Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Жидкости, такие, как вода, характеризуются настолько высокой плотностью, что движение отдельных молекул в них рассматривать не нужно. В этом случае главную роль играют столкновения, и для описания жидкости достаточно простых уравнений гидродинамики, В другом пределе, когда мы имеем дело с очень малой плотностью вещества, например в таких устройствах, как синхротрон с переменным градиентом, необходимо рассматривать траектории отдельных частиц; коллективные эффекты часто несущественны.
Плазма же в некоторых случаях ведет себя как жидкость, а в некоторых — как скопление отдельных частиц. И первый шаг, для того чтобы понять, как иметь дело с этой сумасбродной особой,— это изучить поведение отдельных частиц в электрических и магнитных полях. Данная глава отличается от последующих тем, что поля Е и В в ней предполагаются заданными и считается, что заряженные частицы ге влияют на эти поля. зо Гл. 2. Движение отдельных частнц ое — ос ( ) ос.
Эти уравнения описывают простой гармонический осциллятор на циклотронной частопте, которую мы определяем следующим об- разом: !д~ В Осс-— т (2.3) В соответствии с принятым нами соглашением сос всегда неотрицательна. Величина В измеряется в теслах (Тл), или в веберах на квадратный метр (Вб/м'), причем 1 Тл — 10' Гс. При этом решение уравнения (2.2) можно записать в виде о,,„=о, ехр(~1«т„1-1-!6, „), где ~ относятся к знаку заряда с).
Мы можем выбрать фазу Ь так, чтобы о„=-о е' с' х, (2.4а) где о — положительная постоянная, обозначающая скорость в плоскости, перпендикулярной вектору В. Следовательно, о„= — о,= ~- о,=- ~ ! о, ес"е =у. (2,4б) дВ ыс Интегрируя выражения (2.4а) и (2.46), получаем ссс 1 х — х = — )=е «вЂ” мс у — у«=~ е '. ис ! «сс Определим ларморовский радиус как (2.5) о тс г„== «с, )д! и (2.
6) Взяв вещественную часть уравнений (2.5), получим х — х«==г„з!п«т,(, у — у„=== ~г„соз «т,!. (2.7) Эти формулы описывают круговую орбиту вокруг фиксированного ведущего центра (х„у,) (рис. 2,!). Направление вращения частицы всегда таково, что создаваемое при этом магнитное поле направлено противоположно внешнему магнитному полю. Следовательно, частицы плазмы стремятся уменьшить магнитное поле, и плазма является диамагнеатиком.
Помимо этого движения имеет место еще движение с произвольной скоростью о, вдоль В, на которое В не 2.2. Постоянные поля Е и В Венеций Злектрон Ион Рис. 2Л. Ларморовские орбиты в магнитном поле. влияет. Таким образом, заряженная частица в магнитном поле дви- жется в пространстве по траектории, которая в общем случае яв- ляется спиралью. 2.2.2. Конечное Е Если мы теперь допустим, что помимо магнитного поля имеется и электрическое, то движение частицы будет суммой двух движений: обычного ларморовского вращения и дрейфа ведущего центра. Выберем направление поля Е таким образом, чтобы оно располагалось в плоскости хг, т.
е. мы имеем Е„= О. Как и прежде, г-компонента скорости не связана с поперечными движениями и ее можно рассматривать отдельно. Уравнение движения теперь принимает вид т ":=о(Е +ох В). (2.8) Записывая г-проекцню этого уравнения — = — Е„ осг Ч и'г гн находим и,=.: — ~+о дВ. гн (2.9) Это соотношение описывает движение с постоянным ускорением вдоль поля В. Поперечные проекции уравнения (2.8) запишутся в виде — Е, ~ от,ое, —" — О.+ со,о„.
(2.10) и'г пг си 32 Гл. 2. Движение отдельных частик Дифференцируя, получаем (при постоянном Е): 2 о =- — го о, 'Х— с х (2, 11) оа — - Т- оэс( — Ех1а-~ гоФа)-=- — оэс( — "+оа) ° Последнее уравнение можно переписать в виде ,и ("+ в)= — ""(" в) Таким образом, если во втором уравнении (2.11) заменить оа + (Е„1В) на о„, то оно сведется к последнему из уравнений (2.2). При этом уравнения (2.4) принимают вид о„=о ехр(1щ,(), оа — -- ~! о, ехр(1щ,() — (Е„)В). (2.12) Ларморовское движение — такое же, как и раньше, но на с при Е„0 накладывается дрейф ведущего центра ч, в нап; .
