Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(4.9) Это синусоидально модулированная волна (рис. 4.1). Огибающая волны дается выражением соз 1(ЛЬ) х — (Лш) г) и является носителем информации. Она распространяется со скоростью Лез!Л/г. Перейдя к пределу Лш — н О, определим групповую скорость следующим образом: 89 4.3. Плазменные колебания 4.3. Плазменные колебания Если электроны плазмы сместить относительно однородного ионного фона, то в системе возникнет электрическое поле. Оно будет направлено так, чтобы восстановить нейтральность плазмы, т.
е. сдвигать электроны в их первоначальное местоположение. Из-за инерции электроны проскочат свое положение равновесия и будут колебаться вокруг него с характерной частотой, которая называется плазменной частотой. Эти колебания являются настолько быстрыми, что ионы не успевают откликнуться на осциллирующее поле и их можно считать покоящимися. На рис. 4.2 светлыми прямоугольниками показаны типичные элементы ионной жидкости, а темными — смещенные относительно них участки электронной жидкости.
Возникающие сгустки заряда создают периодическое в пространстве поле Е, которое стремится вернуть электроны в нейтральные положения. Мы выведем выражение для плазменной частоты в простейшем случае, сделав следующие предположения: 1) магнитное поле отсутствует; 2) в плазме нет теплового движения (КТ .= О); 3) ионы равномерно распределены в пространстве и неподвижны; 4) плазма является бесконечно протяженной; 5) электроны движутся только вдоль оси х.
Как следствие последнего предположения, мы имеем 'р=- хд(дх, Е-- — Ех, Ч х Е.=-О, Е= — — Из!. (4.11) Таким образом, переменное магнитное поле также отсутствует и колебания являются чисто электростатическими. Уравнение движения и уравнение непрерывности для электронов имеют следующий вид: тп,((дч,)д()+(ч, ц) ч,) =- -с еп,Е, (4.!2) (дп,ад!)+ р (п,ч,) =О. (4.13) Для анализа нам потребуется единственное уравнение Максвелла, которое не содержит В, а именно уравнение Пуассона. Этот случай является исключением из сформулированного в равд. 3.6 общего правила, согласно которому нельзя искать Е, пользуясь уравнением Пуассона. Плазменные колебания являются высокочастотными, важную роль в них играет инерция электронов, поэтому в данном конкретном случае главный эффект связан именно с отклонением от нейтральности. Согласно сделанным предположениям, мы можем записать уравнение Пуассона в виде ееу.
Е = еедЕдх =- е (п~ — и,) (4. 14) Уравнения (4.!2) — (4.!4) нетрудно решить, применяя процедуру липеаризаиии. Она состоит в том, что амплитуда колебаний считается малой, и поэтому членами, содержащими высокие степени амплитуды, пренебрегают, Сначала мы разделим все перемен- Гл. 4. Волны в плазме 90 ПП ПППБ Пп ПП ПП ПП ПП ПП ПП ПП ПП ИП Пп ПП ПП Е вЂ” ъ Рис. 4.2. Механизм плазменных колебаний. ные на две части: «равновесную», обозначаемую индексом О, и «возмуп!ение», которое наметим индексом 1: и,= и,+ и,", ч,= »о+»;, Е= Е,+ Е,. (4.!5) Равновесные величины описывает состояние плазмы в отсутствие колебаний. Поскольку мы предположили, что, прежде чем электроны сместили, плазма была однородной, нейтральной и находилась в покое, то Чло .
= оо = Ео = О (дио/д/) =- (дно/д1) = (дЕо/д/) = О. (4.!6) Уравнение (4.12) в наших предположениях принимает вид и ((ди,/д1)+ (ч, Ч) ч,) = — еЕР (4.17) О Член (ч,.Ч) и, квадратичен по амплитуде и, проводя линеаризацию, мы им пренебрежем. Линейная теория справедлива только в том случае, если величина ! о, ! достаточно мала и такими квадратичными членами действительно можно пренебречь. Аналогично уравнение (4.13) можно записать в виде (дл,/д/)+Ч (ион,+л,ч,) =О, О или (длс/д1)+ лоЧ . из + чы Чпо = О. (4.18) О Заметим, что в уравнении (4.14) в положении равновесия иы — — ием а и;, = О потому, что ионы считаются неподвижными.
Следовательно, (4. 19) еоЧ Ех= — ел, 9! 4.3. Плазненные колебания Будем считать, что осциллирующие величины изменяются по гар- моническому закону: чн= о,хехр[1(йх — в()], п,=п,ехр[!(/!х — в()], Е, = Е,х ехр [! (йх — в!)]. (4.20) Таким образом, производную по времени можно заменить на — !в, а градиент ~ — на ]йх, Уравнения (4.!7) — (4.!9) принимают тогда следующий вид: — 1тво! = — еЕ„ (4.21) — ! ви! = — ир[ йп!, (4.22) ! яноЕг:= — еи,. (4.23) Исключая отсюда и, н Е„из уравнения (4.21) получаем ! йнр ( — !в) нев Если скорость о, не равна нулю, то мы должны считать, что вн= — п,ен/те,.
