Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(2.212) Таким образом, в обоих случаях существует максимальная дли- на волны возмущения, еще стабилизируемого магнитным полем. Для системы типа токамак при возмущениях с длиной волны, рав- ной периметру тора, Х=2пН критерий устойчивости Крускала— Шафранова имеет вид Н(аН,~Н~, т. е. плазма тем более устой- чива, чем больше безразмерный параметр д=(а)Я) (Н,)Н ) (так называемый запас устойчивости). Условие устойчивости относительно деформаций типа «шеек» (см. рис.
2.27) можно найти следующим образом. Пусть радиус шнура изменился на Ба. Тогда нз-за сохранения магнитного пото- ка поле внутри шнура меняется на бН= — Н;2ба/а. Кроме того, азимутальное поле вне шнура Н=2!/са, где! — полный ток, поэто- му ЬН= — Н Ьа(а. Полное изменение разности магнитных, давле- ний изнутри и снаружи пинча бр = — (Н';)4и) (2ба(а)+(Н»/4я) (ба/а), так что условие устойчивости имеет вид Н' '-.
Н'/2. (2.2! 3) Итак, достаточно сильное продольное поле подавляет «шейки», но не может стабилизировать'пинч относительно длинноволновых «змеек». Дополнительные меры по стабилизации — окружение плазменного шнура проводящей коаксиальной оболочкой. При сме- щениях шнура в оболочке должны наводиться индукционные токи, взаимодействие с которыми стремится вернуть шнур в исходное положение. Сочетание этих способов стабилизации в свое время широко применялось для создания высокотемпературной плазмы.
Стабилизация по Крускалу — Шафранову представляет собой использование квазиупругой силы натяжения достаточно сильного магнитного поля. Критерии, которые были получены выше для идеализированной геометрии пинча с поверхностным током, конеч- но, .нельзя применять для реальных равновесий в буквальном смысле.
Ток всегда распределен каким-либо образом по сечению плазменного шнура. Поэтому внутри плазмы сосуществуют обе компоненты поля: и аксиальная, и азимутальная, т. е. суммарное магнитное поле является винтовым. В винтовом поле невозможна обычная перестановочная желобковая неустойчивость, так как из- за того, что шаг силовой линии на каждой магнитной поверхности различен, трубки «перепутываются» при радиальном смещении н 15 — 74 225 возникает та же самая квазиупругая сила натяжения.
Чем сильнее меняется шаг винта силовой линии в равновесии при переходе от одной магнитной поверхности к другой, иначе говоря, чем сильнее перекрещенность силовых линий (так называемый шир), тем более устойчивым должно быть равновесие. Наличие шира в магнитной системе с вращательным преобразованием поля означает, что у~ол говорота силовых линий 11 является функцией от координаты г, т.
е. изменяется при переходе от магнитной оси к периферии плазменного витка. В литературе по теории устойчивости в качестве меры шира чаще всего принимается величина О,= (гз/1.) сИ/й.), (2.214) где 1. — длина плазменного витка (для круговых систем 1.= — 2п/1). В настоящее время очень распространена точка зрения, согласно которой шир можно рассматривать как некоторое универсальное средство борьбы с широким классом плазменных неустойчивостей. Поэтому прежде чем специально останавливаться на выяснении роли шнра в подавлении неустойчивостей магнитогидродинамического типа, сделаем отступление в сторону, чтобы разъяснить происхождение формулы (2.2! 4) . Элементарное возмущение, возникшее в плазменном шнуре, можно представить в виде следующей функции координат: Ч~ ехр [) (п~р — я»в) ), где г — координата, отсчитываемая вдоль плазменного шнура: й, — компонента волнового вектора в этом направлении; п — целое число.
Для простоты здесь используется модель «выпрямленного» витка, что допустимо при слабой тороидальности системы (а« /1). Рассмотрим, как это возмущение распространяется вдоль силовой линии. Обозначим элементарный отрезок длины силовой линии д1: й/г(1 = (Н,/Н) (д/дз) + (Н„/Нг) (д/д 1); Н =)/1 Н', + Н'. Дифференцирование функции Чг по 1 дает гЯ/г/1= Й,%'=((/Н) [(а/г) Н вЂ” И,Н,) Чг. Здесь /т — волновой вектор вдоль силовой линии. Возмущение по- 1! стоянно вдоль силовой линии, т.
