Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Каждая из пробок движется к центру системы со скоростью о,„=- = !О км'с (рис. 2.10). 2зй Неоднородное поле Е а) Пользуясь формулой, описывающей конус потерь, и инвариантностью магнитного момента р, найдите энергию, до которой будет ускорен протон, прежде чем он покинет систему б) Сколько времени потребуется на то, чтобы набрать эту энергию? в гпю, Рис. 2.10. Ускорение космических лучей. Указания: 1.
Считая пробки плоскими поршнями, покажите, что эа каждый период осцилляций между ними скорость протона увеличивается на 2 оги. 2. Рассчитайте необходимое количество осцилляций. 3. Вычислите время Т, необходимое для того, чтобы столько раз пройти расстояние ь. Достаточно получить ответ с точностью до множителя 2. 2.4.
Неоднородное поле Е Пусть теперь магнитное поле в системе однородно, а электрическое — неоднородно. Для простоты предположим, что Е направлено по оси х и меняется с х синусоидально (рис. 2.11): Е:- Еа (сох) к. (2.47): Это распределение поля с длиной волны ) = — 2Ыуг создается синусоидальным распределением заряда, на анализе которого мы останавливаться не будем. На практике такое распределение заряда Рис. 2.1!. Дрейф вращающейся частицы в неоднородном электрическом поле 46 Гл. 2. Движение отдельных частиц может возникнуть в плазме во время распространения в ней волны. Уравнение движения частицы в поле Е(х) имеет вид т(Ыб() — — с) (Е(х)+т х В); (2.48) поперечные составляющие этого уравнения запишутся следующим обр азом: о„= — оу + — Е„(х), оу — — - — — о„ ° 4В у - дВ (2.49) ю т ю г гЕс втсп ~ етс с В (2.50) Е (х) Оу = 01 спи Го с В (2.
51) Здесь Е, (х) — электрическое поле в точке, где находится частица. Чтобы вычислить его, нам нужно знать траекторию частицы, которую мы и попытаемся в первую очередь найти. Если электрическое поле слабое, то для приближенного вычисления Е„(х) мы можем использовать невозмуп(умную орбиту, т. е. орбиту частицы в отсутствие поля Е. Она определяется выражением (2.7): (2.52) Х=Х,+Г„ЫП 10,1. Из уравнений (2.51) и (2.47) получаем Оу = Юсау 0)с — СО5Й (ХЕ+ Г1. 51П отсС) ° г г Ео В (2.53) Предугадывая результат, будем искать решение в виде суперпозиции вРащениЯ с частотой 01, и дРейфа с постоЯнной скоРостью оа. Поскольку нас интересует только выражение для оа, избавимся от членов, описывающих вращение, путем усреднения по периоду.
Из уравнения (2.50) тогда следует, что о„= О. В уравнении (2.53) осциллирующий член оу, очевидно, тоже при усреднении обращается в нуль, и мы получаем оу — — О = — васоу — етс — созй(хе+1 51п юс1). В Преобразовывая косинус, имеем соз Й (хе+ Гь 51п юс() = со5 (Ахе) соз (Агь 51п отс() 51п(йха) 51п(йГь 51п отс() . (2.55) Достаточно рассмотреть случай малого ларморовского радиуса, сегь (( 1. Разложения в ряды Тейлора соз е = ! — (1/2) е'+ . айна=а+ .
47 2.4. Неоднородное поле Е позволяют записать следующие соотношения: соз й (х, + гь з!и о,() = (соз йх,) (1 — (1/2) )«'г'„з(п' а»,4)— — (я п йх,) йгь з1 и о»,1. Последний член при усреднении по времени исчезает, и уравнение (2.54) принимает вид о„= — — (соз йх,) 1 — — й г, ~ = Е« «'«(хо) l !»»\ В В 4 (2. 57) Следовательно, в неоднородном поле обычный Е )с В-дрейф изменяется таким образом, что его скорость принимает вид их в с ма=- — ~'1 — — й гь') В» (, 4 (2. 58) Нетрудно понять физическую причину этого изменения.' Дело в том, что ион, ведущий центр которого расположен в точке максимума поля, в действительности большую часть времени проводит в областях, где поле Е слабее.
Следовательно, средняя скорость его дрейфа будет меньше, чем скорость ое, рассчитанная по полю в точке, где расположен ведущий центр. В линейно меняющемся поле Е ион на одной стороне своей орбиты должен находиться в более сильном поле, а на другой стороне — в настолько же более слабом, и поправки к та должны компенсировать друг друга. Из этого ясно, что поправочный член зависит от второй производной поля Е. У синусоидального распределения, которое мы рассматривали, вторая производная по отношению к Е всегда имеет противоположный знак, что и объясняет «минус» в формуле (2.58). Чтобы обобщить эту формулу на случай произвольного распределения поля Е, нам достаточно лишь заменить А на — Ф и записать ее в виде та =- (1+ — гьЧ ) (2.59) Второй член в скобках описывает аффект, связанный с конечной величиной ларлоровского радиуса частицы. Какова роль этой поправки? Поскольку для ионов г„ гораздо больше, чем для электронов, та теперь зависит от вида частиц.
