Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Движение отдельных частиц 40 Рис. 2.7. Дрейф частицы а магнитном зеркале. дятся и расходятся, должна существовать компонента В, (рис. 2.7). Покажем, что прн такой конфигурации системы возникает сила, которая может запереть частицу в магнитном поле. Найдем компоненту В„из условия р В == О: — -- — (гВ,) + — — ' =- О. 1 д два т дт дг (2.31) Если дВ, дг задана при г =- О и не очень сильно меняется с г, то мы можехи приближенно считать, что т с В,== — — г~ — '] (2. 32) Изменение величины ! В| с г вызывает градиентный дрейф ведущих центров вдоль оси симметрии, однако радиальный градиентный дрейф отсутствует, поскольку ВВсВО = О.
Выпишем компоненты силы Лоренца: Е, = Ч (оаВ,— о,Ва), Ра =-.Ч( — о,в,+сев,), В,=Ч(о Ва "аВ.) (2.33) Проанализируем эти выражения. Если В„== О, то в первом выражении обращается в нуль второй член, а в третьем — первый. Первые члены в первом и втором выражениях описывают обычное ларморовское вращение.
Второй член во втором выражении обращается в нуль на оси г; в тех точках, где он не обращается в нуль, он представляет собои азимутальную составляющую силы Лоренца, вызывающую дрейф ведущих центров в радиальном направлении. Этот дрейф приводит к тому, что ведущие центры движутся вдоль искривленных силовых линий. Рассмотрим, наконец, последний член 2 3 Неоднородное ноле и в третьем выражении (2.33). С учетом соотношений (2.32) Е, можно записать как Гг = ( М2) г)рог (дВ,сдг) . (2.34) Усредним теперь это выражение по периоду вращения. Для простоты рассмотрим частицу, ведущий центр которой лежит на оси системы. В этом случае ае при вращении остается постоянной; в зависимости от знака заряда мы имеем ое —— — -~- аг. Поскольку г = гь, средняя сила, действующая на частицу, равна дВ, , ее дВ, , тог дВ, г,= — ~ — данг„-- Т- д 2 дг 2 сес дг 2 В дг (2.35) Определим магнитный момент вращающейся частицы как ~ р= — =-та, ~2В.
~ (2.36) Следовательно, в этом конкретном случае на частицу диамагнетика действует сила Р, = — р (дВ,!дг). В общем случае ее можно записать в следующем виде: Г~~ = — рдВ/дз= — )А~~В. (2.37) (2.38) ло, есе, 1 о е 1 тее Р= сег 2л 2 е 2 В с с При движении частицы в неоднородном поле В ларморовский радиус ее орбиты изменяется, но р остается инеарииитныгг. Чтобы доказать это, рассмотрим проекцию уравнения движения на направление В; т ' — =- — р —.
ис дг Умножая это уравнение слева на ог, а справа на равную ей ве- личину г(ась, получаем та, ' — то „) — )г и . (2. 40) / ! г ~ дВ дг дВ Ш Ш ~ 2 ) дг дг дг Здесь г(з — элемент дуги вдоль направления В. Заметим, что определение (2.36) совпадает с обычным определением магнитного момента петли с током 1 площадью А; р = 1А. В случае однократно заряженного иона ток 1 возбуждается зарядом е, совершающим со,!2п оборотов в секунду: 1 =- еогес2л. Площадь А равна пг'„= =- ло,йо,.
Таким образом, 42 Гл. 2. Движение отдельных частии Здесь г(Вгс(г' — это изменение величины В, которое «видит» частица; само поле В постоянно. Поскольку энергия частипы должна сохраняться, мы имеем — ~ — то1 + — то, ) = — ~ — то г + )гВ) =. О. (2 4 1) Ж 2 2 ) ги 'Х 2 С учетом соотношения (2.40) условие (2.41) принимает вид ап а -р — + (рв) = о, Ж аг откуда следует, что (рй(1 = О. (2.42) На инварнантностн магнитного момента р основана одна из первых схем удержания плазмы — магнитное зеркало (магнитная пробка). Идея метода состоит в следующем.
Пусть вследствие теплового движения частица перемещается из области слабого поля В в область, где оно сильнее. Частица «видит», что В увеличивается; следовательно, для того чтобы сохранялся р, поперечная скорость о, тоже должна увеличиваться. Поскольку полная энергия частицы должна сохраняться постоянной, па при этом должна уменьшаться. Если поле В в «горловине» достаточно велико, то о» в конце концов обратится в нуль и частица «отразится» назад в область более слабого поля.
К такому отражению приводит, несомненно, сущее.гвование силы г" ~,. Ясно, что неоднородное магнитное поле, создаваемое парой катушек, образует два магнитных зеркала, между которыми можно запереть плазму (рис. 2.8). Заметим, что этот механизм работает как для ионов, так и для электронов. К сожалению, такая ловушка несовершенна. В частности, частица с о, = О, не имеющая магнитного момента, вообще не почувствует никакой силы, действующей вдоль В. Кроме того, если максимальное значение В поля недостаточно велико, из ловушки убегут также и те частицы, у которых в центральной плоскости (В = В,) мало отношение о,г'оа.