е. Й, =О, если А =(и/г)(Н /Н,) = ЦН,/Н ). (2.215) В этом выражении А =п/» — компонента волнового вектора по азимуту гр. Вводя длину плазменного шнура 1„можно записать условие (2.215) в следующей форме: И,1.=пй. Поскольку й,=2пт/1., где т — целое число, то указанное условие удовлетворяется только для замкнутых силовых линий, у которых 11=2пи/л. 226 Выясним, как будет изменяться фаза функции Ч" при переходе от силовои линии, лежащей на поверхности с радиусом гм для которой условие (2.215) выполнено, к бесконечно близкой силовой линии, лежащей на поверхности с радиусом г (как и ранее, будем рассматривать область лишь вблизи магнитной оси).
Разлагая дЧ'/й по малому параметру бге г — г„находим — Н( —. ~)- Н юг( —.) — Н' 'г' ч" где О, определяется формулой (2.214). Для магнитных систем типа токамак в этом выражении можно положить Н,1Н=1. Из (2.216) следует, что при заданных значениях волнового век. тора А и относительного радиального смещения бг)гэ фаза воз.
мущения на силовой линии, равная А 1, будет тем ближе к посто. янной величине, чем меньше величина шира О,. Смысл этого результата нетрудно уяснить. Если речь идет о магнитогидродинамических возмущениях в плазме низкого давления, то сохранение постоянства фазы при переходе от одной силовой линии к другой означает наименьшее возмущение магнитного поля. Следовательно, при значениях О„очень близких к нулю в системе без магнитной ямы, возмущения перестановочного типа могут свободно распространяться по радиусу, вызывая неустойчивость плазмы. При увеличении О, такие деформации будут стабилизироваться, так как с перемещением плазмы в направлении г в этом случае будет связано сильное искажение поля.
Если О,ФО, то возмущение, которое на некоторой магнитной поверхности имело форму выступа, совпадающего с силовой линией, должно при переходе к близкой магнитной поверхности изогнуться так, чтобы образовался плазменный «язык» сложной формы. Его боковые края как бы закреплены вдоль внутренней силовой лобковая делинии, а наиболее далеко продвинувшийся по г формация зэк гребень расположен параллельно внешней силовой наличии шара линии (рис.
2.39). Дополнительную магнитную энергию, которая соответствует такому искажению формы поля (напомним, что силовые линии вморожены в плазму), можно получить только в результате работы сил давления плазмы. Условие стабилизации заключается в том, что накладывается ограничение на максимальную величину р или на величину градиента давления плазмы.
Проведем упрощенную оценку конкуренции двух сил, действующих на смещенный элемент плазмы. Дестабилизирующая сила р/Р, связана с кривизной силовой линии магнитного поля, где Я,— радиус кривизны для прямолинейного плазменного столба, 15* тг»=гН»(Н' . Возмущение давления при смещении $ равно бр $пр/й.
Итак, сила, стремящаяся вывести плазму из равновесия, Г~ —— = — (1Ф.) ((р/4г) 5. Стабилизирующую силу натяжения (Ну) Н(4я можно оценить еле. дующим образом: Р,~Н,Й ЬН )4ж, где А„определяется выражением (2.216); ОН можно найти, рассматривая искривление силовой линии при выпячивании «языка» на расстояние «:ОН ~ Н,Гй„,. Минимальный характерный размер Ьг, занимаемый областью, в которой происходит возмущение, естественно считать имеющим тот же порядок величины, что и длина волны возмущения по азимуту (по Ч:), т. е.
Й„бг-1. В итоге из условия Р»)Р, получаем известный критерий Сайдзма стабилизации локальных возмущений широм: — (Оя/Н*,) йр/г(г ~~ К (Н'/Н' ) (1/г) О',. (2. 217) Специально введенный здесь численный множитель К 1 подчеркивает, что использованная оценка не может претендовать на большую точность. Правильное значение должна дать строгая теория. Количественный вывод критерия Сайдема представляется весьма пор учительным. Мы ограничимся мини- мальными математическими выклада(Нз/6я) ками, предельно упростив задачу, но стараясь сохранить основные черты Ряс. В.40.
Стзбзлазз- СтабИЛИЗацИИ жЕЛОбКОВОй НсуетОйЧИ- вости с помощью шира. Выберем пло,цыо мира скую геометрию, напоминающую уже рассмотренную ранее в задаче Крус- кала — Шварцшильда об устойчивости размытого (без резкой границы) равновесия плазмы под действием силы тяжести, уравновешиваемой давлением магнитного поля. В эту задачу необходимо ввести шир, т. е. поворот силовых линий равновесного магнитного поля. На рис. 2.40 изображено именно такое равновесие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
