Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В случае частично ионизованного газа необходимо также уравнение движения жидкости, состоящей из нейтральных атомов. Нейтральная жидкость будет взаимодействовать с ионами и электронами только посредством столкновений. Ионная и электронная компоненты взаимодействуют друг с другом даже в отсутствие столкновений через генерируемые ими поля Е и В. 3.3.1. Конвективная производная Уравнение движения отдельной заряженной частицы имеет следующий вид: т (Ыс('с) = — д (Е + и х В) . (3.29) Предположим вначале, что столкновения и тепловое движение в плазме отсутствуют.
В этом случае все частицы элемента жидкости движутся вместе и средняя скорость этих частиц и совпадает со скоростью отдельной частицы ч. Уравнение движения жидкости при этом получается просто умножением уравнения (3.29) на плотность частиц и: (З.ЗО) тп (с(и)сй) .=-цп (Е + н к В), однако в такой форме им пользоваться неудобно. Дело в том, что в уравнении (3.29) производную по времени нужно брать в точке, где находится частица. А мы хотим получить уравнение для элем нтов объема жидкости, зафиксированных в пространстве, потому что делать иначе было бы неразумно.
Действительно, рассмотрим в качестве элемента объема жидкости каплю сливок в чашке кофе. З.З. Гилрояинамическне уравнения 67 При перемешивании кофе капля скручивается в нить и в конце концов распределяется по всей чашке, теряя присущие ей особенности. Однако элемент объема жидкости в фиксированной точке чашки сохраняет свою индивидуальность, несмотря на то что частицы непрерывно входят и выходят из него. Для того чтобы перейти к переменным в фиксированной системе координат, рассмотрим в одномерном случае любой параметр жид- Рнс.
ЗД. Движение элементов жидкости в электронагревателе. кости С (х, г). Изменение С со временем в системе отсчета, движущейся с жидкостью, есть сумма двух членов: дб(х, Г) дб дб дх дб дб ~И дГ дх М д! дх (3.31) Первый член в правой части этого равенства представляет собой изменение величины С в фиксированной точке пространства, а второй отвечает изменению С прн перемещении наблюдателя вместе с жидкостью в область пространства с другим значением С. В трехмерном случае соотношение (3.31) обобщается следующим образом: дб дб = — +(и Ч)С. (3.3й) Это выражение называется конвектииной ~гроизеодной и иногда обозначается РС!Р1.
Заметим, что (и.!!) — скалярный дифференциальный оператор. Поскольку знак этого члена иногда вызывает недоразумения, рассмотрим для иллюстрации три простых примера. На рис. 3.1 показан электронагреватель, в котором горячая вода поднимается вверх, а холодная опускается на дно. Пусть 68 Гл. 3. Плазма как жидкость Река Ркеан Рис. 3.2.
Направление градиента солености в устье реки, 6(х, ~) — это температура Т, тогда вектор р6 направлен вверх. Рассмотрим элемент жидкости у стенки бака. Если нагреватель включен, то элемент жидкости при движении нагревается, и поэтому ЙТ(г(г )О. Если же, кроме этого, с помощью вертушки создается дополнительный поток жидкости, то температура фиксированного элемента будет понижаться из-за выноса холодной воды со дна бака. В этом случае дТ~дх ) О и и„)0, поэтому и Ч Т ) О. Изменение температуры фиксированного элемента (дТ(д~) определяется разностью этих эффектов: — — и ЧТ.
(3.33) дг Ж Ясно, что дед~ можно сделать равной нулю, по крайней мере на короткое время. Рассмотрим второй пример. Пусть 6 — это соленость воды 5 вблизи устья реки (рис. 3.2). Если ось х направлена вверх по течению, то обычно градиент 5 такой, что д5!дх (О. Во время прилива граница между соленой и пресной водой сдвигается вверх по течению и и ) О. Таким образом, = — и„— ) О. (3.34) дГ дк Это значит, что в любой данной точке соленость увеличивается. Если же, скажем, в дождь, соленость всюду уменьшается, то для описания этого процесса в центральную часть соотношения (3.34) нужно добавить отрицательный член Ю/Ж.
Рассмотрим еще один последний пример. Пусть 6 — это плотность автомобилей у въезда на скоростную магистраль в часы пик. Приближаясь к переполненной автостраде, водитель видит, что плотность машин вокруг него увеличивается, Этому явлению соответствует конвективный член (и р) 6. В то же время местные улицы могут заполнять автомобили, подъехавшие по другим до- З.З. Гидродинамические уравнения хо Л~ хо Рис. З.З, К вычислению элементов тензора напряжений.
рогам, так что плотность будет увеличиваться даже в том случае, если наблюдатель не движется. Этот процесс описывается членом д6'дй Общее увеличение численности машин, наблюдаемое водителем, есть сумма этих двух эффектов. Возвращаясь к анализу плазмы, положим тд равной скорости жидкости ц и запишем уравнение (3.30) в виде тп) — +(ц .гу) ц~ =уп(Е+ц х В), 1 дт (3. 35) где дц'дг — производная по времени в фиксированной точке про- странства. 3.3.2. Тензор напряжений Ли, = Ло„Ц ) (о„ою о,) с(оис(о,. Каждая из этих частиц имеет импульс то„. (Считается, что плотность и и температура КТ в каждом кубическом объеме определяются их значениями в центре кубика.) При этом импульс Рдч., который вносится через торец А в элемент жидкости с центром в точке х,, равен Рд+ = ~, Лп„то',ЛуЛг =- ЛуЛг (то„'и!2),„д„ (3.36) Для учета тепловых движений в правую часть уравнения (3.35) нужно добавить силу давления.
