Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полагая в уравнении (2.1.41) ) = [е[ ' е, представим уравнение состояния в виде 1(е Н) [е[<!-.лн!)ее1[ з ~ (2 1 50) ен/ае )е Заменяя параметры подобия критическгпни показателями р и 6, перепишем уравнение (2.1.50): " ,'~ = 1 ~ †' , " ) . (2.1.51) Далее введем новые переменные: т = [е[ — 31(е, Н) †приведенн намагниченность и й = [в[ †во(е, 1) — приведенное магнитное поле. Заметим также, что функция в правой части (2.1.51) зависит только от знака (Т вЂ” Та) и от Ь, что позволяет ее определить в виде ят= Е (Ь) или й= Т (ги). (2.1.53) пг' 70 «10 й 2.2.
МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА лго — — — — — ' — )~ф= Еф (2.2. 1) 0 024ЧОО00 10(2 1Ч1010202,2 до1лто Рис. 2.3 Зависимость приведенного магнитного поля й от приведенной намагниченности т для ферромагнитного диэлектрика СгВгз(о=Л1з) Тч=32,844'К, т= 1,215, 8=0,368. Точки одного типа относятся к одной изотерме. При Т>Т, в интервале 32,872 †,029'К вЂ” семь изогерм и при Т<Т, в интервале 32,469— 32,822'К вЂ” одиннддпать изотерм Рнс.
2.4. Зависимость пгз от Ь/т для ферромагнитного никеля, Т,=627,4' К, у= 1,34, 8=0,378. Точки одного типа относятся к одной изотерме 90 91 Теперь уравнение состояния можно записать в приведенном виде: Из уравнения (2.1.53) следует, что если изменить масштаб измерения 1 в )е)З раз и масштас~ измерения О в ~е1аз раз, то зависимость лт от й должна сбыть одной и той же для любых значений температур, хотя зависимость 1 от О описывается разлнчнымп изотермамн. Измерения, проведенные на ферромагнитном диэлектрике СгВгз [91 и на металлическом ферромагнетике К! [101, хорошо описываются полученным уравнением (рнс.
2.3 и 2.4), хотя экспериментальные точки ложатся на две разные кривые для Т< Тя и для т) ть. Экспериментальные значения критических показателей составляют для СгВгз Р=О,Зб8ч-0,005, 8=4,284-0,1; для % (1=0,378~- -1-0,004, 8=4,58ч-0,05. В настоящее время экспернментаторы интенсивно проверяют соотношения между критическими показателями, вытекающие из теории подобия.
В целом эксперимент подтверждает выводы теории, остаются лишь некоторые сомнения о существовании симметрии критических индексов по обе стороны от точки перехода. Имеются, однако, серьезные трудности при интерпретации экспериментальных данных, связанные с неопределенностью температурного интервала, где должны выполняться асимптотические законы, а также со сложностью учета различных факторов (примеси, внешние поля и т. д.), нскажающих истинные значения критических индексов.
Следует также иметь в виду, что поскольку само значение Т„не определено из независимых измерений, то иногда сравнение эксперимента с теорией подобия может носить характер подгонки. Молекула водорода — это простейшая модель магнитной системы, состоящей из двух ионов и двух электронов, объединенных в молекулу. Рассмотрим эту задачу, используя метод Лондона— Гайтлера [111. Уравнение Шредингера для мотекулы Нз имеет вид — — (Л, + Ля) — , 'се 11 — — — — —— гаь газ гы Здесь а и Ь обозначают ядра атомов, 1 и 2 — электроны (таким образом, например, г,з — расстояние второго электрона от ядра .а, Л~ — оператор Лапласа по координатам первого электрона н т, д ), Š— собственное значение энергии молекулы.
Функция ф предполагается зависящей от спиновых координат о~ н гтя. Так как гамильтониан не содержит спиновых переменных, то чр представляет собой просто произведение функции, зависящей от спнновых координат, на функцию шести пространственных координат кь уо ьн пли в более общем случае сумму таких произведений. Введение спина в волновую функцию имеет то преимущество, что ф должна быть всегда антисимметричной относительно перестановки всех координат электронов, тогда как пространственная собственная функция обладает значительно более сложными свойствами симметрии Собственные функции разделенных атомов.
