Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ведь так гке, как и в газовой динамике, для волн с линейным законом дисперсии должны происходить к хорошо известное укручение и опрокидывание фронта. Эта нелинейная деформация профиля волны (рис. 1.39) заключается в том, что участки профиля, которым соответствуют большие скорости, стремятся опередить участки с меньшей скоростью, и в конце концов образуется разрыв. Если в газовой динамике рост крутизны фронта ограничивался диссипативными эффектами, то в плазме главную роль могут играть эффекты диспсрсии, т.
е. зависимости фазовой скорости от длины волны. Роль дисперсии в ограничении нелинейного укручения профиля можно пояснить следующим образом. Увеличение крутизны переднего фронта означает рождение высших гармоник в волне под влиянием нелинейности. В первом (линейном) приближении по амплитуде всякая волна остается гармонической в форме ехр(1ях — 1о1). Во втором приближении тот же механизм,. который был описан в ~ 1.14 и приводил к параметрической связи различных типов волн, в случае монохроматической волны приводит просто к рождению второй гармоники.
Разлагая по амплитуде волны, получаем следующее уравнение для поправки вгорого при- 125 'ближення: (д'/д1' — офд'/дх') Е,+ХЕв=АЕ', ехр(21(йх — п1)). (1.241) Здесь Š— электрическое поле волны, индексы 1 и 2 соответствуют амплитудам первой и второй гармоник, оператор Е описывает отклонение от линейного закона дисперсии волны во=офй. В извест.ном смысле уравнение (1.241) имеет вид уравнения движения «осциллятора» под действием вынуждающей силы, пропорциональвиой Е,. Ясно, что вторая гармоника может эффективно возбуждаться только тогда, когда эта сила находится в резонансе с собственной частотой осциллятора, т.
е. если удвоенной исходной частоте 2в соответствует (в законе дисперсии) волновое число 2й. Такой резонанс может осуществляться лишь для линейного закона дисперсии ы=офп, дисперсия фазовой скорости означает, что вынуждающая сила смешается из резонанса и перекачка во вторую гармонику становится менее эффективной. Для того чтобы увидеть, как дисперсия остановит процесс не.линейного укручения профиля, рассмотрим случай, когда фазовая .скорость уменьшается с ростом волнового числа. Тогда нелинейная добавка к фазовой скорости и дисперсионная добавка, появляющаяся при укручении профиля, имеют разный знак и поэтому могут компенсировать друг друга.
Такой закон дисперсии имеют .ленгмюровские и коротковолновые ионно-звуковые колебания, и в этих случаях следует ожидать появления нелинейных стационарных волн. В таких волнах все величины зависят от комбинации х — офф (оф — скорость распространения волны). Эти волны можно рассматривать как асимптотическое состояние исходного волнового пакета при достаточно больших временах, когда эффекты нелинейного укручения и дисперсии успевают стабилизировать друг друга. Рассмотрим сначала нелинейную ленгмюровокую волну. Напомним, что для волны достаточно большой амплитуды, ~когда выполнено условие 1вьть(1 (уь — линейный инкремент, «ь — период ко.лебаний захваченных частиц), фазовое размешивание полностью -«выключает» кинетический эффект взаимодействия резонансных частиц с волной.
Поэтому нелинейную волну можно исследовать 'с помощью более простых гидродинамических уравнений (1.100) и (1.102), дополненных уравнением Пуассона: до/д(+ одо/дх = (е/и) (дзв/дх); дп/д(+ д (ио)/дх =0; (1.242) д'ф/дх' = 4«е (и — и,). Полагая, что п=пД), о=о(ф), р=вр($), $=х — оф1, можно про,интегрировать первые два уравнения из приведенной системы: (1.243) в 26 ;о = о, — (о*ф+ 2е<р/гп)'~', ивоф/(о оф) ' Постоянные интегрирования в этих уравнениях выбраны из усло-- вия, что в невозмущенном состоянии, т. е. при гр=О, о=О, п4 по.. Используя эти соотношения, можно свести уравнение Пуассона.
к следующему уравнению для грД): сР~р ( йц'= — д И (дф, (1.244) где (г'(гр) = — 4пепе(птоф (н'ф+ 2е~р1пт) на(е — гр — то'41е). При решении уравнения (1.244) оказывается удобным исполь-- зовать формальную аналогию с аналитической механикой — это уравнение совпадает с уравнением движения частицы в нелинейной потенциальной яме (т'(гр) (рис.