Допустим, что в плазме возник сгусток плотности, тогда электрическое поле Е может вызвать разделение ионов и электронов, поскольку они дрейфуют с разными скоростями; это приведет к появлению нового электрического поля. Если существует механизм обратной связи, позволяющий вторичному электрическому полю усиливать первичное, то Е будет расти до бесконечности и плазма станет неустойчивой. Такую неустойчивость, называемую дрейфовой, мы обсудим в одной из Гл. 2. движение отдельных частиц последующих глав. Градиентный дрейф, разумеется, также связан с конечностью величины ларморовского радиуса и тоже вызывает разделение зарядов, однако, согласно (2.24), скорость и и пропорциональна иг„, а поправочный член в соотношении (2.58) пропорционален А гь. Следовательно, неоднородность поля Е играет важную роль при относительно больших и, или малых масштабах неоднородности.
Вследствие этого дрейфовые неустойчивости относят к более широкому классу лтикронеустойчивостей. 2.5. Нестационарное поле Е Перейдем теперь к анализу движения заряженных частиц в одно родных, но нестационарных полях Е и В. Для начала рассмотрим случай, когда В постоянно, а поле Е синусоидально меняется со временем. Пусть электрическое поле направлено по оси хп Е =- Е, е'"'х. (2.60) Поскольку Е„= (езЕ„мы можем записать уравнение движения (2.50) в виде —,(о, — — ") (2.61) ыс 'Введем определения: 1ы Ес Ес (2.62) 'Здесь тильда добавлена лишь для того, чтобы подчеркнуть, что дрейф является осциллирующим. Верхний (нижний) знак, как обычно, относится к положительному (отрицательному) заряду о.
Уравнения (2.50) и (2.51) в этих обозначениях принимают вид ос —— -- — си, (ос — ор), оу — — — «тс (оу — Ои). (2. 65) По аналогии с соотношениями (2.12) попытаемся найти решение. которое является суперпозицией дрейфа и вращения: о„=о, е'"" +о, он== ~! о, .ес ' +он. (2.64) Если мы дважды продифференцируем эти соотношения по времени, то получим ох== — ысос+(ыс — ы );, (2.65) а, с 2 2х оу — тесов + сыс те / ое Эти уравнения совпадают с соотношениями (2.63) только в том случае, когда ат мало по сравнению с ет,.
Если теперь предположить, 2 2 49 2.5. Пестационарное поле Е что Е действительно меняется медленно, т. е. что с»' с(; о»~, то (2.64) будут приближенными решениями уравнений (2.63). Из соотношений (2.64) следует, что движение ведущего центра теперь более сложное, скорость движения имеет две составляющие; у-компонента скорости перпендикулярна Е и  — это обычный Е и В-дрейф, за исключением лишь того, что оа теперь медленно осциллирует с частотой со; х-составляющая скорости отвечает новому типу дрейфа вдоль направления Е, который называется поляризационным дрейфом. Заменяя го на — дед~, мы можем обобщить соотношение (2.62) и записать скорость поляризационного дрейфа в виде 1 ЛЕ ч —...—.
-+- ы,В Ш (2.66) Поскольку скорости ч, у ионов и электронов направлены в разные стороны, возникает паляризационный ток. При 2 ==- 1 он равен 1,— пе(ч;„— и„)= — (М-1- и) — = — —, (2.67) пе ЛЕ р ЛЕ «Р еВ» Ж В' ос где р — массовая плотность. ОВ Р ис. 2.12. Поляриаациоиный дрейф. Физическая причина возникновения поляризациониого тока проста (рис. 2.12).
Рассмотрим нон, покоящийся в магнитном поле. Если к нему внезапно приложить электрическое поле Е, то прежде всего он начнет двигаться вдоль Е. Только после того как ион наберет скорость ч, он почувствует силу Лоренца и начнет поворачивать вниз, как показано на рис. 2.12. Если теперь поддерживать Е постоянным, то дрейф со скоростью и, прекратится, а будет наблюдаться лишь движение со скоростью че. Однако если Е сменит направление, то снова возникает мгновенный дрейф, на этот раз влево.
Таким образом, поляризационный дрейф со скоростью ч,— это дрейф «стартерного» типа. Он связан с инерцией частицы и имеет место только на первом полупериоде каждого оборота, во время которого поле Е меняет направление на противоположное. Следовательно, ч стремится к нулю вместе с егг'ог,. Гл. 2. Движение отдельных частиц Явление поляризации в плазме аналогично тому, которое имеет место в твердом диэлектрике, где 0 == е„Е + Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
