Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 12
Текст из файла (страница 12)
И все это нужно сделать в нестационарном случае! Мы видели, что типичная плотность плазмы составляет 10" электрон-ионных пар в 1 см'. Если бы нужно было следить за каждой из этих частиц, движущихся по сложным орбитам, то прогноз поведения плазмы стал бы безнадежной задачей. К счастью, в этом, как правило, нет необходимости, поскольку (что поразительно) большинство плазменных явлений, наблюдаемых в реальных экспериментах (возможно, 80 %), можно объяснить с помощью довольно простой модели, подобной той, что используется в гидродинамике; в ней пренебрегают отличиями отдельных частиц и рассматривают только движения элементов объема жидкости. Разумеется, при анализе плазмы считается, что жидкость содержит электрические заряды.
В обычной жидкости частицы в элементе объема движутся вместе потому, что они часто сталкиваются между собой. Удивительно, что такая модель работает в плазме, где столкновения случаются редко. Однако мы увидим, что на это есть своя причина. В большей части настоящей книги мы будем рассматривать те вопросы, которые можно изучить с помощью гидродинамической теории плазмы. Более тонкий подход — кинетическая теория плазмы — требует больше математических выкладок, чем это допустимо во вводном курсе. Введение в кинетическую теорию излагается в гл. 7.
В некоторых плазменных задачах для описания поведения плазмы недостаточно ни гидродинамической, ни кинетической тео- Гл. 3. Плазма как жидкость 3.2. Связь между физикой плазмы и обычной электродинамикой 3.2.1. Уравнения Максвелла Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид е«7 Е= о, (3.1) рхЕ= — В, 1» В=О, (3.9) (3.3) т7х В= 9 (1+е Е). В среде они записываются следующим образом: (3.4) (3.5) Чх Е= — В, (3.6) (3.7) и  — О, 17х Н =1+В, (3.8) 0= аЕ, (3.9) В= рн.
(3.1О) В уравнениях (3.5) и (3.8) а и 1 — это плотности «свободных» зарядов и токов соответственно. Плотности «связанных» зарядов и токов, возникающих из-за поляризации и намагничивания среды, включены в определения 1» и Н через и и р. В плазме эквивалентами «связанных» зарядов и токов являются составляющие ее ионы и электроны. Поскольку эти заряженные частицы движутся сложным образом, то объединять обусловленные ими эффекты в две константы а и и непрактично. Поэтому в физике плазмы обычно рассматривают уравнения Максвелла для вакуума (3.1) — (3.4), а под о и 1 понимают все заряды н токи,— как внутренние, так и внешние. рин.
Тогда нужно возвращаться к утомительному, процессу отслеживания отдельных траекторий. Это по силам современным компьютерам, однако их памяти хватает только на то, чтобы хранить положения и скорости около 10' частиц, и, за исключением отдельных случаев, они могут решать только одно- или двумерные задачи. Тем не менее численное моделирование стало в последнее время играть важную роль, заполняя пробел между теорией и экспериментом в тех случаях, когда даже кинетическая теория не позволяет приблизиться к объяснению наблюдаемых в плазме явлений.
бз 32. Связь между физикой плазмы и обычной злектродииамикой Заметим, что в уравнениях для вакуума мы использовали величины Е и В, а не их аналоги Р и Н, связанные с Е и В через з и р. Это объясняется тем, что силы дЕ и 1х В зависят от Е и В, а не от Р и Н, и при работе с уравнениями для вакуума вводить последние величины нет необходимости. 8.2.2. Классическая теория магнитных материалов В уравнение (3.4), определяющее магнитное поле в вакууме, мы должны включить как этот ток, так и «свободный» ток от внешних источников (б Ра Ч э«В = !«+ !»+е»Е.
(3. 13) Запишем уравнение (3.13) в простом виде Ч х Н=!т+зоЕ, (3.14) включив !» в определение Н. Это можно сделать, если положить Н = р,—,' — М. (3. 15) Чтобы получить простое соотношение, связывающее В и Н, предположим, что М пропорционально В или Н; М вЂ” КмН. (3.!6) Постоянная К называется магнитной восприимчивостью. Следовательно, в = р, (! + к.) н = р„н.
(3. П) Простая связь между В и Н оказалась возможной лишь потому, что уравнение (3.16) линейное. Любая вращающаяся заряженная частица плазмы обладает магнитным моментом, поэтому казалось бы логично рассматривать плазму как магнитный материал с проницаемостью р . (Индекс т у проницаемости мы поставили для того, чтобы отличить ее от адиабатического инварианта 1«.) Чтобы понять, почему на практике так не делают, вспомним, как обычно исследуют магнитные материалы. ферромагнитные домены с магнитными моментами )«« создают, скажем, в куске железа намагниченность М= ' ~р« (3.11) в единице обьема. Эта намагниченность эквивалентна возникновению в веществе связанного тока с плотностью )ь!=ЧЕМ.