Эта сила отсутствует в уравнении движения для отдельной частицы; она возникает из-за хаотического движения частиц внутри и вне элемента жидкости. Пусть центр элемента жидкости ЛхЛуЛг расположен в точке (х„Лу/2, Лг,'2) (рис. 3.3). Для простоты будем рассматривать движение частиц только вдоль оси х через сечения А и В. Число частиц, проходящих за секунду через торец А со скоростью о„, равно Ли,и,ЛуЛг, где Лп„— число частиц в одном м', имеющих скорость о„: Гл. 3. Плазма как жидкость 70 Рл+ — Рв+ — Лу Лг (т!2) ((по,),, д,— (по„),,1 = 1 = — — Лу Лг т ( — Лх) — (по„).
д 2 дх (3.37) Этот результат нужно удвоить, чтобы учесть вклад частиц, движущихся влево, поскольку они несут отрицательный импульс, а также движутся по отношению к градиенту по", в противоположном направлении. Таким образом, общее изменение импульса элемента жидкости, расположенного в точке х„равно — (пти,) Лх Лу Лг = — т — (по,') ЛхЛуЛг.
(3.38) д д д1 ' дх Пусть скорость частицы состоит из двух частей: о„= и„+ о„„, и„= о„, где и, — скорость жидкости, а о„, — скорость хаоти- ческого теплового движения. Тогда для одномерного максвеллов- ского распределения из уравнения (1.7) следует 1 з 1 то,„= — КТ, 2 2 и уравнение (3.38) принимает внд — '( „)= — т — 'Ь(и!+~ Ь „+о!,)1= дх := — т — [и (и„+ — )1. Взяв частные производные: дих дл тп + ти„— = — ти„ д1 д1 д (лнх) днх д — тпи„— ' — — (пКТ) дх дх дх (3.40) и воспользовавшись уравнением сохранения массы ') дн д — + — (пи„)= О, д1 дх (3.41) ') Если читатель раньше не сталкивалсн с зтим уравнением, то можно обратиться к раза. З,злн Суммирование по Лп„приводит к усредненной по функции распределения величине о'„.
Множитель 1!2 возникает из-за того, что только половина рассматриваемых частиц в кубе в точке х,— Лх движется к поверхности А. Аналогично через торец В выносится импульс Рв.ь = ЛуЛг(то, (1/2) п)„,, поэтому увеличение х-компоненты импульса за счет движущихся вправо частиц равно 71 З.З. Гинродинанияеские уравнения можно сократить два члена, которые стоят в соотношении (3.40) по обе стороны знака равенства. Наконец, введя определение давления (3.42) приходим окончательно к уравнению (3.43) В правой части этого уравнения стоит обычное выражение для силы, связанной с градиентом давления. Добавляя к ней электромагнитные силы и обобщая это соотношение на три измерения, получаем гидродинамическое уравнение тл~ — +(и Ч) п~ =с)п(Е-,'-и х В) — рр. (3.44) г дн 1 д1 Полученное нами уравнение справедливо только в частном случае, поскольку мы исходили из того, что передача х-компоненты импульса происходит из-за движения частиц в х-направлении, а затем предположили, что жидкость изотропна, и поэтому аналогичные результаты справедливы и для у- и для г-направлений.
Однако у-компоненту импульса можно передать и посредством движения жидкости, например вдоль оси х. Предположим, что на рис. З.З и„= 0 при х = — х, и больше нуля с обеих сторон х,. Тогда при движении частиц через А и В они внесут в элемент объема больше положительной компоненты импульса, чем вынесут, и э.чемент жидкости приобретает импульс в направлении у. Подобное сдвиговое напряжение нельзя представить скаляром р, оно должно описываться тензором напряжений Р, компоненты которого РΠ—— -тле;о; определяют как направление движения, так и связанные с ним компоненты передаваемого импульса. В общем случае член — рр заменяется на — Ч. Р.
Мы приведем здесь выражение для тензора напряжений только в двух простейших случаях. Если функция распределения частиц изотропная и максвелловская, то Р записывается в виде р о р о (3.45) и р Р в точности равно 1ур. В равд. 1.3 мы отмечали, что в присутствии магнитного поля В плазма может иметь две температуры 72 Гл. 3. Плазма как жидкость Т и Та. В этом случае и давлений тоже должно быть два: р, = =-пКТ и ра =пКТв. Тензор напряжений в такой ситуации записывается в виде р О О р О р, О (3.46) О О р.„ где элементы третьей строки или третьего столбца связаны с движением частиц вдоль В.
Тензор Р по-прежнему имеет диагональную структуру; кроме того, он обеспечивает изотропию давления в плоскости, перпендикулярной вектору магнитного поля В. В обычной гидродинамике недиагональные элементы тензора Р, если они существуют, связаны, как правило, с вязкостью.
Дело в том, что в жидкости после столкновения частиц их средняя скорость направлена вдоль вектора скорости жидкости и в месте их последней встречи. При следующем столкновении их импульс передается другому элементу жидкости и т. д. Такой механизм стремится выравнять и в различных точках пространства, а возникающее в результате этого сопротивление сдвиговому течению интуитивно воспринимается нами как вязкость. Чем больше средняя длина свободного пробега частиц, тем дальше передается импульс и тем больше вязкость. В плазме аналогичный эффект имеет место даже в отсутствие столкновений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
