Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Согласно основному уравнению баланса сил~ в равновесии (2. 2073' = (с//т') й/р/дп). Из (2.206) и (2.207) следует, что сг/р б г///Н = сопз1. 12.208).. Таким образом, поверхность р=сопз1 должна совпадать с поверхностями, на которых эффективная «потенциальная энергия» У имеет одинаковое значение. То обстоятельство, что разобранные неустойчивости равновесных конфигураций плазмы в магнитном поле оказалось возможным трактовать с помощью энергетических соображений, отражает важную особенность магнитогидродинамической теории устойчивости. На более рафинированном математическом языке магнитогидродинамической теории устойчивости можно сформулировать даже.
общий, так называемый энергетический принцип, заключающийса: в следующем. Введем бесконечно малое смещение й(г, /) элемента. объема плазмы из положения равновесия, при этом п=дй/д/. Оказывается, что линеаризованные уравнения общей теории устойчиво-- сти идеально проводящей плазмы можно привести к одному век-. торному уравнению дйидР— кь, (2.209д в котором К вЂ” некоторый дифференциальный оператор, действующий на й как на функцию координат.
Говоря формально, уравнение в виде (2.209) аналогично уравнению, описывающему колебания произвольной неоднородной упругой среды, где К играет роль. соответствующего обобщенного коэффициента упругости. Несмотря на кажущуюся громоздкость, вывод энергетического принципа не. вызывает затруднений. Прежде всего в линеаризованных уравнениях магнитной гидродинамики следует перейти к переменной й. (смещение) вместо ц (=д$/д/). Затем следует исключить возмущения всех остальных величин, выразив их через $.
Выберем .в качестве основного уравнения (2.60). Левая часть. этого уравнения после линеаризацин примет вид рД. Линеаризованную правую часть — Чбр+ (1/4п) (го1 6Н Х НоЗ+ (1/4п) [го1 НоХ 6Н3 выразим через $. Так, первое слагаемое претерпевает следующие преобразования: бр=(Нрпр) бр, и с учетом уравнения непрерывности — бр=6(ч р4=ро б)ч $+ $ афтаб рз Окончательно получим бр= — ур б)ч й+й птах р.
Таким же образом с помощью уравнения можно выразить бН через смещение й. В ре. 221 эультате уравнение, линеаризованное и выраженное через $, при- нимает вид 4=~% (2.210) К[й]=у [увкб( в+т]+ +( —, []Хго1 [э,'к',Н]] — — „]Н )(го1го1 [~ХН]]) (2.210а) Здесь р — давление; р — плотность; Н вЂ” напряженность магнитно. го поля; ) — плотность тока (все величины в равновесии). Уравнение (2.210) математически полностью эквивалентно уравнениям, описывающим малые колебания упругой среды. Роль обобщенного коэффициента упругости принадлежит оператору К=Р/р.
По аналогии с механикои упругих сред естественно ввести в рассмотрение 1 г потенциальную энергию малых колебаний б)»'= — ] $Кяпг'. Явное выражение для б)»' нетрудно получить с помощью (2.210а). Если бФ'>О для всех $ФО, то отклонения от положения равновесия не могут нарастать во времени и, следовательно, плазма магнитогидродинамически устойчива. В противном случае, когда 4%' может принимать отрицательные значения, коэффициент упругости К отрицателен по отношению к некоторым деформациям, и, следовательно, рассматриваемая система неустойчива.
Границу между устойчивыми и неустойчивыми конфигурациями образуют такие состояния, в которых исчезает упругость по отношению к одному определенному типу смещений. В этом случае наряду с исходным равновесным состоянием существуют близкие к нему равновесные состояния, соответствующие смещению $ в направлении упругости, равной нулю. Таким образом, для нахождения границы устойчивости достаточно определить, при каких условиях появляются близкие равновесные состояния, т. е.
достаточно исследовать уравнение Р~=О. Равновесные состояния, для которых можно найти возмущения, соответствугощие нулевым собственным частотам, по сути дела, представляют собой безразличные равновесия. Такова в кратких чертах общая программа магнитогидродинамической теории устойчивости. В выражении для потенциальной энергии б(г' два слагаемых [см. две фигурные скобки в формуле (2.210а)]. Первое описывает изменение внутренней тепловой энергии плазмы, второе— изменение магнитной энергии при перестройке конфигурации. Неустойчивости желобкового типа связаны с высвобождением внутренней энергии плазмы (при расширении).
Они соответствуют деформациям равновесной конфигурации, имеющим вид желобков, вытянутых вдоль силовых линий магнитного поля. При таких смещениях силовые линии магнитного поля не «растягиваются» и не ~изгибаются», на что пришлось бы затрачивать'энергию [это второе слагаемое в (2.210а)]. 222 Так как смещения в желобковых возмущениях поперечны силовым линиям магнитного поля ($.1Н), то можно сделать еще одно важное обобщение: энергетический принцип, формально выведенный из уравнений магнитной гидродинамики, имеет разумный смысл и для разреженной плазмы в дрейфовом приближении, так как для наиболее опасных возмущений Я ( Н) движение происходит поперек силовых линий, когда снова применима своеобразная гидродинамика, бесстолкновительная и с неизотропным давлением.
