Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(1. 2251 Из закона дисперсии ленгмюровских волн имеем й')Р= =2(ь — гара)13гзроРг'о, поэтому равновесное распределение можно представить следующим образом: Мк = М, ехр( — 2(со — ш,)1 3 рр,йГ 'р),~к 1'%'. При наличии деформаций плотности плазмы бп(г) величина ы— — ыро=(Рг'о12+бп12по) оро (первое слагаемое — кинетическая энергия плазмона, второе — его потенциальная энергия).
В этом случае равновесное распределение плазмонов (1.225) трансформируется в следующее: М„= М, ехр ( — А')й' — Ьг1)ЗРг'оп.,))™й'. (1. 226) Если равновесное распределение (1.225) — аналог максвелловского распределения для частиц, то распределение (1.226) — аналог больцмановского распределения в потенциальном поле ~р(г). Интегрируя по й, находим полную плотность плазмонов ~ д)гМ = М,ехр ( — Зп1 Зйт 'оп,).
(1. 227) 120 стоянной скоростью ды(дй, то при развитой модуляционной неустойчивости они оказываются запертыми в кавернах, аналогично тому как достаточно сильная волна захватывала резонансные частицы плазмы в потенциальную яму. Так же как эффект захвата резонансных частиц волной не описывается квазилинейными уравнениями, захват плазмонов в каверны и развитие модуляционной неустойчивости нельзя описать в рамках слабой турбулентности. Возникающая в результате модуляционной неустойчивости турбулентность леыгмюровских волн является сильной — волновые движения, из которых она слагается, существенно отличаются от линейных мод колебаний. Ниже проведен качественный анализ этой проблемы. Начнем с простого эвристического рассмотрения модуляционной неустойчивости, использующего аналогию между распределением плазмонов в неоднородной плазме бп(г) и больцмановским распределением заряженных частиц в потенциальном поле ~р(г).
Хорошо известно, что функция распределения электронов в таком поле имеет вид Из этой формулы действительно следует, что плазмоны имеют тенденцию скапливаться в местах провала плотности плазмы. Возмущение плотности плазмонов определяется формулой 6У Л ейи/3РГр ие (ро=( Е') /8п — равновесное давление плазмонов) по знаку обратно возмущению плотности, что, собственно говоря, и приводит к неустойчивости. Для получения количественной формулы напомним, что линеаризозанные уравнения медленных квазинейтральных движений плазмы имеют вид [ср. с (!.118)] — и,т, 1 ма = — 1Ыр; — !аЗп + Ии,п = О, (1.229) где бр — суммарная вариация давления в плазме, слагающаяся из вариаций высокочастотного и газокинетического давлений: бр= Т'оп+Ьр „.
Подставляя в (1.229) бр „из формулы (1.228), получаем следующее дисперсионное уравнение: т=й'Т [1 — (Е)~И'~'р!бти,Т[~тп (1.230) Условие неустойчивости вз(0, т. е. (Е') / 1бпп,Т> Рг'-о, (1.230а) и в процессе накоплевия длинноволновых (к — О) плазмонов по каналам слабой турбулентности обязательно должна возникнуть модуляционная неустойчивость. При (Е') 1!бпп,Т»Ргзр имеем нз (1.230) следующую оценку для инкремента модуляционной неустойчивости; 1щ ы — ( (Е') 116пп,т;г'и) оа ыр (т,(Е') 1т,1бпп,Т) пй (1.231) Весьма важным является вопрос о дальнейшей динамике образующихся в результате модуляционной неустойчивости каверн. Для запертых в каверне плазмонов кинетическая энергия порядка потенциальной, т, е.
~ г р ~'Рп[!ие (1. 232) Длина волны запертого плазмона определяет одновременно ха- рактерный размер каверны 1-11й. Под действием силы высокоча- 121 в полной аналогии с возмущением электронной плотности бп= =изб[ Т,. Соответствующее возмущение высокочастотного давления бр „= — р,ои!'Зй'-г- "и, (1. 228) стотного давления плазма вытесняется из каверны. Рост )бл) сопровождается схлопыванием каверны, так как 1 11(бп)п'.
