Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 16
Текст из файла (страница 16)
б) Поиажите, что плазма вращается как твердое тело. в) В системе отсчета, вращающейся со скоростью чн, некие плазменные волны (так называемые дрейфовые волны) распространяются с фазовой скоростью ча — — 0,5 то,. Какова величина ча в лабораторной системе? Нарисуйте на плоскости »0 стрелки, показывающие относительные величины и направления чн, то, и та в лабораторной системе.
3.3. а) Для плазмы, рассмотренной в задаче 3.7, найдите плотность диамаг. нитного тока как функцию радиуса. б) Вычислите )о в единицах А?м', если В = 0,4 Тл, нз =10'е м з, КТ,=- = КТ?=0,25эВ,г=ге= ) см. в) Какие частицы переносят этот ток в лабораторной системе: ионы, электроны, яли н те н другие? 3.9. На канув величину поле В на оси цилиндра уменьшает диамагнитный ток, рассмотренный в предыдущей задаче? Указание; можно воспользоваться законом Ампера, выбрав соответствующим образом контур. 3.5.
Движение жидкости параллельно магнитному полю Вернемся к уравнению движения плазмы в гидродинамическом приближении; г-компонента этого уравнения имеет вид тп [до,7д(+ (тг т!) о,) = — др)дг+ дпЕ,. (3.70) Конвективным членом часто можно пренебречь, поскольку он много меньше члена до,?д!. Мы не будем приводить здесь сложных доводов, а просто рассмотрим случай, когда о, пространственно однородна. Пользуясь уравнением (3.52), получаем до,!д(== (д)т) Е; — (?КТ)тп) (дп7дг). (3.71) Отсюда видно, что вдоль направления В плазма ускоряется под действием суммы электростатической силы и силы, связанной с градиентом давления.
Особенно важный результат получается, если применить уравнение (3.71) к безмассовым электронам. Переходя к пределу т — О и полагая д = — — е, имеем ') г)Е, = е (дт7дг) = (ТКТ,7п) (дп7дг). (3. 72) ») Почему нельзя считать, что а» -»- оо, а величина гло» сохраняется постоянной? Посмотрите, как изменяется энергия частицы! 3.5.
Движение жидкости параллельно магнитному полю 83 В Рнс. 3.9. Физическое обоснование соогношения Больцмана, связывающего плотность и потенциал. Электроны настолько подвижны, что их теплопроводность почти бесконечна, поэтому их можно считать изотермическими и положить у = 1. Интегрирование уравнения (3.72) дает еф = КТ,1п и+ С или (3. 73) и =- и, ехр (ефуКТ,). Это и есть распределение Боль»1мана для электронов. Каков его физический смысл? Электроны легкие, поэтому они очень подвижны.
Если бы на них действовала сила, то электроны быстро бы ускорились до высоких энергий. Однако электроны в массе своей не могут покинуть какую-либо область, оставив позади большой ионный заряд. Следовательно, полная сила, действующая на электроны, должна быть близка к нулю, т. е. электростатичесские силы и силы, связанные с градиентом давления, должны с хорошей точностью уравновешивать друг друга.
Это условие и приводит к соотношению Больцмана. Заметим, что выражение (3.73) применимо к каждой силовой линии в отдельности. Если нет механизма, заставляющего электроны двигаться поперек В, то различные силовые линии могут быть произвольным образом «заряжены» до разных потенциалов. Подобное действие могут оказывать проводники, на которых оканчиваются силовые линии, поэтому экспериментатору нужно очень тщательно учитывать эти краевые эффекты. На рис. 3.9 схематически показано, что происходит, когда в плазме образуется локальный сгусток плотности. Пусть градиент 84 Гл.
3. Плазма как жалкость плотности направлен к середине рисунка, а величина КТ постоянна, тогда градиент давления тоже будет направлен к середине рисунка. Поскольку плазма квазинейтральна, то градиент имеется и в ионной, и в электронной жидкостях. Рассмотрим силу Гр, связанную с градиентом давления в электронной жидкости. Она выталкивает подвижные электроны из центра, оставляя там ионы. Возникающий в результате этого положительный заряд создает электрическое поле Е, со стороны которого на электроны действует сила Гв, противодействующая Г .
