Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рнс. 2.16. Движение заряженной частицы в магнитном поле Земли. рипнтом / и вычисляется для половины цикла движения между двумя точками поворота (рис. 2.15): ь 2 = ) п1йз. а (2. 76) Мы докажем, что У инвариантен в статическом неоднородном поле В. Этот результат справедлив также и в том случае, когда поле мед- ленно меняется со временем.
56 Гл. 2. Движение отдельных частиц Прежде чем начать довольно длинное доказательство, рассмотрим пример в виде задачи, в которой будет полезна теорема об инвариантности л. Как мы уже упоминали, магнитное поле Земли захватывает заряженные частицы, которые затем медленно дрейфуют вокруг Земли в широтном направлении (задача 2.8; см. также рис. 2.!б).
Если бы магнитное поле было совершенно симметричным, то частица в конце концов вернулась бы на исходную силовую линию. Однако в действительности магнитное поле Земли деформи- Рис. 2.!7. К доказательству инвариантности величины Х. следовательно, можно написать 6з — 6з Р,— Р, (2.77) дслс Радиальная компонента скорости и, имеет такое значение, что выполняется равенство ~с ~~с ~~с йс (2.78) руегся, например под действием солнечного ветра. Вернется ли в таком случае частица на ту же силовую линию? Вследствие того что энергия частицы сохраняется и равна (172) то, в точке поворота, из сохранения первого адиабатического инварианта р следует, что и величина ~ В) в точке поворота останется прежней.
Однако, придя в результате дрейфа на исходную долготу, частица может оказаться на другой силовой линии и на другой высоте. Этого не случится, если У сохраняется. Величина У определяет длину силовой линии между точками поворота, и не существует двух линий, которые имели бы одну и ту же длину между точками с одинаковыми )В).
Следовательно, даже в слегка асимметричном поле частица все равно вернется на исходную силовую линию. Чтобы доказать инвариантность величины .!, рассмотрим сначала вопрос об инвариантности па ба, где ба — отрезок пути вдоль В (рис. 2.17). Из-за дрейфа ведущего центра через время М частица сместится с линии ба на линию бв'. Длину ба можно определить, если через концы отрезка бз провести плоскости, перпендикулярные В. Длина бз, очевидно, пропорциональна радиусу кривизны: ба 6т' 2 .8.
Лдиабатические инварианты Из уравнений (2.24) и (2.26) получаем 57 1 ВХ ЧВ тв'! Кг ХВ иис--ичв+чи —— - + — о г, ° (2. 79') 2 В' Ч гсов Заметим, что последний член не имеет составляющей, направленной вдоль й, . Используя равенства (2.78) и (2.79), выражение (2.77) можно записать в виде — ба=- и„— '= — — ' — '(В х ЧВ). — ' (2.80) бв г!1 ва 2 Ч Ва Ва с с Такова скорость изменения бз с точки зрения частицы.
Теперь мы должны получить скорость изменения величины о! в системе коорди- нат частицы. Введем определения продольной и поперечной энергий с помощью равенства ! 2 1 а 1 и )й'= — то11+ — тоа = — то1+рВ=Ю'1!+ К . (2.8!) 2 2 2 Таким образом, мы имеем о! =- ((2)т) (%' — (гВ)]ьа. (2.82) Здесь Ю' и р постоянны, а изменяется только В. Следовательно, Ив ! иВ ИВ 2 !Ч В 2 1Ч щва, Поскольку В предполагается стационарным, В не равна нулю только из-за движения ведущего центра: 2 кв иг В = — — =ни,.ЧВ = аг Ж Ч н,хв . РВ.
(2. 84) и2ви Теперь мы можем написать: (в х чв). н, (2.85) 2 д В рава с (н, х в).чв и 1>иВа Относительное изменение величины о11 бз равно 1 а 1 Дба 1 ар! — (о,! бз) = — — +— в!ба аг ба и! и! сп (2.86) Как видно из соотношений (2.80) и (2.85), эти последние два члена взаимно уничтожаются; следовательно, о ! бз = сопи!. (2.87) 58 Гл. 2. Движение отдельных частиц Отсюда, однако, не следует, что 2 = сопз1.
Прн вычислении интеграла от о~~ба между точками поворота может случиться так, что точки поворота на бз' не совпадут с концами отрезка, полученного сечением бз перпендикулярными плоскостями (рис. 2.17). Погрешность в вычислении / из-за этого расхождения будет, однако, пренебрежимо мала, поскольку вблизи точек поворота о~~ почти равна нулю.
Следовательно, мы доказали, что ь 2= ~ о,~йз=сопз1. а Пример нарушения инвариантностн У дает схема нагрева плазмы, называемая аремяпролетной магнитной накачкой. Предположим, что к катушкам пробкотрона подводятся переменные токи, так что пробки попеременно приближаются и отдаляются друг от друга с частотой, близкой к баунс-частоте. Частицы, которые колеблются с этой баунс-частотой, всегда будут видеть сближающиеся пробки и, следовательно, их скорость о~1 будет увеличиваться. В этом случае 1 не сохраняется, поскольку изменение поля В происходит на временных масштабах, которые нельзя считать большими по сравнению с временем колебания частиц между зеркалами. 2.В.З.
Третий адиабатический инвариант ГФ) Возвращаясь вновь к рис. 2.16, мы видим, что медленный дрейф ведущего центра вокруг Земли представляет собой третий тип периодического движения. Оказывается, что аднабатический инвариант, связанный с этим движением, есть полный магнитный поток, охватываемый дрейфовой поверхностью. Почти очевидно, что при изменении В частица остается на такой поверхности, для которой полное число охватываемых ею силовых линий остается постоянным. Инвариант Ф применяется редко, поскольку большинство флуктуаций магнитного поля В происходит на временных масштабах, которые малы по сравнению с периодом дрейфа, отвечающим этому инварнанту.