Таким образом, п,!азменная астота (4.25) в —.-- (п,е'/ент) рад/с. Для численных расчетов можно пользоваться приближенной фор- мулой в /2 =/р =9 т/'и (4. 26) Плазменная частота зависит только от плотности плазмы и является одним из основных ее параметров. Поскольку масса электрона т мала, плазменная частота обычно очень велика. Например, для плазмы плотностью п = 10" м ' имеем /р 9 (10м)'- '= =-9 10' с ' = 9 ГГц.
Излучение на / чаще всего попадает в СВЧ- диапазон. Можно сравнить в с другой электронной частотой, а именно с циклотронной частотой в,. Численная формула для ее расчета имеет вид вр/2и=/„ж 28 ГГц/В(Тл). (4.27) Таким образом, если п 10г' м ', то при В = 0,32 Тл электронная циклотронная частота примерно равна электронной плазменной. Из формулы (4.25) следует, что частота плазменных колебаний должна зависеть только от п. В частности, в не зависит от я, поэтому групповая скорость !(вЫя равна нулю, и возмущение плотности в плазме не распространяется. Почему это происходнту Причину можно понять с помощью аналогии с механической системой (рис. 4.3).
Представим себе тяжелые шарики, подвешенные на пру- Гл. 4. Волны н плазме Рнс, 4.3. Волна н системе независимых осцилляторов. жинках на одинаковых расстояниях друг от друга. Если пружинки одинаковы, то каждый из шариков будет совершать вертикальные колебания с одной и той же частотой.
Если шарики начинают движение при соответствующих фазах относительно друг друга, то в системе может образоваться волна, бегущая в том нли ином направлении. Частота колебаний будет определяться пружинами, однако длину волны можно выбрать произвольной. Заметим, что такая волна не оказывает никакого воздействия на покоящиеся концевые шарики; ясно, что начальное возмущение в этой системе останется локализованным и никуда распространяться не будет. Стоячие или бегущие волны, которые можно создать в такой цепочке, напоминают волны на натянутой веревке, но в отличие от первых волны на веревке могут распространяться вдоль нее и переносить энергию, потому что каждый участок веревки связан с соседними участками. Рассмотренная аналогия не является совершенно точной, поскольку в плазменных колебаниях частицы движутся вдоль волнового вектора к, а не поперек него.
Легко видеть, однако, что если электроны не сталкиваются с ионами н друг с другом, то и в случае продольных колебаний их все равно можно рассматривать как независимые осцилляторы, только двигаться они будут (рис. 4.3) в горизонтальном направлении. А как поведет себя электрическое поле? Сможет ли оно выйти из области начального возмущения н вызвать колебания близлежащих слоев плазмы? В нашем примере — нет, потому что электрическое поле, создаваемое равным Рнс. 4.4.
В ограниченной среде плазменные колебания распрострааяются благодаря полям, нозиикаюгцим на границах системы. 93 4.4. Электронные плазменные волны числом положительно и отрицательно заряженных бесконечных плоских слоев, равно нулю; однако в любой конечной системе плазменные колебания будут распространяться. На рис. 4.4 показана цилиндрическая труба, в которую заключены области с положительными и отрицательными зарядами, создаваемые плазменным колебанием. Возникающее на торцах цилиндра электрическое поле приводит к тому, что появляется связь между отдельными слоями, и колебание больше не остается локализованным.
Задачи 4лк Вычислите плазменную частоту с учетом движения ионов и подтвердите таким образом наше предположение о том, что ионы остаются в покое. (Указание; включите в уравнение Пуассона член, пропорциональный пьь и воспользуйтесь уравнениями движения н непрерывности для ионов.) 4.3. Для случая простого плазменного колебания, в котором ионы неподвижны, а зависимость от координат и времени имеет вид ехр () (йх — ы)) ), вычислите фазы величин но Е, и о,, считая, по фаза плотности л, равна иу,тю. Проиллюстрируйте фазовые сдвиги, нарисовав синусоидальные волны, изображающие лм ом Е, и о, как функции координаты х и как функции времени ( при ы!й ) О и при й,'й (О. Заметим, что временные зависимости можно получить, перемещая изображения пространственных распределений в соответствующем направлении, как если бы волны проходили мимо покоящегося наблюдателя. 4.4.
Запишите линеаризованное уравнение Пуассона, использованное при анализе простейших плазменных колебаний, в виде Р.(вЕ) = О и получите выражение для диэлектрической проницаемости е, справедливое для продольных высокочастотных дви'кений. 4.4. Электронные плазменные Волны Кроме конечных размеров системы существует и другой эффект, который может вызвать распространение плазменных колебаний. Это тепловое движение, Тепловые электроны, проникающие в слои плазмы, прилегающие к области, в которой имеют место колебания, переносят информацию о том, что происходит в этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