Г1ри этом плотность энергии колебаний возрастает и происходит ускорение процесса выталкивания плазмы н схлопывания каверны, который, таким образом, носит взрывной характер. Естественно возникает вопрос о том, что останавливает схлопывание. Ограничимся качественным анализом этого вопроса, основывающимся на соотношении (1.232) между длиной волны запертых плазмоноз и глубиной модуляции плотности, а также на условии постоянства числа запертых в каверне плазмонов.
Так как глубина модуляции плотности в каверне обычно невелика )бп~)п,< 1 и соответственно мало изменение частоты плазмона бга«и, то последнее условие ~ г(г)Е!'=сопз1, (1. 233) и, таким образом, высокочзстотное давление в каверне возрастает при схлопыванни обратно пропорционально ее объему )Е(' 1;1' (з принимает значения 1, 2, 3 в зависимости от размерности каверны).
В то же время для схлопывания необходимо преодолеешь давление вытесняемой плазмы бпТ, которое согласно (1.232) возрастает как 1-'. Отсюда следует, что динамика каверны существенно зависит от ее размерности, В одномерной каверне (локализация ленгмюровской энергии только по одному измерению) газокннетическое давление при схлопывании возрастает быстрее высокочастотного. В результате при некотором 1 установится баланс давлений и образуется солитон — ленгмюровский сгусток конечного размера, который, однако, неустойчив относительно модуляции в двух других измерениях. В двумерном случае (э=2) если только в начальный момент времени высокочастотное давление в камере превышало газокинетическое, то в дальнейшем схлопывания каверны не остановить.
Наконец, в трехмерном случае высокочастотное давление при схлопывании возрастает быстрее газокинетического и процесс схлопывания идет с нарастающей скоростью. В каждом из двух случаев схлопывание каверны с запертыми в ней плазмонами происходит до столь малых размеров, что длина волны плазмона становится сравнимой с дебаевской длиной (а фазовая скорость сравнимой с тепловой скоростью) и «включается» резонансное поглощение плазмонов частицами плазмы — затухание Ландау. Явление схлопывания образующихся при модуляции неустойчивости каверн с плазмонами, которое имеет характер взрыва и ограничено только затуханием Ландау, получило название к о л л а п с а л е н гм ю р о в с к и х в о л н. Коллапс ленгмюровских волн описывается полученными в параграфе о параметрической неустойчивости уравнениями (1.173) и (1.176) для электрического поля и вариаций плотности.
Особенность рассматриваемого случая по сравнению с решениями, полученными в ~ 1.14, связана с тем, что из-за наличия сильного взаимодействия моды колебаний, описываемые уравнениями (1.230), (1.231), существенно отличаются от линейных. 122 Связь между вариацией плотности в каверне и высокочастотным давлением определяется уравнением (1.176), в котором в многомерном случае следует заменить оператор дифференцирования д'!дх' на оператор Лапласа Л.
Из этого уравнения следует, что схлопывание каверны с плазмонами носит характер «взрыва», когда сколь угодно малые размеры каверяы и сколь угодно большие значения плотности энергии в ней достигаются за конечное время. Действительно, полагая, что скорость схлопывания каверны превышает скорость звука, сохраним в левой части уравнения (1.176) только первое слагаемое. Кроме того, нз условия захвата плазмонов каверной (1.232) находим, что бп,~л„— г (Р-гз Ь.
(1. 234) Таким образом, получим вместо уравнения (1.176) следующую оценочную формулу: д'бп)д!» — Бп)Е!»((1Бпп,т г'р) (1.235) Из этой формулы следует, что рост Ьп и ~!Е(' происходит быстрее, чем по экспоненте, т. е. по закону «взрыва» 1(((» — 1)", а)0, г»вЂ” время «взрыва», т. е. время достижения особенности. Из уравнения (1.235) следует, что /Е! !((го — г), (1.236) а законы изменения бп и !со временем находим из условия (1.233) постоянства числа запертых в каверне плазмонов. В случае трехмерных каверн имеем Р ~ '! Е !~~ ~ (1, — 1) ~~; 6 1Л2 1!(1 — О4/3 (1.237) Более точно динамику ленгмюровского коллапса рассчитывали численными методами (рис.
