Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В этом последнем случае энергия частицы уже не является интегралом движения, но адиабатический инвариант 1, сбхраняется в обычном смысле. Иногда можно говорить и о третьем адиабатическом инварианте движения заряженной частицы в магнитном поле. Такой инвариант соответствует дрейфовому движению частицы поперек силовой линии магнитного поля, если оно носит циклический харакРис. 2.11. движение частааы тер Так, движение заряженной части- в магнитном поле Земли цы в изображенном на уже знакомом нам рнс.
2.5 магнитном поле может быть периодическим и для дрейфа. Вращаясь вокруг силовой линии и совершая продольныеколебания вдоль силовой линии междуобластямн с большим магнитным полем, частица медленно [с дрейфовой скоростью, описываемой выражением (2.221 обходит силовую трубку по некоторой поверхности, изображенной на рис.
2.5. Третий инвариант движения частицы используется в физике плазмы значительно реже первого и второго, поэтому мы не будем здесь вдаваться в детали. Укажем лишь, что роль !з играет магнитный поток внутри силовой трубки, охватываемой дрейфовой траекторией частицы (см. рис. 2.5). Магнитный поток в такой силовой трубке сохраняется, если за период обращения частицы со скоростью дрейфа вокруг силовой трубки магнитное поле изменяется мало. Всеми описанными свойствами может обладать движение электронов и протонов в радиационных поясах Земли (рис. 2.11). Первый адиабатический инвариант — это, естественно, магнитный момент.
Второй адиабатический инвариант соответствует движению запертых частиц между магнитными зеркалами, расположенными у полюсов. Третий инвариант соответствует дрейфовому движению частиц в неоднородном магнитном поле Земли. Электроны согласно формуле (2.36), примененной к случаю магнитного поля Земли, дрейфуют с запада на восток, а ионы — в обратнога 150 и, = влА з1 и а„/ — — Р (и) соз ц, (г — и) йи; 1 .,=;~- -~-~ — „„~~мп".( —.~~..
! о ) (2.46) Если электрическое поле возрастает по закону Е(/)=Е,(1— — ехр( — а~)), то изменение магнитного момента после включения поля (при /))1/а) равно бр=(еАЕ,/Н) (и/шн). Низкая (порядка а/вп) точность сохранения адиабатического инварианта объясняется тем, что изменение электрического поля не является достаточно гладким. Так, производная г (/)=еЕ(/) по / испытывает разрыв при /=О.
Если включить электрическое поле достаточно плавно, ситуация изменится. Пусть, например, напряженность поля 151 направлении. Время полного обхода вокруг земного шара при таком дрейфе для частиц, движущихся по силовым линиям с максимальным удалением от центра Земли Н, имеет порядок 2пе/(з/рс. Это значит, что третий адиабатический инвариант (магнитный поток через поверхность, охватываемую дрейфовой траекторией точки отражения частицы от магнитного зеркала) сохраняется, если магнитное поле мало меняется за время порядка 2пеН'/рс.
Большое принципиальное значение в динамике движения заряженных частиц имеет вопрос о точности сохранения адиабатических инвариантов. Разберем этот вопрос на примере ц. В этом случае точность сохранения адиабатического инварианта р определяла бы длительность запертого движения частицы между магнитными зеркалами. Как уже говорилось, понятие об адиабатической инвариантности р имеет смысл при условиях (2.44). Естественно было бы ожидать, что сохранение инварианта является результатом разложения по малому параметру е- 1Й~/ып)Н) или (гн/)Н)) )йтадН). Тогда следовало бы ожидать нарушения адиабатической инвариантности в следующем порядке по этому малому параметру.
Однако более тонкие соображения показывают, что, вообще говоря, точность адиабатнческого ипварианта гораздо выше. Оказывается, он сохраняется с так называемой экспоненциальной точностью ~бр/и)- ехр( — 1/е). Математический аппарат, используемый для доказательства этого утверждения, требует лишь, чтобы функции, описывающие поведение полей, в которых движется частица, были достаточно гладкими по отношению к изменению аргументов г и /. Для иллюстрации обратимся к рассмотренному в ~ 2.2 движению частицы в однородном магнитном поле и поперечном электрическом поле, включенном при /=О. Скорость ларморовского вращения частицы в этом случае согласно выражениям (2.9), (2.12), (2.13) равна зависит от времени по закону с Е(1)=(«Е,/р'«) '] ехр( — а'«')г/«.
Такая форма зависимости означает, что «включение» происходит прн /= — со, а при / — сс Е- Е,. Вычисляя входящие в (2.46) интегралы, находим, что при 1 -оо п„=п атал/ — 1созм 1; (2.47) и„= п, соз мл1+ 1йп а„1, где 1=(1/2)(еЕ,/лв»,) ехр( — в'ла'). Отсюда па=о««+К' и, следовательно, Лр/1»=ВР/о'« —— = (1/4) (е'Е'з/ иззт»ызн) ехр ( — 2ы'на') Таким образом, изменение адиабатического инварианта в рассмотренном примере с идеально плавным включением действительно оказывается экспоненциально малым.