Приступим к рассмотрению молекулярной задачи, исходя из собственных функций отдельных атомов. Собственная функция ф„соответствующая атому а, удовлетворяет уравнению Шредингера е~ з~и — Д, ф, —: (Е, -'- — ) ф, = О, ~а (2.2,2) ф, зависит от координат единственного электрона атома. Собственные функции отдельных атомов ф« н фь мы будем предполагать независимыми от спиновых координат. Для каждого этек|рона существуют четыре различных состояния, соответствующих одинаковой энергии Е„; электрон может находиться у каждого нз обоих атомов и может обладать положительным илн отрицательным спнном.
Возможные собственные функции соответственно ф.ц ф.р бац фьр. (2.2.3) Здесь а — спиновая функция для случая положнтельного спина (т,='/,), () — спиновая функция для отрицательного спина (~п,= и = — /,), ф, и фь имеют одинаковый вид, только в фь в качестве аргумента стоит расстояние ггч в то время как ф, зависнт от Четыре функции (2.2.3) нормированы, но не все ортогональны, так как,1 па= 1, ~',ар= О. « « Выражение ~~~ ~) ~( тф офац = ) о ттр фб = о « (2.2.4) ф =- ч',(гы) а(о,) $,(г,) р(о,), (2.2.5), или кратко ф=- ф.а(1) фьб(2). Однако такая функция ие оудет удовлетворять принципу Паули, который треоует антисимметрин функции относнтельво перестановки всех координат обоих электронов: Принципу Паули удовлетворяют следующие четыре «функции-определителихс ~ ф,(1(1) ~К,а(1) ~ ф, р (2) фа а (2) (2.2.6) ф. 1 (1) фь 1 (1) ф« — ~аь - ф ~ (2) ф ~ (2) ф ~ ф,ц(1) фаа(1) ( ф,а(2) фа а(2) ф а(1) фэ~(1) ф, а (2) 1рэ ~ (2) 92 представляет интеграл неортогональности (он зависит от расстояния между ядрами водорода и характеризует перекрытие волновых функций).
В первом приближении 5=0. Собственные функции молекулы (детерминанты Слетера). Приближенное решение задачи о молекуле водорода получается путем перемножения двух собственных функций отдельных электронов, например: Домножим уравнение Шредингера на комплексно сопряженные детерминантные функции Слетера, проинтегрируем по конфигурационному пространству обоих атомов и просуммируем по их спиновым координатам. При этом мы получим четыре уравнения для четырех неизвестных С,, которые н нужно решить.
В каждом случае получаются два одинаковых слагаемых, так как волновые функции антиснмметричны, а Н симметрично относительно перестановки электронов, поэтому в каждом случае достаточно произвести домноженне только на произведение диагональных элементов детерминантцой функции Слетера. Запишем одно из полученных уравненнй, например Е ~~ ф«а(1)фь~(2) фс(т =-,)' ) ф«ц(1)фь1)(2) Н ф~й (22 8) « « Выполняя интегрирование справа и учитывая (2.2.!) н (2.2.2), а также самосопряженность Н, получаем ~~~~ а (1) ~ (2) ~ ф Н фа (1) фь (2) и = '~~~а(1) р (2) ~ ф (2Ео 1 е ( « Четыре состояния (2.2.6) отличаются друг от друга спином электронов, находящихся у отдельных атомов.
В первом состоянии оба электрона имеют положительный спин, в последнем оба отрицательный, а во втором и третьем имеется по одному электрону с положительным и отрнцательным спином. Соответственно результирующему спину они распадаются на три класса; для первои функции т=1, для последней гп= — 1, для второй и третьей т=О. Функции (2.2,6) еше ие будут «правильными» волновыми функциями нулевого приближения; любая линейная комбинация этих функций также есть решение уравнения Шредингера. Матрнчный элемент 'у') ф„Нф,„г(т при тчьтп' исчезает при суммировании по спчновым координатам в силу ортогональности спиновых функций а и (). Существенно здесь то, что функция Гамильтона не зависит явно от спина, Поэтому матрица Н распадается на отдельные матрицы, соответствующие каждый раз определенному значению спина. Матрица энергии.
