Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 18
Текст из файла (страница 18)
й„, прн этом может быть произвольно большое число одинаковых волновых чисел, и все они должны иметь вцд 2пг1/Л! Каждая отдельная спиновая волна обусловливает в энергии часть УА„- 2Н р. Вместо того, чтобы суммировать сначала па всем состояниям с одинаковым г, а потом по всем г, можно получить всевозможные состояния кристалла, введя произвольное число и= О, 1, 2, ... спиновых волн с волновыми числами йо = О, йз -- 2п1ЛГ, ..., Ин — ! = — 2п (Л' — 1)1Лг.
Для линейной цепочки получаем .чп г дА 1 — Л! 12— о (2.4.23) ез о!з 1= Л!и — 2 4п~ — „„. (2я)з,~ е — 1 о (2.4.24) Легко видеть, чта интеграл расходится, 1= — . Это оз. ч что в с ст з в системе возбуждается бесконечное число спнновых волн и е.Феминпмуму энергии соответствует неферромагнитное состояние. еромагнетпзм не возникает в линейной цепочке, хотя мы и предпоро. . Д, ных ело жплп, чта обменный интеграл положителен.
Для двумер. ршеток в рассматриваемом приближении также получается, чт ф ро еомагнетизм невозможен и только для пространственных решеток получаем ферромагнетизм; При этом мы вводим в статистическую сумму много лишних состояний, которые, однако, соответствуют большим значениям энергии и поэтому вносят пренебрежимо малый вклад. Статистическая сумма прп этом записывается в виде га — 1 =-- ( —" —,",") П а=о ОФ ~~~' ехр ~:"а (2Н(2 —, 7 ( — '" з)) ) ~ = о =О м — ! ) 1 — езр( — (2УП -1- Лаз)ЪТ! П ' (2'4'21) а=о~ = ехр ( 1ли и ьт т, е., как и следовало ожидать, для магнонов получается статисти- ка Бозе.
Подставляя (2.4.21) в (2.4.17), мы получим для намагни- ченности х — ! 1= У(з — 2)2 ~~~~ езР!"+Взп 1 а=! где 2Нп а --= ьт (2.4,22) 106 Нас интересует намагниченность для предельного случая оз- О. Прп подсчете намагниченности заменим в (2.4.22) суммирование интегрированием по й и распространим его да бесконечности, учитывая, что большие значения й дают пренебрежимо малый вклад в интеграл за счет экспоненппальной зависимости в знаменателе. так как суммирование по й„й„, й, эквивалентно для простой кубической решетки интегрированию по й; — М о(12 ЙИ,=- ' 4пйзМ (2я)з " о (2л)з / Положив х —.
рйз, получим закон Блоха 1-=- Лгр (!в (2,4.25) ( ~ Т '-'( Т 8 Р а, (2.4.26) —.р — —,,1 Таино! образом, прп Т=О кристалл полностью намагничен, все электрончыс спины направлены параллельно полю и магнитный момент 1зо=Л1р. Напомним. что при этом предполагалась положительность обменного интеграла. Для гранепентрированчай кубической решетки (Х!) 1 — Х(з(! — ! ( Т )Н1, Т вЂ”.. 97 У 4 Тз; 1 о Для объемноцентрированной (Ее) 1 — .Ч(з (! — — ( — ) ч'), Т, =- 6,1 —, При одинаковом обменном интеграле Т„тем больше, чем больше число ближайших соседей У, т. е. чем больше соседей, тем труднее разрушить магнитный порядок. 107 На рис. 2.5 приведена зависимость (и(Т).
Закон «372» справедлив в области низких температур, при этом интервал «низких» температур довольно широк, например при Т/Та-0,5 ошибка меньше 1о7о. Физическими причинами появления неблоховского поведения 7,(Т) при повышении температуры являются возбуждение спиновых волч с большими й и взаимодействие между магнонамп. Опп дать ферромагнетизмом. Точка Кюри такого ферромагнетика будет определяться в основном параметром Уь Сейчас открыт целый класс таких одномерных или линейных ферромагнетиков, одним из примеров которых может служить соединение Со ((т)СзНз) зС1з (рис. 2.7), в котором ионы Л П П с, мр„г, .--. -р-. лельчых цепочек, внутри которых между иовами Со по оа действует ферромагнитное взаимодействие (точка Кюри -3,7'К). Существуют О6 П также слоистые структуры, в которых магнитные ионы Я=и нз внутри слоя связаны ферромагнитно, а взаимодействие Рис. 2П между слоями гораздо слабее.
Такие структуры представляют собой класс двумерных ферромагнетиков [13~. ОУ7 п,пх г/в и пю ого ото оро ою Рис. з 6 Температурная зависимость намагни«енности никеля (/). Теория молекулярного поля: ' — 7=чь Д а=а» «Закоч ТзР» Блоха сыграл фундаментальную роль в теории ферромагнетизма, поскольку (см. (2.4.26) и 3 3.1) позволил впервые произвести точное определение константы обменного взаимодействия.
