Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.2. На установке ТАНТК (Тойашай Гпз)оп Тез( йеас1ог) в Принстоне плазма будет нагреваться посредством ннжекцнн нейтральных атомов дейтерня с энергией 200 кэВ, которые, войдя в магнитное поле, нз-за перезарядки превратятся в ионы дейтерня с атомным номером А = 2 н с той же энергней. Такие ноны могут удерживаться в ловушке, только если г„« а, где а = 0,6 м — меньший радиус плазменного тора.
Проверьте, выполняется лн это условие, вычислив максимальный ларморовскнй радиус иона в магнитном поле В = 5 Тл. Вз .' Рнс. 32.7. 2.3. В ионном двигателе (см. рнс. 1.6) создается магнитное поле величиной ! Тл, а водородная плазма вследствие Е Х В-дрейфа выталкивается нз него со скоростью 1000 км)с. Насколько велико должно быть для этого электряческое поле внутрн плазмы? 2.4. Воспользовавшись картнкой движения заряженных частиц (рнс. 2.2), покажите, что для двух ионов с одинаковыми массами и зарядами, но с разными энергиями дрейфа оп равны между собой. Для этого аппрокснмнруйте правую половнну орбиты полуокружностью, соответствующей энергии иона после уснорення в поле Е, а левую полонину — полуокружностью, соответствующей энергии после замедления.
Можете предположить, что поле Е слабое, так что относнтельное изменение о„ мало. 2.5. Предположим, что в симметричном цилиндрическом столбе плазмы плотность и (г) меняется на характерной длине Х, т. е. дл/дг яв — п?з, а распределенне электронов удовлетворяет уравнению Больцмана ~(задача 1.5). а) Испольауя соотношенне Е= — Тгф, вычислите прн данной длине Х раднальное распределение электрического поля. б) Покажите, что прн оп яэ п,пл существенны эффекты, связанные с конечной величиной лзрморовского радиуса электронов.
В частности, покажите, что прн оп = ог„л гь = 2Х. в) Справедливо лн утверждение в и, б для конов? Указание: Нг пользуйтесь уравненном Пуассона. 2.6. Предположим, что в так называемой ь)-машнне с постоянным магнитным полем 0,2 Тл помсгцсн плазменный цилиндр с температурой КТс = Гл. 2. Движение отдельных частиц = КТг = 0,2 эВ. Экспериментальным путем устзновлено, что профиль плот. ности плазмы имеет вид и = пв ехр [ехр ( — гз)аз) — 1). Пусть плотность электронов удовлетворяет уравнению Больцмзнз. в) Вычислите максимальную скорость дрейфа ое, если а = ! см.
4) Срзвните ее со скоростью дрейфа о, обусловленного магнитным полем Земли. н) До какой величины нужно понизить напряженность мзгнитного поля В, чтобы ионы калия (А = 39, 2 = 1) имели лзрморовский радиус, равный а? 2.7. Заряженный пучок электронов плотностью и, = 1Оы м — ' и радиусом о = 1 см движется вдоль мзгннтного поля 2 Тл. Вычислите скорость и нвправление Е Х В-дрейфэ при г = а, если В нзпрзвлено по г, з Š— электростатическое поле, связанное с зарядом пучка (см, рис, 32.7).
2,3. Неоднородное поле В Теперь, когда понятие о дрейфе ведущего центра твердо нами усвоено, мы можем рассмотреть движение частиц в неоднородных полях, т. е. в полях Е и В, которые изменяются в пространстве и во времени. В случае постоянных полей нам удалось получить точные выражения для скорости дрейфа ведущего центра, но как только мы вводим в задачу неоднородность, проблема становится слишком сложной для точного решения.
Чтобы получить приближенный ответ, обычно проводят разложение по малому отношению г„~'х., где ь — маспггаб неоднородности. Вычисления в рамках такой теории (она называется теорией орбит) могут быть сложными, поэтому мы рассмотрим лишь простейшие случаи, когда в системе существует неоднородность только одного вида. 2.3.1. Градиентный дрейф; !7В 1 В В данном разделе мы будем считать, что силовые линии ') магнитного поля представляют собой прямые, а их плотность возрастает, например в направлении у (рис.
2.5). Пользуясь разработанной нами простой физической моделью, можно заранее предвидеть, как будут вести себя в таком поле заряженные частицы. Из-за наличия градиента поля [В) ларморовский радиус в нижней части орбиты движущейся частицы будет больше, чем в верхней, а это должно приводить к дрейфу ионов и электронов в противоположных направлениях, перпендикулярных как В, так и ))В. Очевидно, что величина скорости дрейфа должна быть пропорциональна гь(с, и и Для вычисления скорости дрейфа рассмотрим силу Лоренца г = ди х В, усредненную по периоду вращения частицы. Ясно, Х ) Линии магнитного поля чзсто нззывзют силовыми линиями, Онн, однако, не являются линиями действия силы в точном смысле этого слова.
