Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Он связан с тем, что частицы, в особенности ионы, в результате ларморовского вращения попадают в различные точки пространства и поэтому скорости различных участков плазмы стремятся выравняться. Пространственный масштаб подобной бесстолкновительной вязкости связан поэтому не с длиной свободного пробега, а с ларморовским радиусом частиц. Таким образом, в плазме к столкновительной вязкости добавляется эффект, который обусловлен конечной величиной ларморовского радиуса и тесно связан с дрейфом кл частиц в неоднородном электрическом поле Е [см. уравнение (2.58) 1. 3. 3.3. Столкновения Если в плазме кроме ионов и электронов имеются и нейтральные атомы, то заряженные частицы будут обмениваться с ними импульсами посредством столкновений, Импульс, теряемый в столкновении, пропорционален относительной скорости и — пьь где и, — скорость нейтральной компоненты жидкости.
Пусть среднее время между столкновениями т приблизительно постоянно, тогда возникающую при движении частиц силу трения можно приближенно записать в ниде — тп (и — ц„),'т. Обобщим уравнение движения ?з З.З. Гидроиииемические уравнения (3.44), включив в него анизотропное давление и столкновения с нейтральными частицами; тп (д«!д~+ («Ч) «) =- дп(Е+«х В) — у Р тп(« — «е)lт. (3.47) Столкновения между заряженными частицами сюда не включены', они будут рассматриваться отдельно в гл. 5, 3.3.4.
Сравнение с обычной гидроданамикой Обычная жидкость удовлетворяет уравнению Навье — Стокса: — + («Р) «1 =- — РР+ Г Ре . (3. 48) еи' Оно аналогично уравнению (3.47) для плазмы с той лишь разницей, что здесь отсутствуют электромагнитные силы и столкновения частиц разного сорта (имеется лишь один сорт частиц). Описывающий вязкость член рчЧе«, где т — коэффициент кннематической вязкости, соответствует столкновительной части выражения р Р— е?р в отсутствие магнитных полей. Уравнение (3.48) описывает жидкость с частыми столкновениями между частицами. Однако уравнение (3.47) было выведено без какого-либо предположения о величине частоты столкновений.
Поскольку эти два уравнения тождестненны с точностью до членов, зависящих от Е и В, то возникает вопрос: может ли уравнение (3.47) действительно описывать компоненты плазмы? Ответ с некоторой осторожностью является утвердительным. Выяснив, почему это так, мы установим пределы применимости гидродинамической теории. В действительности при выводе уравнения (3.4?) мы неявно предполагали, что и в плазме частицы одного вида сталкиваются между собой.
Это предположение было внесено в уравнение (3.39), когда мы приняли, что распределение по скоростям является максвелловским. Обычно такое распределение возникает в результате частых столкновений. Наше предположение, однако, использовалось только при вычислении среднего от о„,. Любоедругое распределение с той же средней величиной дало бы аналогичный результат. Следовательно, гидродинамическая теория в целом не очень чувствительна к отклонениям от максвелловского распределения, хотя в некоторых случаях эти отклонения существенны и тогда для описания плазмы нужно применять кинетическую теорию.
Еще одно эмпирическое подтверждение действенности гидродинамической теории сделал Ирвинг Ленгмюр. Работая с электростатическими зондами, которые сейчас носят его имя, Ленгмюр обнаружил, что функция распределения электронов оказалась гораздо ближе к максвелловской, чем этого можно было ожидать, исходя из значения частоты столкновений.
Это явление, названное парадоксом Ленгмюра, иногда приписывают влиянию высокочастотных Гл. 3. Плазма как жидкость колебаний, однако удовлетворительного объяснения парадокса до сих пор нет. Парадокс Ленгмюра — это, по-видимому, один из немногих случаев в физике плазмы, когда природа работает на нас. Гидродинамическую модель можно применять к плазме еще и потому, что при наличии магнитного поля оно в определенном смысле может играть роль столкновений. Пусть, например, частица ускоряется в электрическом поле Е. Если бы ей позволили двигаться свободно, то ее скорость непрерывно бы росла. Однако при частых столкновениях частица набирает только конечную скорость, пропорциональную Е.
В частности, электроны в медном проводе движутся вместе со скоростью ч = рЕ, где р — подвижность. Магнитное поле также ограничивает свободу передвижения частиц, заставляя их вращаться по ларморовским орбитам. Например, электроны в плазме тоже дрейфуют как целое со скоростью, пропорциональной Е: че = Е х В!Ва. В этом смысле бесстолкновительная плазма ведет себя как жидкость со столкновениями. Разумеется„частицы могут свободно двигаться вдоль силовых линий магнитного поля, и гидродинамическое рассмотрение не совсем подходит для описания движения в этом направлении, однако для движений, перпендикудярных В, гидродинамическая теория является хорошим"приближением. З.ЗХ Уривнение непрерывноспш Из закона сохранения вещества следует, что общее число частиц М в объеме к' может меняться только в том случае, когда существует поток частиц через поверхность л, охватывающую этот объем. Поскольку плотность потока частиц равна пп, из теоремы Остроградского — Гаусса имеем дн г дл = ~ — др = — ~) пи й5 = — ~ Ч (пи) й(/.
(3.49) дз з д1 Поскольку это справедливо для любого объема к', подынтегральные выражения должны быть равны друг другу; (3.50) (дп/д1)+Ч (пп) =0 Такое уравнение непрерывности справедливо для любого сорта частиц. При наличии любого источника или стока частиц их нужно добавлять в правую часть этого уравнения. 3.3.6. Уравнение соспюяния Для того чтобы замкнуть систему гидродинамических уравнений, необходимо еще одно соотношение. Для его вывода мы можем ис- 73 3.3.