Энергия обмена. Для вычисления энергии в первом н собственных функций в нулевом приближении будем исходить из уравнений Шредингера (2.2Л) и волновой функции 1р, которую мы запишем в виде линейной комбинации функций (2.2.6): (2.2.7) ф= ~ С,фь ~=1 1, 1 — — — — ] ~ $. (!) Фо(2) ~(т го» гм ) (2.2.9) Подставляя (2.2.9) в (2.2.8), имеем (Е 2Е»),~1 п(1) ~(2)~~(тффа(1)Ч:»(2)= = ез ~Ь а(1) 6 (2) ~ ф ( газ газ о г ) ф,(!)ф (2)Ыт.
го, г„ (2.2.10) Аналогичным образом можно получить остальные три уравнения и записать систему уравнений в следующем виде: , ~' Сь' [Н;» ~ (2Ео Е) 5~»] = 0 где 5»=а(1)а(2), 5,= р(1)а(2), 5,= а(1) р(2), 5,= р(1) 6(2). (2.2.14) (2.2.16) Но 5с» и Нг» обращаются в нуль, если ! и й относятся к различным результирующим спинам 5, поэтому зр1 и зр4 с произвольными коэффициентами С1 и С4 являются правильными волновыми функциями нулевого приближения, относящимися к состояниям с т,=! и т,= — 1. Найдем собственное значение энергии Е для первого состояния. Первое уравнение из (2.2.11) имеет вид Ны + (2Е» — Е) 5ы = 0 (2.2.16) где 5и = ~ ~!тИ (1) зР»(2) фо(1) "1~а(2)] фа(1) фо(2) = 1 5~~ (2'2'17) Н„= — С вЂ” 7.
(2.2.18) При этом С ез~фз(1) фоз(2) ( + ] йт (2.2.19) го» гы г„) 94 5м — — ~',5» ~ ~1т зр;зра(1) зро (2), (2.2.12) о Н;»= ез~т'5 ~~4тзр; ( — + ) зр,(1)ф»(2), (2.2.!3) о представляет собой кулоновское взаимодействие атомов водорода, а ,7= е~зР,(1)»Р (2)зРо(2)фо(1) (,, ) лт (2.2.20) есть так называемый обменный интеграл. Энергия для случая лз,=! согласно (2.2,!6) равна с †.г Е= 2Е»+ 1 — лз (2.2.21) Такое же значение получается н для случая лзо= — 1 из четвертого уравнения.
Перейдем теперь к случаю лз,=О. Собственные значения энергии теперь получаются из условия равенства нулю определителя из коэффициентов при Сз и Сз во втором и третьем уравнениях (2.2.1 1): Нзз+ (2Е» — Е) 5»з Нзз+ (2Е» — Е) 5»з 0 (2 2 22) Нэз+ (2Е» — Е) 5зз Нзэ -' (2Ео — Е) 5»з где 5»з = 5»з Нзз= Нзз= 5 =5»»=1 Н =Н,=С, Поэтому Нзз -г (2Е» — Е) 5» = + [Нзэ+ (2Ео — Е) 5-]- Выбрав положительный знак, получаем с+! яз (2.2.23) (2.2.24) (2.2.26) фз= (зрз зрз)/1 2, в случае же отрицательного знака С вЂ” / Ез= 2Е»т о ! — лз ' (2.2.26) (2,2.27) фз = (Фз -'-.
Фз)!У2 Видно, что второе собственное значение тождественно с собственным значением (2.2.21), полученным при то=+!. Следовательно, три собственные функции фь ф4 и фз вырождены. Во всех трех случаях результирующий спин имеет величину 5=1. Собственные функции зр, и фз представляют собой пронзведеине пространственной функцин на спиновую функцию и соответствуют полному свану 0 и ! зр,= [зро(1) зро(2)+ фо(1) ф,(2)] [а(1) р (2) — р (1) а(2)], (2.3.1) ~ лр (г )лр„(г~)е(т = 0 при тчьи.
(2.3.2) С+Л С вЂ” Х (2.2.28) 1-су 1 — Бл (2.3.3) ф(лД = фл,л, 97 4 Г. с. К»лелле фс = Й (1)лР»(2) — лйр(1)лР (2)) [а(1)р(2) - р(1)а(2)!. Таким образом, из четырех полученных уровней мы имеем три вырожденных — трипзет (5=1) и один отдельно лежащий уровень — синглет (5=0). Триплетное состояние соответствует «ферромагнитному» состоянию молекулы водорода, а синглетное— «антиферромагннтному». Какое нз этих состояний будет реализовано, зависит от знака ооменного интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