Не следует думать, что магнитная часть потенциальной энергии всегда играет стабилизирующую роль. Если при выборе равновесной конфигурации проявить беспечность, то именно высвобождение избытка энергии магнитного поля при перестройке конфигурации явится источником наиболсе бурных проявлений магнитогидродинамической неустойчивости.
Тенденция к сокращению длины силовых линий и приводит к неустойчивости. Примером может служить неустойчивость пинча. Иногда высвобождаемую при этом энергии» называют энергией пипчевания. 3 2.13. Стабилизация магнитогидродинамических неустойчивостей в термоядерных ловушках Устойчивость плазмы при пинч-эффекте являлась предметом многочисленных исследований. Самые первые фотографии плазменного шнура, сжатого протекающим по нему собственным током, показали, что он неустойчив относительно деформаций типа пере- тяжек («шеек») и изгибов («змеек»). Из общих соображений неустойчивость линча с продольным током, текущим по поверхности, очевидна по той причине, что всюду от границы плазмы наружу магнитное поле падает. Для стабилизации такого пинча еще в середине 50-х годов было предложено использовать сильное магнитное поле, направленное вдоль оси линча.
Действительно, в этом случае прн деформациях пинча затрачивается работа на увеличение энергии этого магнитного поля, что и вызывает стабилизирующий эффект, Этот эффект резче всего проявляется для возмущений с большим волновым вектором, т. е. с малой длиной волны вдоль оси пинча. Напротив, в длинноволновых возмущениях изменения продольного магнитного поля малы, и относительно возмущений с длиной волны, значительно большей радиуса пинча, неустойчивость остается. Условие устойчивости пинча относительно «змеек» и «шеек» можно получить наглядно следующим образом. Рассмотрим сначала змейкообразные возмущения пинча (рис. 2.38).
Предположим, что внутри пинча радиуса а имеется вмороженное продольное поле Нь а снаружи — азимутальное поле тока, текущего по его поверхности, Н. Если пинч изгибается (длина изгиба Х), то силовые линии азимутального поля сгущаются с внутренней стороны и разрежаются снаружи. Поэтому на внутреннюю часть панча (обращенную в сторону центра кривизны) действуе г большее магнитное 223 давление.
Кроме того, из-за искривления силовых линий вмороженного продольного поля возникает сила натяжения, действующая в об. ратном направлении. Силу, действующую со стороны азимутального поля на плазму, можно подсчитать следующим образом. Выделим вокруг пинча цилиндрический объем радиуса Х, как бы срезанный плоскостями, ч»и . 2.зз. неустойчивость пинча проходящими через центр кривизотносительна деформаций типа "ы. Так как силовые линии азиму«змеек» тального поля лежат в этих пло- скостях, то полная сила, действующая на единицу длины пинча в направлении смещения, складывается из соответствующей составляющей магнитного давления на торцах: л 2а ) (Н'/8н) 2нгдг О (где угол наклона а=А/2Я, а Р— радиус кривизны) и давления .на боковые поверхности, которым можно пренебречь. Вблизи от искривленного пинча поле Н можно описывать так же, как и для бесконечно длинного проводника с током Н=Ноа1г.
Нс=Н(а)— поле на поверхности пинча. Однако на расстояниях г,вХ эффект возмущения исчезает и интеграл следует «обрезать» при г Х. Поэтому действующая на единицу длины шнура сила, вызванная возмущением поля, при искривлении есть л (1/Я) ) (Н'18«) 2нгг1г =(Н',1Ж) 1п (Х1а) а'. о Сила натяжения, как обычно, равна — (Н';14пр) пан= — ( Н'(4Рс) а', -так что полная сила ЬГ=(ан(41с) (Нно!п (Х/а) — Н'т1.
Отсюда возникает известное условие устойчивости Нн;(Нво) 1п Х)а. (2.211) Так как из условия равновесия р+Нз«18и=Нво18я следует, что Нвз(Нзе, то Ясно, что пинч нельзЯ полностью стабилизиРовать юильным внутренним продольным полем относительно длинноволновых возмущений. Если продольное магнитное поле имеется и внутри, и вне шнура с аксиальным током, то полное поле оказывается винтовым.
З таком поле шнур, искривившись по винтовой силовой линии, сможет пролезть между силовыми линиями поля, не искривляя их., й24 Такая неустойчивость имеет место, если возмущение поверхности шнура винтовое и если шаг этого винта ). совпадает с шагом си- лавой линии на поверхности пинча 2па(Н,(Н ) или оказывается больше него. Следовательно, линч устойчив относительно винтовых возмущений с длиной волны Х ( 2«аН,~Н (критерий Крускала — Шафранова).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