Гидродииемичееиие уравнения пользовать термодинамическое уравнение состояния, связывающее рир: р=ср, (3.51) где С вЂ” постоянная, а у равна отношению удельных теплоемкостей С 7С„. При этом величина Чр определяется выражением (Чрlр) = у (Чп[п). (3.52) Если процесс сжатия изотермический, ,'то Чр = Ч (пКТ) = = КТЧп, так что, очевидно, у = 1.
При адиабатическом сжатии температура КТ меняется, и потому величина у будет больше единицы. Постоянная у связана с числом степеней свободы Л/ соотно- шением у = (2+ Л/)//Ч. (3.53) Из применимости уравнения состояния следует, что тепловыми потоками в системе можно пренебречь, т. е. что теплопроводность среды должна быть низкой. Опять-таки это положение справедливо скорее для потоков, распространяющихся поперек магнитного поля В, чем для параллельных ему. К счастью, большинство основных явлений в плазме можно описать в рамках простого приближения (3.51). Пусть для простоты плазма состоит только из двух компонент: ионов и электронов.
Обобщение на большее число компонент тривиально. Плотности зарядов и токов в плазме даются соответственно выражениями а = пд /+ лд„ / = и////и/+ пдч,. (3.54) Поскольку мы не будем больше рассматривать движение отдельных частиц, скорость жидкости можно теперь обозначить через т, а не через и. Пренебрежем столкновениями и вязкостью, тогда уравнения (3.1) — (3.4), (3.44), (3.50) и (3.51) образуют следующую систему: ееЧ Е вЂ” п/д/+ пд,; (3.55) ЧХЕ= — В; Ч В=О; (3.56) (3.57) ЗХ7.
Полная система уравнений гидродинам//ки Ре Ч Х В = лД/т/+ лД,и, + ееЕ; т/и; [(днл/д/) + (т/. Ч) т/] — с//л/(Е + и/ л' В) — Чрл (дп /д/)+Ч ° (л/т,)=-0, /=/, е; р/- С;пт/, 1==1, е. / (3.58) 1 =./, е; (3.59) (3.60) (3.61) Гл. 3. Плазма как жидкость 76 скалярных неизвестных в системе 16: по п„рь р„чь ч„Е н В. скалярных уравнений, очевидно, 18, поскольку каждое векторное уравнение эквивалентно трем скалярным, Однако в этой системе два уравнения Максвелла являются избыточными, поскольку соотношения (3.55) и (3.57) можно получить, взяв дивергенцию от уравнений (3.58) и (3.56) [см.
задачу (З.З) [. Совместное решение системы из 16 уравнений с 16 неизвестными определяет самосогласованный набор полей и движений в гидродинамическом приближении. 3.4. Дрейф жидкости перпендикулярно магнитному полю В Злемент объема жидкости состоит из множества отдельных частиц, поэтому можно ожидать, что если ведущие центры отдельных частиц дрейфуют поперек магнитного поля, то и плазма как целое будет совершать такой дрейф. Кроме того, поскольку в гидродинамических уравнениях появляется член 7р, существует и связанное с ним дрейфовое движение, в котором участвуют элементы жидкости, а не отдельные частицы.
Уравнение движения каждой компоненты имеет следующий вид: зпп[(дч(д[)+(ч Ч)ч)=-дп(Е+ч х В) Чр. (3.62) Рассмотрим отношение первого члена в левой части этого уравнения ко второму слагаемому в правой части. Оно приближенно равно тл пао ако, В Здесь мы положили д7дг = [оз и учитывали только движение со скоростью ч . Если дрейф медленный по сравнению с временным масштабом аз, ', т. е, оз (( аз„то первым членом в уравнении (3.62) можно пренебречь. Мы пренебрежем также членом (ч.р) ч, а потом покажем, что это законно.
Пусть поля Е и В однородны, а величины и и р имеют градиенты. Зто типичная ситуация в том случае, когда столб плазмы удерживается магнитным полем (рис. 3.4). Умножая уравнение (3.62) на В векторно и пренебрегая левой частью полученного равенства, имеем О=дп[Е Х В+(ч, Х В) х В) — з7Р Х В.=дп[ЕхВ+(ч,.В) — ч,В')— — т7р х В. Следовательно, ч „=(Е Х В7В') — (т7Р Х ВУг[пВа — = ча+чо, (3.63) 3.4.
Дрейф жидкости перпендикулярно магнитному полю В 77 Рис. 3.4. Диамагнитные дрейфы в плазменном цилиндре. где чв —= Е х В/Ва. (3.64) чо = — — (Чр х В)/дпВа. (3.66) тКТ их тп чп —— ~ еВ и (3. 66) В частности, для изотермической плазмы в геометрии рис. 3.4, обозначив цп = и'г, мы получим следующие формулы, хорошо зна- Скорость дрейфа ча имеет такой же вид, как и в случае Е х В- дрейфа ведущих центров. Кроме него появляется новыйтип дрейфа со скоростью чо, который называется диамагнитным дрейфом. Поскольку чр перпендикулярна направлению градиента, то при Е = О член (и р)ч обращается в нуль, и мы правомерно им пренебрегли. Если же Е = — Чф чь О, но тгф и Чр направлены в одну сторону, то ~(ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