Как пример нарушения инвариантности Ф можно привести недавние исследования по возбуждению МГД-волн в ионосфере. Эти волны имеют большой период, сравнимый со временем перемещения частицы вокруг Земли. Следовательно, частицы после одного оборота могут встретить волну в той же самой фазе. Если это происходит, то передача энергии от дрейфующих частиц к волне может привести к ее раскачке. Инвариант Ф в этом случае не сохраняется.
2.8. Ддиабатические инварианты Задачи 2.13. Решите задачу 2.126, пользуясь инвариантностью величины Л а) Положив )" а?дз ем о), 1., выполните дифференцирование по времени. б) Исходя из этого, получите выражение для времени Т через Ыlад Положив г().lг(! = — 2ааь вы получите ответ.
2.14. При нагреве плазмы путем адиабатического сжатия из инварнантности величины р следует, чта с увеличением В должна расти и КТ, Но магнитное поле не может ускорять частицы, поскольку сила Лоренца ат Х В всегда перпендикулярна скорости. Как же частицы получают энергию? 2.15. Выражение для скорости поляризационного дрейфа можно получить и из закона сохранения энергии. Пусть Е осциллирует, тогда скорость ЕХ В- дрейфа тоже оспиллирует и с движением ведущего центра связана энергия (1!2) так. Поскольку энергию ат электрического поля можно отобрать только 2 при движении вдоль Е, должен существовать дрейф со скоростью тр в направлении Е.
Найдите чю приравнивая скорость изменения величины (1?2) так 2 к скорости прироста энергии у частицы чр.Е. 2.16. Водородная плазма нагревается волной радиодиапазона (ю=!Оз рад!с), в которой Е перпендикулярно В; плазма удерживается магнитным полем 1 Тл. Являются ли адиабатическими движения а) электронов н б) ионов, взаимодействующих с этой волной? 2.17. Протон с энергией ! кэВ и а! — — 0 находится в однородном магнитном поле В = 0,1 Тл. Поле медленно возрастает до величины 1 Тл, и протон ускоряется. После этого он упруго сталкивается с тяжелой частицей и мевяет направление движения, так что теперь а, = а!Р Поле В снова уменьшается до О,! Тл.
Какова теперь энергия протона? 2.18. Бессталкновительная водородная плазма удерживается в торе, внешние обмотки которого создают магнитное поле, почти целиком направленное по ~р (рис. 32.18). Плазма в начальный момент максвелловская, ее температура КТ = 1 кэВ. Начиная с Г = О, магнитное поле В за !00 мкс увеличивается с 1 Тл да 3 Тл, в результате чего плазма сжимается. а) Покажите, что магнитный момент как у ионов, так и у электронов остается инвариантиым. б) Вычислите температуры Т, и Т( после сжатия.
Рис. 32.18. Рис. 32.19. ОО Гл. 2. Движение отдельных частиц 2.19. В тороидальной камере квадратного поперечного сечения содержится однородная плазма (рис. 32.19). Магнитное поле создается током (, текущим вдоль оси симметрии систел~ьп размеры камеры а =- 1 см, )? =-. 10 см. Плазма является максвелловской с температурой КТ = — 100 вВ, ее плотность п =- = 10" лз-з. Электрическое поле отсутствует. а) Нарисуйте типичные орбиты ионов и электронов с и!! = О, дрейфующих в неоднородном поле В.
б) Вычислите скорость накопления заряда на верхней крышке камеры в Кл(с благодаря совместному действию дрейфов т и и т, Магнитное поле в центре камеры равно 1 Тл; по необходимости можно пользоваться приближением а!(? К 1, 2.20. Предположилц что магнитное поле на оси симметрии пробкотрона ил~ест вид В» = Вз (1 + а'»е). з а а) Пусть при» = 0 скорость электрона дается выражением о =-. Зо„ з = 1,5 о». При каком» электрон отразится? б) Запишите уравнение движения ведущего центра вдоль поля.
в) Покажите, что движение синусоидальнае; вычислите его частоту. г) Найдите величину продольного инварианта Х, соответствующего этому движению. 2.21. По бесконечному прямому проводу течет ток 1 и направлении положительных». При ( = 0 электроа, обладающий малым гирорадиусом, находится в точке» = О, г = гэ, причем о,з = о!!з(х и !! по отношению к направле.
нию магнитного поля). а) Вычислите величину н направление скорости дрейфа ведущего центра. б) Предположим, что ток медленно возрастает таким образом, что в системе индуцируется постоянное электрическое поле, направленное вдоль сс ». Покажите на чертеже, как направлены 1, В, Е и тн. в) Уменьшаются, возрастают или сохраняются скорости о и о,.!, когда ток растет? Почему? Глава 3 ПЛАЗМА КАК ЖИДКОСТЬ 3.1. Введение В предыдущей главе мы рассмотрели движение заряженных частиц в заданных электрических и магнитных полях.
В плазме ситуация гораздо сложнее; поля Е и В не заданы, а определяются положениями и движением самих заряженных частиц, поэтому для анализа поведения плазмы необходимо решать самосогласованную задачу. Иными словами, мы должны найти такой набор траекторий частиц и распределений полей, при котором частицы, двигаясь по своим орбитам, будут генерировать эти поля, а возникшие поля заставят частицы двигаться в точности по тем же самым орбитам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
