Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 6
Текст из файла (страница 6)
С учетом дх=оЖ (!.8) можно переписать в виде уравнения движения с некоторой эффективной силой трения: тг(и!г(1= — ти (о(1)= — тик, где введенную таким образом величину т=о/! называют ч а с тотой столкновений. Пользуясь определением (1.8а), можно представить ! с помощью интеграла по угловому распределению рассеянных частиц. Ес.чи вектор скорости поворачивается при столкновении на угол О, то проекция скорости по первоначальному направлению движения уменьшается на величину Ло=о(1 — сов О). Поскольку основную роль играют акты рассеяния на малые углы (О((!), то изменение скорости при элементарном столкновении можно представить как Лп =оО'12. Суммарное изменение скорости из-за рассеяния на нескольких центрах Лов=(о(2)ХО»ь где суммирование проводится по всем Л' рассеивающим центрам. При прохождении элементарного отрезка пути дх заряженная частица встретится с пйх (Ыз рассеивающими центрами, находящимися на всевозможных прицельных расстояниях.
Поэтому элемент плошади Нз можно выразить с помощью прицельного расстояния Ь как гл= — 2пЬЫЬ, тем более что элементарный угол рассеяния О зависит именно от Ь. Для малых у~лов рассея~пня О справедливо соотношение 8 = о /п, где и можно найти с помощью компоненты уравпещш движения, перпендикулярной к направлению начальной скорости: то =- УеЧ/(Ь*+ о'!') Здесь мы предположили, что траектория пробной частицы представляет собой почти прямую линию, а расстояние наибольшего сближения практически совпадает с прицельным параметром. Отсюда о = (22е'7' т) ~ [Ь/(Ь'+ о'!') м ] Ш = 22е'l тбо о 21 т.
е. 5 = ив'/тЬп'. Следовательно, средняя величина э~паз г/и= --г/хпо2к ~ й'ЫЬ вЂ”.— — йхпо (4кХ'е'/т'и') 1п (Ь„„а/Ь...). зппп Сравнивая (1.9) с формулой (1.8), получаем /= (1/4ип) (тоз/Лез) з11/! и (Ьтак/Ьпнп) ]. (!.9) (1.10) Величины Ь „, Ь пв оценим исходя из следующих соображений.
Электрическое поле рассеивающего центра можно считать кулоновским только на расстояниях, меньших дебаевского радиуса гп. На больших расстояниях оно убывает экспоненциально, и, следовательно, столкновения, при которых частица проходит мимо рассеивающего центра на расстояниях, превышающих гр, нужно из рассмотрения исключить. В действительности, конечно, дсбаевское облако вокруг движущегося заряда лишь в грубом приближении можно считать сферическим. Время релаксации — установления такого облака — имеет тот же порядок величины, что и время пролета зарядом оо средней тепловой скоростью расстояния, сравнимого с радиусом облака. Но строгая теория приводит лишь к небольшому количественному уточнению окончательного выражения для длины свободного пробега.
Поэтому прн вычислении 1 используем указанный метод обрезания предельного параметра Ь „. на величине го. В качестве Ь щ можно взять прицельное расстояние, отвечающее рассеянию на углы О 1, при которых нарушилось бы приближение малых углов. Полагая 0 1, находим Ьп11п Яиз/лгоз. (1.11) Поскольку стоящая под знаком логарифма в (1.10) величина, которая получена таким образом для актов взаимодействия частиц в плазме, оказывается очень большой (во всех представляющих интерес случаях от 104 до 10'), то приблизнтелыность оценки Ь „и Ь;„практически не отражается на точности вычисления 1*. Предположения, прн которых найдено выражение для длины свободного прооега 1, вьгполняются в случае, когда пробной частицей является электрон и рассматривается его взаимодействие с ионами плазмы.
Среднюю длину свободного пробега, соответствующую электрон-ионным столкновениям в плазме, обозначим 1аь Ее получают при усреднении выражения (1.10) по энергетическому спектру электронов. Если все ионы в плазме имеют единичный заряд, то, предполагая максвелловское распределение электронов по энергиям, получаем следующее выражение для средней длины свободного пробега: а Более строгое рассмотрение, учитывающее квантовые эффекты в кулоновском рассеянии, при условии яеа/ло(1 !кваэиклассическое приближение нарушено) приводит к видоизмененному выражению под знаком логарифма.
Вместо бмы поваляется длина волны де-Бройля Й/гло. Однако численно изменение значении логарифма незначительно. 22 1м=4,5 1Оз(Г,) '/пЕк, (1.12) где Т; — температура электронов, К; Ек — так называемый кулоновскнй логарифм. Он получается при подстановке в выражение )и (Кпах~~пып) значений брахе гв Ьпйп=ЧеЧ1/гпео и гпео / ВТе, 9е= = — д;= — е.
