Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если же частица движется в сторону ослабевающего поля, то ее траектория становится более пологой. Причину этого эффекта нетрудно обнаружить. Заряженная частица, вращающаяся по ларморовской окружности, создает кольцевой ток и, следовательно, эквивалентна элементарному диамагнетику с магнитным моментом ц=ш 1'Н, где и — кинетическая .ь ' к энергия поперечного движения. Действительно, согласно теореме АмпеРа магнитный момент кольцевого тока Р=(1/с)пгхц, величина электрического тока, соответствующая ларморовскому вращению, )=агав(2п. Теперь, подставляя записанные выше выражения для вп и гп, получаем В лют 12Н ш ~Н (2. 1) На диамагнетик, находящийся в неоднородном магнитном поле, действует сила Г= — ццтадН. В частности, если пгабН направлен вдоль силовой линии, то Е= — р Н)(1, (2.2) где дифференцировав~не проводится вдоль направления поля.
Под действием указанной силы скорость продольного движения изменяется по закону лк(о, /г(1 = — (ш /Н) '(г)Н~Ы). (2.3) Умножая обе части последнего равенства на а, получаем йо, (Ш= — (ш /Н) (г(Н(г(!) (Ж)г(1) = — (в 1Н) (г(Н)М). (2.4) При движении в постоянном магнитном поле ш +гв, =сопз1.
Поэтому (2.4) можно преобразовать к виду г(гв ) сК = (ш „~Н) (г)Н1 г(1) . (2.5) Отсюда следует, что г(а„(а =г(Н~Н; и ~Н=сопз1. (2.б) Таким образом, при движен~ии заряженной частицы в магнитном поле, напряженность которого достаточно плавно изменяется вдоль силовых линий, отношение ш„~Нне меняется, а следовательно, остается постоянным и магнитный момент„связанный с ларморовским вращением. Сохранение величины ш )Н имеет более общий,и глубокий смысл — оно представляет собой проявление принципа адиабатической инвариантности при квазипериодическом 'движении.
Связь с этим принципом разобрана в $ 2.3. 135 Рассмотрим теперь движение чау угу У стиц в неоднородном поле, .напряженность которого изменяется в направлении, перпендикулярном к силовым линиям. Остановимся сначала на про- I стейшем случае, когда скорость пер- лу пендикулярна к магнитному полю. 0 1 Траектория частицы изображена на рис. 2.П Магнитное поле направлено перпендикулярна к плоскости чертежа. Напряженность поля увеличивается в сторону возрастания координаты х.
В этом случае траектория частиРие..1. ДРе"Ф честна н ие цы в плоскости ху уже не будет предоннорониом магнитном поле ставлять собой окружность, так как величина ларморовского радиуса справа будет меньше, чем слева. Очевидно, что траектория ~не замыкается после одного полного оборота. При каждом обороте частица описывает петлю и передвигается на некоторое расстояние Лу вдоль оси у, т. е.
перпендикулярно к градиенту магнитного поля. После нескольких оборотов траектория обрисуется достаточно ясно. Она будет представлять собой дорожку, сплетенную из петель, по которой частица движется. вдоль направления, параллельного оси у. Такое движение называется м а г н и т н ы м д р е й ф о м. Скорость дрейфового движения частицы вдоль дорожки мала по сравнению са скоростью ее ларморовского вращения 1по условию предполагается, что напряженность поля слабо .изменяется на расстоянии масштаба ларморовского радиуса).
Обратим внимание на одну особенность дрейфового движения в неоднородном магнитном поле. Совершая его, частица не уходит в область более сильноцо или более слабого поля. Напротив, частица движется по узкой дорожке таким образом, что в пределах ее траектории напряженность поля сохраняет одно.и то же значе- ние. Это означает, что адиабатическая инвариантность гт' имеет место также и при магнитном дрейфе. В неоднородном магнитном поле дрейфовое движение может быть связано также с наличием у частицы продольной скорости а . Механизм возникновения такого дрейфа можно понять, рассмотрев рис.
2.2. На этом рисунке жирными линиями показаны силовые линии неоднородного магнитного поля. В общем случае они являются криволинейными. В точке Мь где скорость частицы параллельна вектору Н, сила Лоренца равна нулю. Однако при дальнейшем движении частица по инерции соскользнет с силовой линии, и это приведет к тому, что в точке Мл у частицы появится небольшая слагающая скорости, перпендикулярная к магнитному полю. С появлением поперечной скорости будет автоматически связано появление силы Лоренца. Под действием этой силы частица приобретает дрейфо- 136 х=а у; + Е (ф)/гп.
(2.8) Выберем следующие начальные условия: х (0) = 0; у (0) = 0; х (0) = 0; у (0) = иа При указанных условиях х= ну (2.9) (2.10) у= — а'ну+ Е(1)(гп. Общее решение уравнения (2.10) имеет вид у а - А з(п алг + В соз а„.( + — ~ (Е (и) (т) з1 и [ав (~ — и)1 йи, (2.11) г а гзт вую скорость, которая, направлена перпендикулярно к плоскости рисунка.
рассматривая частные случаи (например, движение частиц в магнитном поле, создаваемом прямолинейным проводником с током), нетрудно убедиться, что дрейф частицы, связанный с продольной скоростью ае, происход~ит в том же направлении, в котором совершается дрейфовое движение, обусловленное наличием у частицы поперечной скорости о„. Дрейфовое движение возникает не только при неоднородности магнитного поля, но также и тогда, когда на заряженную частицу в однородном магнитном поле действует дополнительная сила немагнитного происхождения (например, со стороны электрического или гравитационного поля), направленная пер. пендикулярно к вектору Н.