Стационарное состояние достигается, только когда Гв равна йо величине и противоположна по направлению Г . Если В постоянно, то мы имеем электростатическое поле Е == — Чф и потенциал ф должен быть больше в середине системы, там, где выше концентрация и. Именно об этом и свидетельствует выражение (3.73). В плазме устанавливается такое отклонение от точной нейтральности, что избыточный заряд достаточен для возникновения поля Е, необходимого для уравновешивания действующих на электроны сил. 3.6. Плазменное приближение Рассмотренный в предыдущем разделе пример выявляет одну важную особенность плазмы, которая имеет широкое применение.
Поле Е находят обычно из уравнения Пуассона в случае, когда задана плотность заряда о. В плазменных же задачах используется, как правило, обратная процедура: поле Е определяют из уравнения движения, а уравнение Пуассона решают лишь для того, чтобы найти о. Обьясняется это тем, что плазма любым способом стремится оставаться нейтральной: если ионы движутся, то электроны будут следовать за ними, а электрическое поле Е подстроится таким образом, чтобы при движении электронов и ионов сохранялась нейтральность плазмы.
Какова при этом плотность заряда, не столь важно: она сама станет такой, чтобы удовлетворялось уравнение Пуассона. Разумеется, все это справедливо лишь для низкочастотных движений, когда инерция электронов не играет существенной роли. Можно считать, что в плазме, как правило, и; — — и, и в то же время г7 Е ~0. Данное условие будем называть плазменным приближением — это фундаментальное свойство плазмы, которое начинающим трудно понять.
Пользуйтесь уравнением Пуассона для вычисления Е лишь в случае крайней необходимости) В плазменном приближении из системы гидродинамических уравнений (3.55)— (3.6!) можно исключить уравнение Пуассона, а также одно из неизвестных, полагая и; = и, = и. Плазменное приближение похоже на обсуждавшееся выше условие квазинейтральности, но имеет более точный смысл. В то время как термин «квазинейтральностьа относится к общей тенденции 3.5, Движение жидкости параллельно магнитному полю плазмы быть нейтральной в состоянии покоя, плазменное приближение — это математическое упрощение, которое можно использовать и при анализе волновых движений.
Если эти движения настолько медленные, что и ионы, н электроны успевают на них откликаться, то с хорошей степенью точности уравнение Пуассона можно заменить на равенство и; = и,. Конечно, плазменное приближение неприменимо в тех случаях, когда могут двигаться частицы только одного сорта, а другие не имеют возможности следовать за ними, например в случае высокочастотных электронных волн. При этом электрическое поле Е нужно находить не из уравнений движения ионов и электронов, а из уравнений Максвелла. Мы вернемся к вопросу о применимости плазменного приближения, когда будем изучать теорию ионно-звуковых волн. К тому времени станет ясно, почему прн анализе дебаевского экраннрования мы должны были пользоваться уравнением Пуассона.
Глава 4 ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 4.1. Представление волн Любое периодическое движение с помощью фурье-разложения можно представить в виде суперпознции гармонических колебаний с различными частотами ы и длинами волн к. Простейшая волна представляет собой одну из этих компонент. Волна обычно имеет синусоидальную форму, когда амплитуда колебаний мала.
Этот случай мы и будем рассматривать. Любую величину, меняющуюся по синусоидальному закону, например плотность и, можно записать в виде и = и ехр [1 (й г — ьз1)1, (4.!) где в декартовых координатах [с ° г = пух+ дур+ иуа. (4.2) Здесь и — постоянная, определяющая амплитуду волны, а й— волновой вектор. Если волна распространяется вдоль оси х, то й имеет только х-компоненту и соотношение (4.1) принимает вид п = и ехр И (их †ь)). Записывая величины в экспоненциальном виде, мы подразумеваем, что физический смысл имеет только вещественная часть этого выражения. Пусть и вещественна; вскоре мы увидим, что это соответствует определенному выбору источника колебаний. В этом случае вещественная часть величины и равна Ке(п) = и сов(йх — ьз1).
