Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Траектории резонансных частиц существенно отличались от невозмущенных, и решение задачи удалось получить только благодаря тому, что уравнения движения частиц прн достаточно медленном изменении амплитуды волны имеют точные интегралы. Уже при наличии двух-трех волн строгий анализ движения резонансных частиц становится безнадежно сложным, и аналитическое решение задачи для этого случая до сих пор не получено.
Ситуация, однако, существенно упрощается в предельном случае очень 100 большого числа волн, когда можно использовать статистический подход, считая случайными их фазы. Действительно, предположим, что в.плазме возбужден широкий пакет волн, фазовые скорости которых достаточно плотно заполняют некоторый интервал (оу/й)паах)о) (оу//с)пи, так что области захвата соседних волн перекрываются. Очевидно, что для этого должно быть выполнено условие Ь (ыР,) ~ ((,/щь) (Ег,б„) Иг) цг (1.
183) где 6(оу//с), 6а — расстояние между соседними гармониками по фазовой скорости и волновому числу соответственно; Ега — спектральная плотность энергии электрического поля плазменных шумов. Тогда энергия плазменных шумов на интервале Ье равна Е'аЬа, среднеквадратичный потенциал на этом интервале (Е'аЬ»)ы'/й и условие (1.183) действительно соответствует перекрытию потенциальных ям для соседних волн (рис. 1.26). При выполнении этого условия происходит своеобразная «коллективизация» резонансных частиц между.
двумя любыми соседними волнами. Если фазы волн случайны, то в результате толчков со стороны многих волн ско- усу В. уса рость частицы как бы участвует в броуновском движении. В фазовом про- Рис. Бгт. Броуновское цвистранстве это броуновское движение женке резонансных частиц складывается со свободным движением н прес«ран«тип скоростей частиц, так что результирующие траектории имеют вид, изображенный на рис.
1.27. С течением времени броуновские траектории частиц хаотически, но достаточно плотно заполняют нах фазовой плоскости весь участок резонансных скоростей частиц: (со//е)мах)о)(оу/й)пип. сительно полной ширины пакета волн в этом случае предполагается, что она существенно больше ширины потенциальной ямы, созданной пакетом: 6 (со//с) = (ао//с) паах (оз//с) пнп» (есро/т) Пг, (1,184) где ~ро= [~с//сЕ'а//е~]иг — среднеквадратичный потенциал в пакете волн.
Устанавливающаяся в этих условиях функция распределения, разумеется, содержит мелкомасштабные шероховатости и сохраняет (в отсутствие столкновений) энтропию, но физический смысл имеет только сглаженная функция распределения, которая соответствует росту энтропии и описывает диффузию резонансных частиц в,поле волны. В результате диффузии функция распределения будет выравниваться, т. е. стремиться к постоянному значению, на участке (оу//е) „) о) (со//е) пип, заполненном траекториями частиц (постоянство сглаженной функции распределения 101 на траекториях имело место и в случае монохроматической волны).
Процесс диффузии резонансных частиц можно описать в рамках так называемого квазилинейного приближения. При получении уравнений этого приближения предполагается, что амплитуды возбужденных в плазме волн не слишком велики, так что нелинейными взаимодействиями между колебаниями можно пренебречь, а единственный нелинейный эффект, который принимается во внимание, связан с обратным воздействием колебаний на распределение резонансных частиц по скоростям, в результате чего возбуждение н поглощение колебаний происходят на медленно меняющемся под действием самих же колебаний «фонем Мы не будем вдаваться в детали обоснования уравнений квази- линейного приближения (хотя такое обоснование уже давно проведено), а ограничимся наиболее простым выводом этих уравнений для случая взаимодействия с плазмой ленгмюровских колебаний.
Будем считать плазму однородной, а колебания одномерными. В соответствии со сделанным выше замечанием функцию распределения резонансных частиц по скоростям представим в виде /=/«(/, и)+б/(1, о, х). (1.185) Здесь /«(1, о) — медленно меняющаяся функция распределения, характеризующая фон, на котором развиваются колебания; б/(Г, о, х) — осциллирующая в пространстве и во времеви добавка к функции распределения, характеризующая эти колебания. Очевидно, что (1.188) (б/) =О, т. е.
(/)=/о (1.186) Скобки здесь означают усреднение по временнбму интервалу, большому по сравнению с периодом колебаний, и по пространственному интервалу, большому по сравнению с длиной волны. Тогда уравнение для /«получается простым усреднением исходного кинетического уравнения и имеет вид д/о/д!=(е/я) (Едб//дп). (1.187) Здесь кроме соотношений (!.!85) и (1.186) учтено отсутствие среднего электрического поля в,плазме ( Е ) =О. Слагаемое, перенесенное в правую часть уравнения (1.187), определяет изменение /« из-за наличия среднеквадратичного эффекта быстрых осцилляций (так называемый квазилннейный интеграл столкновений).