~ле, Для выяснения основных 1 закономерностей дрейфового движения рассмотрим следую- И, щую задачу. Частица с зарядом е и массой т движется в однородном магнитном поле, направленном по оси г, при Рвс. 2.2 ПРоиехождеиие иеитРобежво- го дрейфа наличии дополнительной силы Г, направленной вдоль оси у. Величину Е будем считать медленно изменяющейся функцией времени (ее можно рассматривать так же, как функцию в, поскольку слагающая скорости частицы вдоль линий магнитного поля остается постоянной и поэтому а=о (). Условие медленности изменения означает, что Г остается почти постоянной за время одного ларморовского оборота частицы, т.
е. (2п/аи) ~Р/Г~ <<1. Запишем уравнения движения частицы: где А и  — константы интегрирования. Поскольку у(0) =О, нужно положить В=О. Преобразуя интеграл, получаем у=Аз(пан(+ —, [Р(1),— Р(0) соз и†1 — — ~ Р (и) соз о (1 — и) ди. 1 аа'н и (2.12) о Дифференцируя (2.12), находим у = Аан соз ант+ (Р (О)/тан) з(п ан( + с + (1/та„) Р (и) з(п ан (Š— и) с(и. (2.13) При принятом предположении о медленном изменении Р послед- ний член выражения (2.12) пренебрежимо мал по сравнению со вторым. Действительно, 1~а -ъз — ~~ ~-з~;нп, о и, следовательно, отношение третьего члена ко второму порядка (1/аи) )Р/Е1.
Точно так же можно пренебречь последним членом в выражении для у. Принимая во внимание начальные условия, из (2.9) и (2.12) получаем следующие соотношения: х=а, ( уЖ= — "' (1 — совал() — (Р(0)/та'н) з(пан1+ о с +(1/тан) 1 ~() ~~~ з у=(о,/ан) з(пан( (Р(0)/та и) совал(+ Р(1)/т н Выражения для компонент скороспи частицы имеют вид (2.14) (2.15) х= о з)па 1 — (Р(0)/та ) сова 1+В Я/та 1 (2.10) 138 у = о с оз ан( + (Р (0) /та ) з т ан1. (2.17) Малые члены в (2.14) — (2.17) отброшены. Полученные формулы нетрудно интерпретировать. ~Мы видим, что движение частицы в однородном магнитном поле при наличии медленно меняющейся дополнительной силы Г 1. Н представляет собой суперпозицию равномерного вращательного движения с угловой скоростью вн и перемещения в направлении, параллельном (РХ Н), с дрейфовой скоростью и =РЯ/т н=срф/еН.
' (2.18) Линейная скорость вращательного движения остается в этом случае неизменной. При заданных начальных условиях пд = ")у' О,+ Р (0)~лг'е'и. Постоянство о„ связано с адиабатической инвариантностью отношения О'„/Н. Центр ларморовской окружности перемещается с дрейфовой скоростью вдоль оси х. При этом его координата медленно изменяется: (2. 22) у, Р(1) 1Гпыг (2.20) Перейдем к анализу конкретных случаев дрейфового движения. Если частица движется перпендикулярно к силовым линиям неоднородного магнитного поля, то влияние неоднородности можно.
заменить действием дополнительной силы: г = — р.ягайН=( — ш '1Н) райН. (2.21) Дрейфовое движение будет связано с компонентой Р в направлении, перпендикулярном к Н. Из (2.18) и (2.21) находим дрейфовую скорость для рассматриваемого случая: ил — — (лто' с12аН') ягай Н, где атай Н обозначает компоненту ягай Н по направлению, перпендикулярному к Н. Дрейфовая скорость направлена параллельно (НХйтай Н1 Если движение происходит в области, где го( Н =О, то формулу (2.22) Н можно привести к более про- а( 1а' стому виду. При наличии ком- 11 поненты йтайН в направлении, перпендикулярном к Н, силовые линии безвихревого маг- О нитного поля должны быть рис, кз связь исжлу кривизной сикриволинейными. Для того что- ловык линий и нсспиоролиоствГО язгбы связать величину огай Н д НИТНОГО ПОЛЯ с геометрией силовых линий, рассмотрим рис.
2.3, на котором изображены два небольших участка силовых линий в плоскости кривизны (для простоты предполагаем, что мы имеем дело с семейством плоских кривых). Точка Π— центр кривизны для силовой линии 1. Интеграл по контуру пбсй равен Нзй1в — Н1с(1ь где й11 и с(1я — длина отрезков силовых линий.
В безвихревом случае этот интеграл обращается в нуль. Следовательно, (2.23) Нвй(я=Н~й(ь но (2.24) 139 с(1,=й1, ~ ( + )~=й1, [1+(Оп1Р)' Нз —— Н1+ (г(Н( г(п) бп. (2.25) Подставляя выражения для Лз и Н, в (2.22), получаем следующее соотноп|ение, связывающее проекцию ргали Н на направление нормали к силовой линии с величиной Р: — (1(Н) (г(Н(г(п) =1 ф.
(2.26) В рассматриваемом частном случае (плоские силовые линии) очевидно, что ягад Н=ИН(г(п. Поэтому формулу (2.26) можно записать в'виде (1('Н) 8тад Н= 1Я. (2.27) Для вычисления из можно теперь использовать следующую формулу: из=о' !2а„й. (2.28) Строгий расчет показывает, что она остается справедливой в самом общем случае, если только неоднородность поля достаточно мала (в смысле, указанном ранее). Как уже говорилось выше, при движении вдоль кривой силовой линии возникает дрейф, причиной которого служит инерционный эффект. Если от криволинейного движения перейти к движению в системе координат, в которой продольная скорость равна нулю, то необходимо учесть действие центробежной силы г =то'„/)с, (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