Какие частицы будут покидать ловушку при данных В, и В ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим частицу, которая в центральной плоскости ловушки имеет о, = о, и о« = паа, в точке поворота она будет иметь некото- В»т Рис. 2.8. Плазма, захвачевная между магнитными »«риалами 2 3, Неон«оролное поле В 43 рую о, = о' и о1 = О. Если поле в точке поворота равно В', то из инвариаитности магнитного момента (с следует, что 1 с ! '2 — тосе!Ве — — — ио /В .
2 2 Рнс. 2.9. Конус потерь. Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось равенство оз. е о о+осе=- оо. (2.44) Из соотношений (2.43) и (2.44) находим — =:51П О, (2.45) Д о где Π— питч-угол орбиты в области слабого поля. Частицы с меньшими 0 будут отражаться от областей с ббльшими В. Если О слишком мал, то В' превышает В н частица вообще не отразится. Заменяя в уравнении (2.45) В' на В, мы увидим, что наименьший угол 0 у захваченной частицы определяется равенством з1п Ое — Ве~Вт = )У)си (2.46) Величина Я называется пробочным (зеркальнын) отношением.
Условие (2.46) определяет в пространстве скоростей границу области в виде конуса, называемого конусолс поглерь (рис. 2.9). Частицы, скорости которых лежат внутри конуса, не удерживаются магнитными пробками, поэтому плазма в такой ловушке никогда не будет изотропной. Заметим, что форма конуса потерь не зависит от д и т и при отсутствии столкновений ловушка будет удерживать как ионы, так и электроны Прн наличии в системе столкновений частицы могут уходить из ловушки. Это происходит в том случае, когда при столкновениях питч-углы частиц меняются таким обра 44 Гл.
2. Движение отдельных частиц зом, что они рассеиваются в конус потерь. Обычно электроны уходят из ловушки быстрее, чем ионы, поскольку частота столкновений у них выше. Магнитное зеркало впервые было предложено Энрико Ферми для объяснения механизма ускорения космических лучей. Он заметил, что протоны, осцнллирующие между двумя сближающимися с большой скоростью магнитными зеркалами, могут при каждом пролете между ними увеличивать свою энергию. Как возникают эти зеркала — это уже другой вопрос. Еще один пример «зеркальных» эффектов — это захват частиц в радиационные пояса ван Аллена. Поскольку магнитное поле Земли велико у полюсов и мало у экватора, оно образует естественную ловушку с довольно большим пробочным отношением.
Задачи 2.8. Предположим, что магнитное поле Земли на экваторе равно 3 10 — ' Тл и спадает с расстоянием по закону 1!гз, как в случае идеального диполя. Пусть на расстоянии г = 5)7з ат центра Земли в экваториальной плоскости имеются изотропные распределения протонов с энергией ! эВ и электронов с энергией 30 кэВ, плотностью л = 10' м — ' каждое, а) Вычислите скорости градиентных (тгВ) дрейфов ионов и электронов. б) На запад или на восток дрейфуют электроны? в) Сколько времени потребуется электрону, чтобы обойти вокруг Зеылиь г) Вычислите плотность возйикающего из-за дрейфа кольцевого тока в А(и'-'. Указание: Дрейфом из-за искривлснности силовых линий магнитного поля пренебречь нельзя — он будет влиять иа числа в ответе, но все-таки пране. брегите им.
2.9. Электрон покоится в магнитном поле, которое создается током 1, текущим по бесконечному прямому проводу. В момент ! = 0 при неизменном 1 провод внезапно заряжается до потенциала ф. Электрон получает от электрического поля энергию и начинает двигаться. а) Нарисуйте схему, показывающую орбиту электрона и направления векторов 1, В, че, ч в и ч . б) Вычислите скорости различных типов дрейфа на расстоянии ! см от центра провода, если 7 = 500 А, ф =- 460 В, а радиус провода ! мм. Предположите, что на стенках вакуумной камеры, расположенных в !О см от провода, поддерживается ф =- О. Указание: Нужно не только знать формулы, приведенные в тексте, но еще и хорошо представлять себе картину движения.
2.10. Ядро атома дейтерия с энергией 20 кэВ движется под литч-углом 0 = =45' в центральной плоскости большой установки для синтеза с В= 0,7 Тл. Вычислите ларморонский радиус частицы. 2.! !. Плазма с изотропным распределением по сиоростям помещена в магнитную зеркальную ловушку с пробочным отношением Рм =- 4. Столкновений нет, так что частйцы, попавшие в конус потерь, просто убегают, а захваченные остаются в ловушке. Какая доля частиц будет захвачена? 2.12. Протон из космических лучей захвачен в ловушке между двулгя движущимися магнитными пробками. Пробочное отношение равно 5. В начальный момент в центральной плоскости энергия частицы 97 =- 1 кэВ, причем о,, = о, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