1.38) и подтвердили взрывной характер схлопывания, описываемый формулами (1.236) и (1.237), Выясним теперь, как выглядит картина ленгмюровской турбулентности при наличии коллапса каверн. Вначале энергия ленгмюровскнх волн по каналам слабой турбулентности перекачивается в длинноволновую область модуляционной неустойчивости. Из-за этой неустойчивости энергия ленгмюровских волн локализуется в болыпом числе случайно расположенных каверн, коротковолновая перекачка запертых в кавернах ленгмюровских колебаний осуществляется в процессе коллапса.
Между длинноволновыми масштабами модуляционной неустой. чивостн 1,— 2ягп(!6ппоТ((Е'))и' (см. рис. 1.36, область 1) и коротковолновыми масштабами области поглощения 1„-.2пгп (область И1) лежит инерционный интервал. Через масштабы инерционного интервала ленгмюровская энергия проносится схлопывающимися кавернами. Спектр турбулентности в инерционном интер- 123 вале, как обычно, можно найти из условия постоянства потока энергии — условия (1.219), В рассматриваемом случае это условие имеет следующий вид: ~Е 1з Ягй Ж(1с)!сй.
(1.238) Здесь Ж(1е) — время прохождения кавернами через интервал 1)е, )з+с()з1 обратных масштабов турбулентности. Закон схлопывания, т. е. зависимость 77-111 от 1, определяется формулой (1.237), откуда вместе с условием (1.238) имеем следуюшую формулу для .'=040 2 Х 4 5 1 2 5 4 5 (8)ф~) О,ОО О,ОО г 5 г 5 Рис.
1.38. Численяый эксперимент, иллюстриругощий динамику сжатия каверны при коллапсе ленгмюровских волн. (Дегтярев Л. Ме Захаров В. Е., Рудаков Л. И. «гвизнка плазмы», 1976, т. 2, с. 438). Показаны линии уровня змпш.туды электрического поля в двумерной каверне в различные моменты времеяи а Заноиы роста электрического поля в центре неверны и уменьшения ее размеров с большой точвостью оиисызвются автамодельными зависимостями для двумерного случая спектра ленгмюровской турбулентности в инерционном интервале Ж'г, 1 11ззуз.
(1.239) При больших )е схлопывание каверн останавливается за счет затухания Ландау плазменных колебаний. Для определения границ инерционного интервала сравним декремент затухания с ннкрементом, определяющим скорость схлопывания каверн. На начальной стадии схлопывания этот инкремент совпадает с инкрементом (1.231) модуляционной неустойчивости. В дальнейшем схлопывание происходит, как мы уже знаем, с нарастающей скоростью, и к концу процесса схлопывания, когда может стать существенным 124 поглощение, соответствующий инкремент возрастает в то/тз — 1 (я+/Ао)зм раз, я„и ял — волновые числа соответственно в областгв поглощения и в области источника, где образуются каверны. Таким путем из условия уь/ар (й,/Ьо) мч (т„,/т;) (Е ) /16пиоТ) и' находим, что затухание Ландау становится существенным при волновых числах А„= (1/3 —: 1/4) гр'. (1.240).
Это и есть обратные масштабы длин волн в области поглощения ленгмюровской турбулентности. $1.20. Стационарные нелинейные волны Не следует думать, что волны в плазме можно «довести» до. нелинейного уровня только из-за наличия неустойчивостей. Большой раздел в физике плазмы составляет изучение регулярных нелинейных волн, возникающих в результате каких-либо упорядоченных механизмов, аналогичных, например, механизму генерации ударных волн в обычной газодинамике движущим- г т ся поршнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