(3. 12) б4 Гл. 3. Плазма как жидкость В плазме, помещенной в магнитное поле, любая частица имеет магнитный момент р„, а величина М есть сумма всех 1а„в единице объема. Но теперь 1 1 ра = Ф М вЂ” —. В В В Связь между М и Н (или В) уже не является линейной; мы не можем записать, что В = Р„,Н с постоянным р„„и поэтому рассматривать плазму как магнитную среду бессмысленно. 3.2.3. Классическая теория диэлектриков Как известно, поляризация единицы объема вещества Р равна сумме всех отдельных моментов электрических диполей ро Поляризация диэлектрика приводит к возникновению в нем связанного заряда с плотностью со= — Ч Р (3.18) В уравнение (3.1), описывающее электрическое поле в вакууме, нужно включить как связанные, так и свободные заряды: ео'Р ° Е = О1 + оо.
(3.19) Запишем это уравнение в простом виде; у ГО=оп (3.20) включив аь в определение О. Это можно сделать, положив Р =- воЕ + Р = е Е (3.21) Если поляризация Р пропорциональна Е, т. е. Р=еоХ,Е, (3.22) то е является постоянной и определяется выражением е=(1+Х,) ео. (3.23) Заранее нельзя объяснить, почему соотношение типа (3.22) будет в плазме несправедливо, поэтому можно попытаться получить выражение для е в такой среде. 3.2.4. Диэлектрическая пронит4аелсость плазлсы Как было показано в равд.
2.5, флуктуирующее поле Е создает в плазме поляризационный ток 1 . Это в свою очередь приводит к возникновению поляризационного заряда, который определяется из уравнения непрерывности д +У.1 -=О. (3.24) Уравнение (3.24) эквивалентно уравнению (3.18) с той лишь разни- 3.2. Связь между физикой плазмы и обычной электрпдинамикой цей, что (как отмечалось ранее) поляризация в плазме возникает только под действием нестационарного электрического поля. По- скольку мы имеем точное выражение для )р, а не для о„удобнее работать с четвертым уравнением Максвелла (3.4): 17 Х В =- ро (11+ )п+ воЕ) (3.25) Перепишем это уравнение в виде 1! Х В = Ро()(+ЕЕ), (3.26) где мы положили а во+ ()р1 Е) (3.27) Из уравнения (2.67), определяющего )р, имеем е == ео+ (р(Вв), вя —= (е)ео) = 1+ (рорсЧВе).
(3.28) Это есть диэлектрическая проницаемость плазмы дзя поперечных движений в нпзкочастотнам пределе. Такое уточнение необходимо потому, что использованное нами выражение для 1 справедливо, только если ю (С а„а электрическое поле Е перпендикулярно В. 2 2 Общее выражение для в, естественно, очень сложное; оно вряд ли поместится на одной странице. Заметим, что при р-+- 0 относительная диэлектрическая проницаемость вя стремится к своему значению в вакууме, т. е. к единице, как и должно быть.
Если В -ь сс, то величина ая также стремится к единице. Это связано с тем, что поляризационный дрейф ув здесь отсутствует и частицы не откликаются на поперечное электрйческое поле. В случае обычной лабораторной плазмы второй член в правой части выражения (3.28) много больше единицы. Например, если и =- 10" м-', В =- 0,1 Тл, то для водородной плазмы (4п 10 — ') (1О'о! (1,67. 1Π— ") (9.! О") .
— 189. р„рс' (О, 1)о Это значит, что электрические поля, обусловленные наличием в плазме заряженных частиц, намного превышают поля, приложенные извне. Плазма с большим а экранирует переменные электрические поля аналогично тому, как плазма с малым дебаевским радиусом )ьр экранирует постоянные поля. Задачи 3.1. Вычислите диэлектрическую проницаемость плазмы в низкочастотном приближении (3.28), рассмотрев совместно производную пе времени ат урав-, нения у 0 = у (вЕ) = О и уравнение Пуассона в вакууме (3.1). Используйте также уравнения (3.24) и (2.67). 66 Гл. 3. Плазма как жидкость алп ПУсть ссс, 'обозначает циклотРоннУю частотУ ионов, а ионнаа плазменнаЯ частота определяется как ьср —— (лез!еаМ) где М вЂ” масса иона.
При ка~~г ких обстоятельствах диэлектрическая проницаемость ея приближенно равна сзг1сггг р с' 3.3. Гндродннамнческне уравнения Уравнения Максвелла позволяют найти поля Е и В для данного состояния плазмы. Чтобы решить самосогласованную задачу, нам нужно иметь уравнение, описывающее отклик плазмы на данные поля Е и В.
В гидродинамическом приближении считается, что плазма состоит из двух или более взаимопроникающих жидкостей, каждая из которых соответствует определенному сорту частиц. В простейшем случае, когда имеется только один вид ионов, нам нужно получить два уравнения движения — одно для положительно заряженной ионной жидкости, а другое для отрицательно заряженной электронной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