1г(О) (эта аналогия становится очевидной при замене й-+4, гр- х). Первый интеграл уравнения (1.244) совпадает с интегралом. энергии частицы с единичной массой н полной энергией д'1 (1/2)(сйрМ)'=д' †(У(ф). (1.245) Уравнение энергии (1.245) просто интегрируется, и решение фД) выражается через эллиптические функции. Нет смысла приводить соответствующие формулы вследствие их громоздкости. Качественно характер решения нетрудно пояснить, используя вид эффективного «потенциала» 0(гр).
При ма- 1агреа О демаг У ттча Рис. !.41. Профиль потенциала электрического полн нелинейной ленгмюровской волны Рис. 1.40. График аффективной потенциальной энергии 11(~р) в случае нелинейной ленгмюровской волны лых амплитудах гр($) — гармоническая функция, при больших амплитудах потенциал гр остается периодической функцией, изменяющейся от ф~, до гр ы, однако профиль волны искажается„ как это показано на рис. 1.41.
При гр<О отрицательная сила — У'(ф), действующая на «осциллятор» в потенциальной яме, велика, и эту область значений ф осцнллятор проскакивает довольно быстро, существенно быстрее области положительных р. В результате мы получаем так называемую к н о и д а л ь н у ю в о л н у для потенциала (см.
рис. 1.41), которой соответствует волна электри'ческого поля ЕД) с достаточно крутым передним фронтом. 12Т '0 Нелинейное укручение профиля волн в рассматриваемом случае остановлено в результате дисперсии, а обмен энергии с резонансными частицами полностью «выключен» из-за фазового размешивания этих частиц. Предельное значение 'а=О амплитуды потенциала в этой волне д ° 2 г ~рнр,д — — то ф/2е, как это следует из вида потенциальной ямы (У(<р). Возникновение такого ограничения потенциала можно объяснить так. В области отрицательных (см. рис, 1.40) профиль потенциала Рнс.
!.42. ГраФик ГУ(ф) длн представляет собой потенциальный горб мелннейной нонна.а»У«оной для электронов. При достаточно боль- волны шой высоте горба <р ~ =аьч д тепловые частицы плазмы не могут переваливать через него и останавливаются в системе отсчета волны. При еще больших амплитудах появляются отраженные электроны, возникает многопотоковое движение частиц, приводящее к опрокидыванию профиля волны. Таким образом, в плазменной волне дисперснонные эффекты останавливают процесс.нелинейного укручения и опрокидывания волнового профиля только для волны не слишком большой амплитуды: ) аь н )(то'ф/2е.
Рассмотрим теперь другой предельный случай — нелинейную зюнио-звуковую волну. Фазовая скорость ионно-звуковой волны существенно больше тепловой скорости ионов, поэтому движение ионов в волне можно рассматривать с помощью гидродннамических уравнений. Скорость и плотность ионов определяются тогда формулами (1.243) с соответствующими заменами заряда и массы заряженной частицы е- — е, т,— ~-ть Что же касается электронов, то, как уже отмечалось ранее (см. ф 1.10), тепловая скорость электронов существенно больше фазовой скорости волны, и поэтому .для них поле волны практически квазистационарно. В этом случае .для электронов простейшей моделью является распределение 'Больцмана (1.116). Тогда уравнение Пуассона для потенциала ионно-звуковой волны вновь сводится к уравнению движения нелинейного осциллятора [см.
уравнение (!.244) ). Эффективная -<потенциальная яма» (У(гр) в этом случае имеет вид (У (~р) = — 4ппое(тгвф (о»ф — 2е~р! т;) Ыа+ +7е ехр (еф /Ге) — та ф — Гл). (1.246) График функции У(~р) показан на рис. 1.42. Так же, как и в случае ленгмюровской волны, ограничимся качественным анализом решения, основывающимся на интеграле <энергии» (1.245). Из вида графика (у(~р) следует, что в случае сверхзвуковой волны аф> (Т,/т;) и' значениям Л' в интервале 8'дн,<8'<О соответствуют 428 периодические решения с <р>0, т.
е, являющиеся потенциальными горбами для ионов. При сй=д' м (т. е. вблизи дна «ямы») имеем гармонические колебания потенциала малой амплитуды относительно среднего значения ф«(рис, 1.43). С ростом значения а происходит нелинейное искажение профиля вол~вы. Вершины в волне потенциала разносятся на все большее расстояние, поскольку при этом вблизи точки поворота ф — ф м сила, действующая на нелинейный «осциллятор» и пропорциональная дУ(ф) 1дф, оказыва- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