В очень широких пределах изменения п и Т, логарифм Ек изменяется от 10 до 20. Поскольку в физике плазмы часто достаточно даже довольно грубой опенки величин, характеризующих процессы столкновений между частицами, то в дальнейшем будем считать /.к=15. Кроме 1„можно ввести также некоторые другие усредненные характеристики процессов столкновения между электронами и ионами. Эффективное сечение для таких столкновений определяется соотношением 1„=1/па,ь среднее время между двумя соударениями т '=1м/ог где отр средняя тепловая скорость электронов. Частота столкновений ~е,=1/тм, Указанные величины мож но вычислить по следующим формулам: „= З РЗ '(1/(Т)'); „. = 5 10 '(Т ) "/л); 1 (1.1З) „.
= 20(л/(Т')гчз). Выражения для всех указанных параметров нетрудно обобщить на случай, когда столкновения происходят с многозарядными ионами. Эффективное сечение о„возрастет в этом случае пропорционально квадрату заряда иона, соответственно изменятся и остальные величины. Среди различных видов взаимодействия частиц в плазме столкновения между элекгронами и ионами играют наиболее важную роль, определяя, в частности, механизм таких процессов, как протекание электрического тока и диффузию. Для полной характеристики кулоновского взаимодействия частиц в плазме нужно ввести такие же параметры, характеризующие статистический эффект столкновений между идентичными частицами (электрон-электронные и ион-ионные столкновения). В этом случае расчет осложняется тем, что при анализе элементарных актов столкновения нужно учитывать движение рассеивающих центров.
Однако очевидно, что учет эффекта может отразиться только на значении численного коэффициента в формулах для средней длины свободного пробега, а температурная зависимость должна иметь одинаковый характер. В частности, выражение для 1„(средняя длина свободного пробега при электрон- электронных столкновениях) должно совпадать с выражением для 1„с точностью до численного коэффициента, не очень сильно отличающегося от единицы.
Формула для 1м (средняя длина свободного пробега при ион-ионных столкновениях) получается из формулы для 1„при замене Т, на То Значения т„и т„близки друг к другу. 23 Отношение тп(т„равно (т;Т';)т,,Т',)и'. При равных электронной и ионной температурах ион-ионные соударения происходят гораздо реже, чем электрон-электронные или электрон-ионные. Рассеивающими свойствами обладают не только хаотические микрополя отдельных заряженных частиц, но и электрическое поле плазменных колебаний. Попытаемся хотя бы грубо оценить длину свободного пробега электрона из-за взаимодействия с равновесными (Рэлея — Джинса) колебаниями плазмы.
Воспользуемся для этого формулой Ло= — в(бх/1). Пусть Лх порядка нескольких дебаевских длин, т. е. порядка самых коротких длин плазменных колебаний. Изменение продольной скорости на этом расстоянии составит Ло= — о(1 — соз 8) — — о(6»/2), где 6 — угол отклонения электрона под действием поперечной компоненты электрического поля колебаний Е .
Значение этого угла можно считать равным отношению средней поперечной скорости, приобретаемой электроном в поле Е„, к продольной скорости о. Следовательно, угол (еЕ /2т,ьзг) (1)о). Отсюда Ло ~ (1~8о) (еЕ ~т,мр)'; 1 ~ 8гоо'(т,о>„(еЕ„)'. Принимая во внимание, что Е'„=(2~3)Е' = 8«1,38 1О "Т (3г'о, получаем 1= 10'(Т ~(п).
Таким образом, при грубой оценке вклад поля колебаний с Х ) г в процессы рассеяния электронов оказывается примерно на порядок (в кулоновский логарифм раз) меньше вклада, который дают элементарные акты кулоновского столкновения частиц. Строгий расчет показывает, что и элементарные акты кулоновского рассеяния и рассеяние на колебаниях плазмы могут быть выведены как частные случаи взаимодействия частиц с флуктуациями микрополя. При этом «парные» столкновения — это результат рассеяния на флуктуациях микрополя, пространственные размеры которого меньше гп.
Флуктуации же с Х>го надо рассматривать как суперпозицию плазменных колебаний. Таким образом, длина пробега электрона из-за рассеяния на термодинамически равновесном фоне плазменных колебаний на порядок величины больше пробега по отношению к парным соударениям, Но плазма часто оказывается неустойчивой: амплитуды плазменных колебаний самопроизвольно нарастают до значений, которые во много раз превышают равновесные. В таких случаях длина свободного пробега определяется рассеянием на колебаниях. Такие плазмы обладают аномальными свойствами. С введением понятия «длинна свободного пробега» удобно еще раз вернуться к разделению плазм на идеальные и неидеальные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
