Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(Из работы; Впггеы Р. 1., 1опез Н. О., Ггапя(1п Я. Ф„Р1азта Рйуз(сз, 1О, 911 (!968).] 1,0 ~' ов У' об 04 г 4 В г 10 1г 14 15 1В гО, гг В4 йа Рис, 4.10. Сравнение расчетной дисперсионной кривой с измерениями для случая электронных плазменных волн, распространяющихся в цилиндре радиусом а. (Из работы: Ваггео Р. У., 1опез Н. О., Ргап(гйп В.
У,, Р!аыпа Рагун(сз, 10, 9!1 (1968).) 4.4. Электронные плазменные волны в 㻠— Х зес д Рис. 4.11. Фронты волн, движущихся под углом к направлению магнитного поля, вдоль поля разделены между собой расстоянием, которое больше длины волны Х. волны должны распространяться под некоторым углом к магнитному полю. Деструктивная интерференция между теми бегущими волнами, у которых радиальная компонента волнового вектора )с направлена наружу, и теми волнами, у которых она направлена внутрь, и позволяет удовлетворить граничному условию Е = О. Однако если волна распространяется под углом к магнитному полю, то расстояние между ее максимумами и минимумами, измеряемое вдоль поля, будет больше чем Л/2 (рис.
4.11). Поскольку электроны в сильном магнитном поле В могут двигаться только вдоль В, они будут взаимодействовать именно с этим, более длинно- волновым колебанием. В результате электроны будут двигаться медленнее, чем это предсказывается в теории волн в изотропной плазме, и частота раскачиваемых ими колебаний окажется меньше чем оээ. Задачи 4.5. Электронная плазменная волна распространяется в однородной плазме с параметрами КТе = 100 эВ, л = 10'з м э, В = О. Пусть частота волны равна / = 1,1 ГГп.
Какова длина волны в сантиметрах? 4.6. а) Изучите влияние столкновительного затухания на распространение плазменных волн (ленгмюровских колебаний). Для этого добавьте к правой части уравнения движения электронов член — тптт и заново вынедите дисперсионное уравнение при Т, = 0 б) Выпишите точное выражение для 1ш (ы) и покажите, что его знак указывает ва затухание волны со временем. Гл.
4. Волны в плазме 100 4.5. Звуковые волны В качестве введения в теорию ионно-звуковых волн кратко рассмотрим теорию звуковых волн в обычном воздухе. Пренебрегая вязкостью, мы можем записать следующее уравнение Навье — Стокса: р 1(дч1дг) + (ч.'ф ч) = — ур =- — урур)р. (4.32) Уравнение непрерывности имеет вид (др/д!) + 11 (рч) = О. (4.33) Линеаризуя эти уравнения вблизи положения равновесия при постоянных р, и Р„имеем — 1 озрочз = — УРо1 крн'Ро (4.34) — ! озр,+Р,! К ч„=О. (4.36) Здесь мы снова предположили, что зависимость всех величин в волне от координат и времени имеет вид ехр!! ()о г — оз!) ).
В случае плоской волны, когда (о = йх, ч = — ох, после исключения р, получаем — ! озрооз =- — (уро1ро) ! й (Ро ! йозеф! оз), оз а1== й п1 (уро!Ро) или (оз!й)= (ур,,'Р,)' =-(уКТ1М)' — = с,. (4.36) Это формула для скорости звуковых волн в нейтральном газе, которые представляют собой волны сжатия, распространяющиеся от одного слоя к другому вследствие столкновений составляющих его молекул.
Аналогичное явление имеет место и в плазме, причем даже если в ней нет нейтральных атомов, а столкновения происходят редко. Подобные колебания называются ионна-звуковыми или ионнами волнами. 4.6. Ионно-звуковые волны В бесстолкновительной плазме обычные звуковые волны распространяться не могут, однако из-за того, что ионы плазмы заряжены, они могут передавать колебания друг другу через действие электрического поля. Поскольку ионы, участвующие в таких движениях, обладают большой массой, эти колебания будут низкочастотными и для их анализа можно применить плазменное приближение, о котором шла речь в равд.
3.6. Таким образом, предположим, что и» = и, = и, и не будем пользоваться уравнением Пуассона. Урав- 1о! 4.6. Ионно-звуковые волны нение движения ионной жидкости в отсутствие магнитного поля записывается в виде Мп [(дт!Iд() +(т! тг) т!) = епŠ— Чр =- — епт Ф вЂ” у!КТвтуп. (4.37) Здесь мы предположили, что Е = — 1уТ н воспользовались уравнением состояния. Проводя линеаризацию и считая волны плоскими, имеем †!СоМпвоп = — епв)пФ! угКТ!!ппы (4.38) Что касается электронов, то мы можем положить и = 0 н воспользоваться аргументами, изложенными в равд.
3.5, где рассматривалось движение вдоль магнитного поля В, применив их на этот раз прн В = О. Для равенства сил, действующих на электроны, необходимо, чтобы п,=п=п,ехР( ' ' ) =- по~1+ ' 1 ..), поэтому возмущение плотности электронов, а следовательно, и ионов, будет равно пт = по (еТг1КТ,). (4,39) Величина и, в распределении Больцмана равна плотности равновесной плазмы, поскольку мы предположили, что в этом случае Е,=О, и потому можем считать, что равновесный потенциал 1!о = О. Заметим также, что при выводе линейного уравнения (4.39) мы пренебрегли в разложении экспоненты членами более высоких порядков. Теперь нам осталось рассмотреть лишь лннеарнзованное уравнение непрерывности для ионов.