Неправильный термин увековечен здесь, чтобы подготовить студента к веро. ломству избранной им специальности. 2.3. Неоднородное поле В )( ~Жг О ООООО и ОООО ООО О О О О г Рис. 2.5. Дрейф настин, совершающих вращение в неоднородном магнитном палс. ! ! ВХ!!В тон == ~ — о,гь 2 ВР (2.24) Данная формула включает все зависимости, которые мы предвидели исходя из физической картины процесса; не был предсказан только множитель 1/2, возникший из-за усреднения. Заметим, что знаки ~ соответствуют знаку заряда, а светлая буква В отвечает что г"„= О, поскольку частица движется вверх столько же времени, сколько и вниз. Теперь приближенно вычислим дю используя усреднение по невозмущенной орбите частицы.
Невозмущенная орбита н постоянном магнитном поле В описывается уравнениями (2.4) и (2.7). Взяв вещественную часть уравнения (2.46), получаем дВ з Г„= — до„В, (у) = — — уос (соз со,!) ~Вр ~ г„(соз ю,() — 1 (2.20) ду з Здесь мы разложили поле В в ряд Тейлора вблизи точки хр = О, у, = 0 н воспользовались выражениями (2.7): В=Вр+(г'р) В~ В, = Вр + у (дВ,!ду) + .
(2.21) Такое разложение, конечно, можно провести только в том случае- если выполняется неравенство г„)Ь (~ 1, где 7. — масштаб изменения дВ,)ду. Первый член в уравнении (2.20) после усреднения по периоду вращения дает нуль, а среднее от созссо,г равно 1г'2, так что Вр = — -!- Чо гь — (дВ)ду!. ! (2.22) При этом скорость дрейфа ведущего центра дается выражением 1 ГХВ ! Ен - о г!. ! дВ ч,= —— у Ва д !В! В 2 ду = — — х= -т = — — х, (2.23) при выводе которого мы использовали формулу (2.17). Поскольку выбор оси у был произволен, последнее соотношение можно обобщить: 38 Гл. 2.
Двиигвние отдельных частнн 2.3.2. Центробежный дрейф; искривленные силовые линии поля В Предположим, что силовые линии магнитного поля изогнуты и имеют постоянный радиус кривизны тх„а ) В) = сопз( (рис. 2.6). Такое поле не удовлетворяет в вакууме уравнениям Максвелла, Рис. 2.6. Магнитное поле с искривленными силовыми линиями, поэтому на практике к изучаемому здесь эффекту всегда будет добавляться градиентный дрейф.
В рассматриваемом же случае дрейф ведущего центра возникает из-за центробежной силы, действующей на частицы, перемещающиеся вдоль силовых линий вследствие теплового движения. Пусть о1 обозначает средний квадрат ско- 2 рости хаотического движения вдоль В, тогда средняя центробежная сила .2 2 Ис Гм= ' г= то, (2.25) Ис Ис В соответствии с соотношением (2.17) она приводит к дрейфу Гс!Х В Ио2 йс Х в (2.26) В2 два ов Дрейф со скоростью чн называется центробежным дрейфом. Вычислим скорость градиентного дрейфа, который сопровождает ! и и ' )В). Величина ч в называется скоростью градиентного дрейфа. Дрейф имеет противоположные направления для ионов и электронов и создает ток, перпендикулярный В.
Заметим также, что полученное выражение для скорости дрейфа является приближенным; для точного вычисления тыв нужно при усреднении пользоваться точной орбитой частицы с учетом дрейфа. 2 3. Неодиородпое поле В дрейф со скоростью тя, если принять во внимание уменьшение 1В! с радиусом. Обратимся к рис. 2.6. Как известно, в вакууме у х В = О.
В цилиндрических координатах, показанных на рисунке, 11 х В имеет только г-компоненту, поскольку В имеет лишь О-компоненту, а 11 — лишь г-компоненту. В этом случае 1 д 1 (е х В), = — — (гВ )=О, Вэ (2.27) г дг г Таким образом, 1 ~в~- —, ~~с Используя уравнение (2.24), получаем 11 ~ В ~ (В1 ое (2. 28) ое о хн го, й~~В 2 д оеВе Прибавляя скорость дрейфа т, в к та, получаем общее выражение для дрейфа частицы в магнитном поле с изогнутыми силовыми линиями: ле И,ХВ ге 1 тстэ+ тн = — (О~1 + — Ос) ч в с (2.30) К сожалению, скорости обоих дрейфов направлены в одну сторону. Поэтому если попытаться удержать термоядерную плазму, свернув магнитное поле в тор, то частицы будут дрейфовать из этого тора независимо от того, как мы будем менять температуры и магнитные поля.
В случае максвелловского распределения из уравнений (1.7) и (1.10) ясно, что о'1~ =(1/2) он = Курт, поскольку о, отвечают две степени свободы. Уравнения (2.3) и (!.6) позволяют записать в этом случае среднюю скорость дрейфа в поле с искривленными силовыми линиями в виде о'„, - геп ел+та = у = цтенну Лсегс А'с где у — единичный вектор в направлении В,х В.
Отсюда следует, что чя+ в зависит от заряда ионов, но не от их массы. (2.30а) 2.3.3. т7В 11 В; магнитные зеркала (аробкотрон),' Рассмотрим теперь магнитное поле, направленное в основном вдоль оси г. Пусть поле осесимметричное, Ве = О, д/дв = О, а напряженность его зависит от з. Поскольку силовые линии такого поля схо- Гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