(4.3) Точка постоянной фазы движется в волне таким образом, что (бИ() (йх — со1) = 0 или (4.4) Величина оь называется фазовой скоростью. Если отношение ьз!/г положительно, то волна движется вправо, т. е. с увеличением 4.!. Представление волн значение х возрастает таким образом, что величина йх — ш1 сохраняется. Если величина ш)й отрицательна, то волна движется влево. Ясно, что функцию и можно также записать в виде и = иехр (! (йх+ ш!)], и тогда положительным значением ш/й будут отвечать волны, движущиеся влево. Иногда используют и такую запись, но мы этого делать не будем.
Заметим также, что одновременная смена знаков как у ш, так и у Й приводит к тем же физическим значениям плотности (см. (4.3)]. Рассмотрим теперь другую связанную с волной осцнллирующую величину, скажем электрическое поле Е. Поскольку мы уже предположили, что фаза величины п равна нулю, необходимо приписать Е некоторую отличную от нуля фазу 6: Е= Е сов(йх — ш1+ 6), Е =- Ее! ' " '+ '. (4.5) где Š— постоянный вещественный вектор. Обычно информацию о фазе включают в Е, считая величину Е комплексной: Е=-Ее е се ! (ы — а!) ! (ы — и!) — = Е,е где Е, — комплексная амплитуда. Зная последнюю, можно найти фазу 6, поскольку Рте (Е,) = Е соз 6, а 1гп (Е,) = Е з!и 6; следовательно, 1и 6 = 1гп (Е,))Яе (Е,). (4.6) С этого момента мы будем предполагать, что амплитуды всех величин являются комплексными и в дальнейшем будем опускать нижний индекс с.
Любую осциллирующую величину можно записать в виде дх = д, ехр 1! (14 г — о!1)], (4.7) поэтому в последующих формулах и, может обозначать либо комплексную амплитуду, либо выражение (4.7) в целом. Путаницы это не создаст, поскольку в линейной теории волн в обеих частях всех уравнений возникает один и тот же экспоненциальный множитель и его можно сократить. Задача 4.!. В так называемой дрейфовой волне амплитуды колебаний плотности и, и потенциала Фт связавы соотношением л, ео, ы -!-)а ло КТе ы -';1а Остальные входящие в вту формулу величины (кроме !) положительны. Гл. 4.
Волны в плазме а) Получите выражение длн сдвига фаз 6 между ф, и и, (считайте длн про- стоты, что величина л, вещественна). б) Пусть юк.ю,. Опережает ли потенциал ф, величину л, по фазе или за. паздывает по отношению к ней) 4.2. Групповая скорость Фазовая скорость волны в плазме нередко превышает скорость света с.
Это, однако, не нарушает теорию относительности, поскольку бесконечно длинный волновой пакет постоянной амплитуды не может переносить информацию. (Например, если несущая радиоволна не модулирована, то с ее помощью нельзя передать никакую информацию.) Информация же, содержащаяся в модуляции, перемещается не с фазовой, а с групповой скоростью, которая всегда меньше с, Для иллюстрации сказанного рассмотрим модулированную волну, образованную сложением («биением») двух волн с почти равными частотами. Пусть зти волны записываются в виде ~ п,р — — г(ш/сУг.
(4. 10) Эта величина не может превышать скорости света с. Рнс. 4.). Пространственное распределение электрического полн суммы двух волн с близкими частотами. Е, = Е, сов (()г + Л)г) х — (оз + Лю) 1), Е, — Еа соз ((Ь вЂ” ЛЬ) х — (и — Лсв) 11. Частоты волн Е, и Е, отличаются на величину 2Лю. Поскольку каждая из волн должна иметь в среде определенную фазовую скорость озЯ, в волновых числах возникнет разность 2ЛА. Используя обозначения а = ггх — озг', Ь =- (Л/г) х — (Лш) г, получаем Е, + Е, =- Еасоз(а+Ь)+Еасоз(а — Ь) -Ер(сова созЬ вЂ” ьфпаейпЬ+ + соз а сов Ь -1- з1 п а ей и Ь): = 2Е, соз а соз Ь; Е, + Е, —.— 2Е, соз 1(Л)г) х — (Лоз) 11 соз (Ьх — - ю().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