нии — у (рис. 2.2). Чтобы получить общую формулу для и„, нужно решит, 1равнение (2.8) в векторном виде. В этом уравнении член и с(ЫЖ можно опустить, поскольку он описывает только круговое движение с частотой щ„которое нам уже известно. Таким образом, у, авненне (2.8) принимает вид (2,13) Е+нхВ=О. Умножая векторно на В, имеем Е Х В = В Х (Н Х В) = ЧВа — В (» В). (2.14) Поперечные компоненты этого уравнения запишутся в виде м,кс — — Е Х В/Ва=..=на, (2.15) где чв — скорость дрейфа ведущего центра в электрическом поле.
Величина этой скорости определяется выражением (2.16) и (тл) Š— ~- ОВ Ион Лчекптром Рис. 2.2. Дрейф частип е скрещенных электрическом и магнитном полях. 2.2. Постоянные поля Е и В ЕяВ Рнс. 2.3. Реальная орбита частицы в пространстве. Важно заметить, что че ие зависит от о, и и о,.
Это очевидно из следующей физической картины. На первом полуобороте своей орбиты (рис. 2,2) положительно заряженный ион получает энергию от электрического поля, увеличивается о и, следовательно, г,, На втором полуобороте ион теряет энергию н г„уменьшается. Эта разница в гь на левой и правой частях орбиты и вызывает дрейф со скоростью ое. Отрицательно заряженный электрон вращается в противоположном направлении (рис.
2.2), но и энергию от поля он получает при движении в направлении, противоположном тому, в котором движется ион. Следовательно, дрейф электрона происходит в том же направлении, что и дрейф иона. Из частиц, имеющих разные массы, но одинаковые скорости, у более легких будет меньше г„и, следовательно, меньше дрейф за один оборот. Однако у более легких частиц выше частота вращения, и два эффекта в точности компенсируют друг друга. Две частицы с одинаковыми массами, но с разными энергиями должны иметь одну и ту же частоту ео,.
Более медленная заряженная частица будет иметь меньший г, и поэтому за один оборот получит от электрического поля меньше энергии. Однако для менее энергичных частиц относительное изменение в г„ при данном изменении энергии будет больше, и эти два эффекта также взаимно компенсируются (задача 2.2). Таким образом, трехмерная орбита частицы в пространстве представляет собой раскручивающуюся спираль с изменяющимся шагом (рис.
2. 3) . 2.2.3. Гравитационное поле Заменив в уравнении движения (2.8) величину дЕ на общее обозначение силы Г, можно применить полученный выше результат и к другим видам силы. Скорость дрейфа ведущего центра, вызванного силой Г, в общем случае равна Гл.
2. Движеиие отдельных частиц В частности, если Р— сила тяжести птя, то скорость дрейфа т ахв та=— и» (2. 18) Этот вид дрейфа похож на дрейф в электрическом поле (тв) тем, что его направление перпендикулярно как приложенной силе, так и вектору В; но он имеет и одно важное отличие: скорость ти меняет направление в зависимости от знака заряда частицы. Таким образом, под действием силы тяжести ионы и электроны дрейфуют в противоположных направлениях, что приводит к возникновению в плазме тока, плотность которого 1 =п1(М+ па) ' а ° Ва (2.19) Ион '»леипар он Оив Рис. 2.4. Дрейф частиц в поле силы тяжести.
Физически возникновение этого дрейфа (рис. 2.4), как и рассматриваемых ранее, объясняется тем, что при движении частицы меняется ларморовский радиус ее орбиты, поскольку она отдает или получает энергию от поля силы тяжести. Но теперь, хотя электроны и ионы вращаются в разные стороны, силы, действующие на них, направлены в одну сторону, поэтому дрейфуют эти частицы в противоположных направлениях. Величина ти, связанная с обычной силой тяжести, в большинстве случаев пренебрежимо мала (задача 2.4), но если силовые линии магнитного поля изогнуты, то из-за наличия центробежной силы возникает эффективная сила тяжести, пренебречь которой уже нельзя.
Эта сила не зависит от массы, поэтому мы н не упоминали, что в общее выражение (2.18) входит т. Отметим, что центробежная сила является причиной так называемой «гравитационной» неустойчивости плазмы, которая также с реальной гравитацией ничего общего не имеет. 2.2. Постоянные поля Е н В Задачи 2.1. ПУсть пы мала. Вычислите гь в слеДУющнх слУчаЯх: а) для электрона с энергией 10 кэВ, находнщегося в магнитном поле Земли 3=510 з Тл; б) для протона нз потока солнечного ветра, скорость движения которого в межпланетном магнитном поле В = 5 10 з Тл составляет 300 км)с; в) для иона Не+ с энергией 1 кэВ, находящегося в атмосфере Солнца вблнзн пятна, где В = 5 10 з Тл; г) для частицы примеси Не++ с энергией 3,5 МэВ в дейтеркево-трнткевом реакторе сннтеза с магннтным полем В = 8 Тл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