Из соотношения (4.22) имеем 1 ОЗП! = По ! йпп (4.40) Подставляя в уравнение (4.38) ф ! и и, из выражений (4.39) и (4.40), получаем ! !»Мпооы =- (еп,1 й (КТ1епз) + у КТ!! й) (п„! йо!!1)о!), ' =- й' ((Кт,1М) + (уКТ,1М)), / КТе+ т!КТ! к! з и (4. 41) Это днсперснонное уравнение для ионна-звуковых волн; о, обозначает здесь скорость звука в плазме. Поскольку мы предположили, что рассматриваемые волны плоские, т. е.
ионные облака сжимаются только в одном направлении, то можно считать, что у! = 3. Электроны по отношению к этим волнам движутся настолько быстро, что их температура успевает повсюду выровняться, и поэтому для них у, = 1. Если электроны не являются изотермическими, то в формуле (4.4!) перед КТ, нужно поставить коэффициент у,. 102 Гл. 4. Волны в плазме Дисперсионная кривая для ионно-звуковых волн (рис. 4.12) ведет себя совсем не так, как кривая для электронных (ленгмюровских) волн (см. рис.
4.5). Плазменные колебания представляют собой волны с постоянной частотой, незначительные поправки к которой связаны с тепловыми движениями. Ионные колебания — это волны, имеющие постоянную скорость; они могут существовать талька в том случае, когда в плазме есть тепловое движение. Групповая скорость ионно-звуковых волн равна фазовой. Причины раз- Рис. 4.12. Лисперсионная кривая для ионне-авуиовых волн в пределе малого панаевского радиуса. личия между плазменными и ионно-звуковыми волнами можно понять из следующей физической картины.
В случае электронных колебаний частицы иного сорта (ионы) в них не участвуют. В ионнозвуковых колебаниях, напротив, частицы другого сорта (электроны) никак нельзя считать неподвижными; действительно, электроны всюду следуют за ионами и стремятся скомпенсировать электрические поля, создаваемые ионными сгустками. Но это экранирование не является полным; как показано в равд. 1 4, из-за теплового движения электронов за пределы экранирующего облака может просочиться потенциал порядка КТ,1е. Поэтому в ионно-звуковой волне происходит следующий процесс. Ионы перераспределяются и создают области разрежения и сжатия, как в обычной звуковой волне.
Области сжатия стремятся расширяться и занять области разрежения по двум причинам. Во-первых, ионы расплываются из-за теплового движения; этому эффекту соответствует второй член подкоренного выражения в формуле (4.41). Во-вторых, вследствие того что ионы в сгустках положительно заряжены, они стремятся рассеяться из-за возникающего н результате их взаимодействия электрического поля. Это поле, однако, почти полностью экранируется электронами, и на ионные сгустки действует только его малая часть, пропорциональная КТ,. Упомянутый эффект приводит к появлению первого члена в формуле (4.41). Ионы из-за своей инерции проскакивают положение равновесия, и в плазме возникает волна разрежений и сжатий.
Второй из рассмотренных эффектов приводит к интересному следствию: ионно-звуковые волны существуют даже в том случае, !оз 4.7. Обоснованность плазменного приближения когда величина КТ; очень мала. В нейтральном газе этого не происходит [см. формулу (4.36) ). Скорость звука в плазме при Тг = 0 дается выражением о,=(КТ,7М) и, (4.42) Такие колебания часто наблюдаются в лабораторной плазме, для которой обычно выполняется равенство Т; сз, Т,.
В этом пределе скорость звука зависит от температуры электронов (поскольку электрическое поле в волне пропорционально Т,) и от массы ионов (поскольку она является мерой инерции ионной жидкости). 4.7. Обоснованность плазменного приближения При выводе выражения для скорости ионно-звуковых волн мы пользовались условием нейтральности п! = п„но считали Е отличным от нуля. Чтобы увидеть, какая при этом вносится погрешность в решение, будем считать, что пг отличается от л, и запишем лннеаризованное уравнение Пуассона в виде еогг Ет=еойофг=-е(пп лл).
(4.43) Возмущение плотности электронов определяется из линеаризованного уравнения Больцмана: и„= по (ефг!КТ,). Подставляя это соотношение в уравнение (4.43), имеем еоф, [йо+ (лоеа7еоКТ,)) = елсо зоф! (1+ й')чз) = елг!) о (4.45) Возмущение плотности ионов можно определить нз линеаризованкого уравнения непрерывности (4.40): ли=(нгго) лооп. (4.46) Подставляя фг и пг, из соотношений (4.45) и (4.46) в уравнение движения ионов (4.38), находим ~но!л хз гсоМлоуг! — ~— +угКТ;!й [ — )поп!„ ! + ьзЛз„ оз "оо 'а ьв 2 2 — 1 2 и ! +аз!о (4.48) \, М г-ь ~РХз И Последнее соотношение аналогично выведенной ранее формуле (4.41) и отличается от нее только множителем (1+ й'Хо) ' перед Гл 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