При получении его явного вида учтем, что в плазме возбужден достаточно широкий пакет волн, т. е. Е ='Я Еь (/) ехр (1(йх — аь!)); Ь/='~ЯВИ, и) ехр (! (/гх — 0Д). В этих формулах ыь — частоты линейных плазменных мод, определяемые соотношением (1.3б); Еь(!) — амплитуды этих мод, мед- 102 ленно меняющиеся со временем в результате взаимодействия с резонансными частицами. Поскольку величины Ь/ и Е по физическому смыслу должны быть вещественны, то очевидно, что в разложениях (1.188) Еь- и Е мгармоники комплексно сопряжены, т. е, выполняются условия: Е-ь=Е"'ь; / ь=/'"ь; м ь= — «1м (1.189) Используя эти условия, уравнение (1.187) перепишем в виде д/,/д/ =- (е/тл) 'Я Е«д/ь/до (1.
190) ~'=(1,'2«) ) сй=(1/«) ) юг. » »>о В этой формуле учтено, что элементарный «интервал» х, приходящийся на одно колебание, бх=/./2п (Š— линейный размер плазмы, всюду для простоты полагается 1=1). Формулы для случая ЕФ1 получаются с помощью очевидной замены )Еь!' — »Ь)Еи1». Выполняя в (1.192) интегрирование по э с помощью б-функции, можно записать это уравнение в виде квазилинейного уравнения диффузии по скорости д/о/д/=(д/до) (Е1д/о/до), (1.193) ~оз (гармоннки с Й'ча — А из этой суммы исчезают при усреднении). Выше отмечалось, что эффектом нелинейного взаимодействия гармоник в квазилинейном приближении пренебрегается. Соответственно этому для связи /в и Еь= — Й~ь используем формулу линейной теории (1.123). Единственное отличие от линейной теории состоит в том, что в этой формуле под /о понимается меняющаяся со временем фоновая функция распределения; формула (1.123) применима, если «фон» изменяется со временем достаточно медленно в масштабе периода колебаний ( (1//о)д/«/д/) «а»,.
Учитывая также, что в согласии с замечаниями, сделанными .в 8 1.12, резонансный знаменатель хо — ыь в этой формуле следует понимать в смысле (1.136), получаем окончательно следующую формулу для /ь: /ь=(е/т) Еь (д/О/до) (У/ (/го — ыь) +1пб(ло — мь) ). (1.191) Подставляя /ь в (1.190) и учитывая, что У(1/х) — нечетная, а 6(х) — четная функция аргумента, получаем следующее уравнение для /м д/,/д/= ( И/т) (д/до) Д | Е, 7'6 (йо — м) д/,/до1 (1.192) В правой части уравнения (1.192) можно перейти от суммирования к интегрированию по волновым числам с помощью соотно- шения где коэффициент диффузии определяется спектральной плотностью плазменных шумов !Ел!з в резонансной точке спектра йи=отл.
0=(ет(тв) )!Ел~!в(ли=гол) 1) о — дот1<Й). (1.194) Разумеется, это уравнение диффузии следует дополнить уравнением для амплитуд волн, т. е. фактически для изменения со временем коэффициента диффузии. В квазилинейном приближении инкремент отдельной гармоники спектра совпадает с линейным (1.148), однако опять-таки под го в этой формуле следует понимать медленно меняющийся со времечем «фон». В результате имеем Яд(ЙЕ 7'=2у.) Е.1' ул — (я)2а,) (голи' ) (д[,)да) (и= етл,'Ц. (1.
195) Уравнения (1.193) — (1.195) и есть замкнутая система уравнений квазнлинейного приближения. С помощью этих уравнений ниже рассиотрены две простые задачи — о релаксации электронного пучка в плазме и о поглощении пакета плазменных колебаний. ! ге Начнем с задачи о релаксации электронного пучка. На- 1 чальная функция распределения по скоростям для такой задачи имеет вид, показанный т на рис. 1.28. Максимум функ- а ции распределения прн о=О Рис.
1.28. Эволюция функции рвспреле- соответствует тепловым частиления электронного пучка в плазме прн цам плазмы, имеющим, напри- пучковой неустойчивости мер, максвелловское распределение, второй максимум соответствует пучку быстрых (надтепловых) частиц. Если разброс по скоростям в пучке достаточно велик Ло)) (аг!по)тгзо, то инкремент неустойчивости плазменных волн определяется из уравнения (1.148), релаксацию такого пучка можно рассматривать в рамках квазилинейных уравнений. Если же электронный пучок первоначально моноэнергетнческий [Ло«(пт)по)йети), то на начальной стадии его релаксации происходит возбуждение монохроматической волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
