Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Сннглетный уровень обладает большей энергией, если т. е. если 7>С5», но кулоновское взаимодействие того же порядка, что обменный интеграл 7, кроме того, собственные функции лр, и фь почти ортогональны, так что 5«1. Таким ооразом, условие (2.2.28) практически принимает внд 7>0. Для молекулы водорода 7 отрицательно и велико. Мы установили таким образом, что в квантовой механике появляется связь энергии кулоновского взаимодействия электронов с их суммарной намагниченностью.
Часть электростатической энергии является энергией ромена. Эта энергия не имеет классического аналога и исчезает в пределе 6-~-0. $2.З. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ НА А' АТОМОВ. МОДЕЛЬ ФРЕНКЕЛЯ вЂ” ГЕИЗЕНБЕРГА Основная идея, внесенная в теорию ферромагнетизма Френкелем [2) и Гейзенбергом [3), заключается в том, что та существенная зависимость энергии от намагниченности, которая вытекает из принципа Паули, может сделать намагниченное состояние энергетически более выгодным. Простейшая модель ферромагнетизма основывается на представлении, что вся обусловленная принципом Паули зависимость энергии от намагниченности проявляется посредством энергии обмена, а математически задача представляет собой непосредственное обобщение на случай большого числа атомов теории молекулы водорода Гайтлера †Лондо.
Итак, рассмотрим совокупность Ж водородоподобных атомов, настолько удаленных друг от друга, что в нулевом нрвближении их взаимодействием можно пренебречь. Предположим, что во всех этих атомах периферический электрон находится на з-орбите. В таком случае имеется 2и возможных состояний для крнсталла, так как каждый электронный спин имеет два направления.
Отдельные атомы пронумеруем от 1 до )У и будем обозначать их латин- сними буквами и и ги, электроны обозначим греческими буквами 1г, р, которые также пробегают значения от 1 до У. Собственная функция лр„(р) р-го электрона, находящегося у и-го атома, удовлетворяет уравнению Шредингера Ал /, е' — Д ф„(г,) + (Е, -'- — 1 фл (г,) = О. лл Собственные функцин отдельных атомов предполагаем ортогональ- ными Уравнение Шредингера для крнсталла можно записать в следующем виде: Л' 'Лl Ю Оно приближенно удовлетворяется волновыми функциями, выбранными в виде детермннантов Слетера Л'-го порядка ф,а(1) лР«а(1) ... фл, 1а(1) лгл,Р(1) ... лгл,()(1) лР1а(2) лг»а(2)... фл, 1а(2) фл, [) (2) ...
фл,[) (2) лр,а(А() лр»а()У)... лрл, 1а()У) лР,,Р(М)... лРЩАГ) (2.3.4) Индексы у лр указывают, у каких атомов имеются «отрицательные» спины. ф (ьи ) удовлетворяют принципу Паули (перестановка столбцов эквивалентна перестановке двух электронов), но еще не являются правильными волновыми функциями нулевого приближения.
Для решения задачи нам необходимо будет отыскание матричных элементов типа [ ф(л ) О ф с(т. В качестве «представителя» детермниантных волновых функций будем брать произведение диагональных элементов в (2.3.4) Ф(,р) = ф,(1) ф»(2) ... лрл(АГ) а1(1) а(2) ... Р(и1) а(и, —, 1) ... ...
а(и» вЂ” 1) 1) (и«) ... а()р') = Плр1(1) 5(л,) (2.3.8) В силу симметрии лР н О матричные элементы будут распадаться на Ж1 (аналогично 21 слагаемым предыдущего 9 2.2) равных сла- гаемых ф( )утгр „' г(т= Л'1) гр(~,)УУФ „') (т= Лг! ~гр(„) ~Л1Š— е ( ~~)„— — ~ — — ' ~~) — ) ] Ф( а<л гг <« (2.3.6) Точно так же (2.3.7) При этом ) Ут= МС=« ~П,Р„(п)( Х вЂ” ' — Х вЂ”,' «=г т<л лрт — е» ~ гР» (1) г)л (2) (— лг<« лг <л — — ) г)тгг(т» 1, 1 гю ' ггл гтл (2.3.9) представляет собой сумму кулоновских взаимодействий всевозможных пар атомов иг, п, а У „= е'~ф (1) фл(1)ф (2)фл(2) ( — — —— 1 1 глгл гмл — — + — ~1 г(т, г(т» (2.3.!О) глг гм ) представляет собой обменный интеграл между атомами гп и и.
Спи- 98 ~гР(„,) ф )г!т= Лг(~гР(„г)Ф ) г(~. В «энергию возмущения» в уравнении (2.3.6) входят члены, зависящие от координат самое большее двух электронов. С другов стоРоны гР(лг) детеРминант Лг-го поРЯдка содеРжит Ж! членов, причем в первом члене все электроны находятся у «своих» атомов, в С~ членах два электрона переставлены, в остальных — большее число электронов. Так как мы выбрали ортогональные орбитальные функции различных атомов, то в (2,3.6) дадут вклад только те члены из ф, у которых переставлено не более двух электронов.
