (2.240) Здесь Х вЂ” продольная температуропроводность плазмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