5 2.4. Кинетическая теория плазмы в магнитном поле Поведение ансамбля большого числа заряженных частиц в магнитном поле можно описывать с помощью функции распределения /(г, ч, /) (для каждого сорта зарядов), которая определяется так же, как и для плазмы в отсутствие магнитного поля. Но в кинетическое уравнение, которому подчиняется такая функция распределения, нужно добавить еще одно слагаемое, учитывающее действие силы Лоренца (е/с) (ГАХН]. Такое кинетическое уравнение имеет вид д//д/+чдгад/+(е/т)(Е+(1/с) 1тХН])(д//дч)» 81(/).
(248) Это уравнение отличается от кинетического уравнения (1.83) слагаемым (в/т) ~ Е+ — ]к Х Н]] (д//дч) [вместо (е/т) Е (о//дч)]. Однако может возникнуть вопрос, не изменится ли также характер столкновений между заряженными частицами при наличии магнитного поля.
Траектории частиц, пролетающих друг от друга на расстояниях, сравнимых со средним ларморовским радиусом или больших его, в процессе рассеяния будут испытывать также искривление пз-за магнитного поля. В результате дебаевской экранировки поля каждого отдельного заряда практически нужно учитывать лишь парные взаимодействия между частицами на расстояниях, меньших дебаевского радиуса. Отсюда сразу же следует первый вывод: влияние магнитно~о поля на процесс рассеяния несущественно, если дебаевский радиус гв плазмы меньше среднего ларморовского радиуса частиц гп= 152 =торс(еН, где ит — средняя тепловая скорость. В применении к электронам, ларморовский радиус которых в 1/т;)т,раз меньше, чем у ионов при той же энергии, неравенство гп<гн можно привести к виду ын< ар, (2.49) или Н'14п < пт,с'.
(2.50) В конкретных условиях экспериментов с плазмой оно соблюдается только при не очень сильных магнитных полях. Однако несколько более углубленный анализ показывает, что нарушение условия вн<вр еще не равнозначно сильному влиянию магнитного поля на элементарные акты столкновений. Это связано с тем, что сечение кулоновского рассеяния 1см. формулу (1.10)1 содержит так называемый кулоновский логарифм Лк, возникающий, грубо говоря, вследствие обрезания (отбрасывания) столкновений, происходящих на расстояниях, больших гп. В силу логарифмической зависимости сечения рассеяния от расстояния, на котором происходит обрезание, величина сечения не слишком чувствительна к параметру обрезания.
Следовательно, влиянием магнитного поля на процесс столкновений можно пренебречь вплоть до таких параметров плазмы, при которых выполняется более мягкое условие (2.51) 1и ын)ыр<Й». Оно неприменимо лишь для очень экзотических плазм (в чудовищно сильных магнитных полях). Для теории плазмы выполнение неравенства (2.51) означает, что интеграл столкновений в правой части кинетического уравнения Больцмана сохраняет ту же форму, что и при отсутствии магнитного поля. Естественно, остаются прежними и формулы для длины свободного пробега заряженных частиц, времени между двумя столкновениями и все другие следствия в $1.3.
Понятие самосогласованного поля в общем случае нужно распространять и на магнитное поле. Это значит, что в уравнении Максвелла для магнитного поля го1 Н=(4п1с))+(1/с)дЕ/д1 следует учесть самосогласованный ток 1, переносимый зарядами плазмы. Поскольку по определению для любого сорта частиц пч== = ( чЦо, то вклад каждого сорта частиц в плотность тока есть ели=с ') ч)г(и и в итоге )=Бед (ч)ы4о, где суммирование проводят по всем сортам частиц. Для плазмы, состоящей нз электронов и однозарядных ионов одного сорта, полная система уравнений кинетической теории с самосогласованным полем имеет вид: 1зз )о= — сго1 ~ р)дп, р= — рН,/Н. Единичный вектор — Н)Н означает, что магнитные моменты частиц ориентированы против поля.
Вернемся к условию 1»гп, выделяющему область сильного влияния магнитного поля на траектории частиц в плазме н, следовательно, на всю кинетику плазмы в целом. Учитывая, что й=вгт н гл=от)гэл, где т — время .свободного пробега, условие 1»гп можно представить в виде (2.54а) (2.55) унт»1. Неравенство (2.55) называют критерием замагниченн о с т и п л а з м ы, а плазму, удовлетворяющую этому критерию, з а м а г н и ч е н н о й. Оно требует дополнительной конкретизации для электронов и ионов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