А в (2.3.7) обращаются в нуль все вклады от членов лр, кроме доли от «пРедставителЯ», оРбитальнаЯ часть котоРого, как У г)л,л„ равна лРг(1)лрг(2) ...фи(Ж), т. е. каждый электрон находится у «своего» атома. Матричные элементы й лг теперь можно записать в более 1л ) простом виде ~~~' ~ гР(„,) УУФ г(т = Лг (Еа -г- С) ')~~ 5(„й) 5(,- — ~'5<(лг) 5 ° У (2.3.8) новая функция 5~(лг) образуется из 5(„,) путем перестановки спинов атомов р и г). Учтем теперь ортогональность спиновых волновых функций при суммировании по а в (2.3.8).
а) Диагональные матричные элементы и,, и, ... = и,, ггг, ... В этом случае э»5(„.) Е = 1, а во втором слагаемом (2.3.8) (л ) Х" Я«„) Я, = 1 только в том случае, если р и г1 имеют одинако(,г л вые спины. Так как Ур«экспоненциальио уменьшаются с возрастанием расстояния гр, то интегралы Ур, относительно велики только для соседних атомов. Обозначая Ур«для соседних атомов через У, получаем для диагональных матричных элементов выражение УУ(л,) = Лг(Е« ',' С) — чУ, (лг) (2.3.11) где т означает число соседств атомов с параллельными спинами.
б) Недиагональные элементы и„и, ... ~пг, и», Первый член в (2.3.8) обращается в нуль. От второго члена остается Ур„если ряд чисел пгп» отличается от ряда иг и, только тем, что в одном ряду вместо г1 стоит р, т. е. состояния должны отличаться только одной перестановкой. Так как Ур велико только для соседних атомов, то интересны только те распределения п, и,, которые получаются из п,п, путем перестановки двух соседних неодинаковых спинов. Соответствующие недиагональные элементы также будут иметь значение У.
В частности, недиагональные элементы обращаются в нуль, если число отрицательных спинов в обоих состояниях различно. Рассмотрим поэтому систему с фиксированным числом г «правых» спиноз. Пусть Л'=2и — полное число электронов в системе, г — полное число электронов с «правой» ориентацией спина и Л' — г — с «левой».
Величина г однозначно связана со слагающей полного сппиового момента 1, вдоль «правого» направления 1,=(г — (Лг — гЯрв = 2(г — п))гв — -- 2пг)гв, (2.3.12) где г — и=гп. Так как матричные элементы энергии исчезают, если число левых сппнов в начальном и конечном состояниях различно, то можно в качестве правильной функции нулевого приближения выбрать волновую функцию с определенным числом' г «правых» Г спинов (физически это является следствием того, что в модел д и ейзепберга спиновые силы не учитываются, и, следовательно, 1.
является интегралом движения) . Будем обозначать «правые» спины индексами п:п,п, и„, а «левые» индексами й:йг й»...Угг« „. Т огда выражение для диагонального матричного элемента энергии можно записать следующим образом: Н.",'".,',"„= Н(Е,—,— С) — ~ 1...,, — ~ 1..., (2.3.13) а>а' а~а' Известно, что сумма всех собственных значений какой-нибудь матрицы всегда равна сумме ее диагональных элементов. Поэтому для решения задачи о нахождении средней энергии системы с определенным спиновым распределением (с заданным т), а именно а,л...л такую задачу и решал Гейзенберг, нужно взять среднее отН...,,„; по всевозможным перестановкам спинов при фиксированном г. Рассмотрим первую из сумм в (2.3.13) 1иа ° = ~ 1лл (2.3.14) а>а а Фа Среднее значение этого выражения равно сумме всех выражений такого типа для всевозможных выборов номеров п~...
и„, деленной на число этих выборов, равное ( ~. При всевозможных /Н~ (,г ~ выборах па каждый обменный интеграл 1„„, встретится в сумме ) раз. В итоге получаем (" ') г — 2! г М га а)) аа 2 (г — 2) Х аа'(г) 2)у(Ф вЂ” 1) Х (2.3.15) или окончательно л1 2 .й~ 2а(зв — 1) й аа аФа аФа' Часть энергии, зависящая от намагниченности, есть оР ъа Н(т) = — — ~' 1 * 2 Выражение (2.3.18) можно несколько упростить для тех случаев, когда все атомы рассматриваемого вещества одинаковы, причем каждый из них расположен по отношению ко всем так же, (2.3.18) 100 Совершенно аналогично д~а Х а а 2 а~а' 1(" — ') (" — ' — ') ~~),' 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