Мы получили выше, что ферромагнетизм даже при условии Х)0 возникает только в трехмерных кристаллах, и рассмотрели типичные решетки металлов. Однако сушествуют пространственные решетки, в которых можно выделить систему параллельных цепочек магнитных атомов, связанных ферромагнитным обменным взаимодействием Уь В то же время ближайшие атомы двух соседних цепочек связаны более слабым обменным взаимодействием Уз. Такая структура линейных цепочек должна рассматриваться как одномерная и может обла- 108 $ 2.6. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ Учет периодичности потенциала, действующего на электроны в идеальном кристалле, позволяет установить, что их энергетический спектр имеет структуру квазииепрерывных полос или зон, разделенных участками запрешенных значений энергии, а волновая функция представляет плоскую волну, промодулированиую в «такт» кристаллической решетке.
Волновые функции различных состояний электрона задаются номером зоны (главное квантовое число) и квазинепрерывным квантовым числом — вектором квазиимпульса й. Каждой энергетической зоне отвечает определенная область возможных значений вектора )с в обратной решетке — зона Бриллюэна. Все эти результаты вытекают только из трансляционной ннвариантности кристалла. Учет точечной симметрии решетки позволяет также получить ряд общих сведений об электронном энергетическом спектре. В одноэлектронном приближении уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид 2гн (Е )т) ф 0 (2.5.!) где У вЂ” периодический потенциал решетки, в который можно включить также периодическую часть взаимодействия электронов друг с другом, понимаемого, например, в смысле Хартри — Фока.
Введем векторы решетки п=пгаг+лзаз+азаз, где дп — произвольные целые числа, и векторы обратной решетки Ь=йгЬ|+ +йзЬз+йзЬз, где Ьз=(а;аа1/(а;[агав)). Учтем условие периодично- 109 сти потенциала )г(г+и) = )г(г), записав )г в виде ряда Фурье по векторам обратной решетки (2.5.2) 1/ — ~ 1/~ езатьг л,л,з, Будем искать решение для волновой функции ф в (25.!) в виде интеграла Фурье: ф (г) = ) гт (Ь) егат с)йт г(йз с(йз. Тогда волновое уравнение в )с-представлении с учетом (2.5.2) принимает вид (2.5.3) (Š— — ) а(Ь) = ~~)„1/ьа(Ь вЂ” 2зтЬ).
(2.5.4) Азазаз Отсюда видно, что благодаря периодичности решетки связанными между собой оказываются только те а(Ь), которые соответстпугот значениям й, отличающимся друг от друга на произвольный вектор обратной решетки К=2пЬ. Поэтому интеграл Фурье (2.5.3) превращается в ряд Фурье: (2.5.5) 1!О фа(г)= е"." ~~ а е"-'"'= е" У,(г), лзлрь где функция Уа(г) удовлетворяет требованию трансляционной ин- вариантности Уи (г+ и) = У (г). Таким образом, доказано одно из утверждений, сделанных в начале параграфа, а именно, что волновая функция электрона, движущегося в поле периодического потенциала решетки, пред- ставляет собой плоскую волну, промодулированную в такт решет- ке. Из (2.5.5) следует, в частности, теорема Блоха: зр(г - и) =- е'"'атр(г).
(2.5. 6) Зочную структуру электрончого энергетического спектра мож- но выявить, подставляя (2.5.5) в уравнение (2.5.1). В результате находим следующую систему линейных однородных уравнений для определечня коэффициентов а в выражении (2.5.5) для волновой функции ф(г): «з()г ' 2пд) 1 Ч Е вЂ” 1 о„— ' ~ аа — — ~ аа-ь )гь (2.5.7) а,ирь Определитель веществен в силу условия )гь =- )г ь.
Все диаго- нальные элементы определителя содержат Е, поэтому после при- равнивания определителя нулю при фиксированном значении й мы получаем набор корней, собствснчых значений Еь Ем ..., Ег, ..., ко- тор рые соответствуют дискретным уровням энергии изолированного 'атома. При отклонении М от указанного фиксированного значени я тором конечном интервале мы получим «размазывание» дискретных уровней Ег в непрерывные области допустимых зн ачений ии — энергетические зоны. Остается показать, что физический смысл имеет только изменение допустимых значений Ь в не ром сравнительно небольшом интервале. Это следует пз того обстоятельства, что одинаковому физическому состоянию электрона соответствует как волновая функция фи(г) (2,5.5) с волновым вектором Ь, так и соответствующая функция тр» (г) с к'=К+ -Л- о «е я Л. Рис.
2Д Зависимость Е(Л) в олномерноа мелели Кроннга — Пенни для первых двух о; х зон; а — представление приведенного волнового вектора, б — представление свободного волнового вектора, пунктиром показана парабола л, тя сво- бодного электрона +2лЬ=Ь+К, т. е. с волновым вектором, отличающимся от исходного на произвольный вектор обратной решетки, Таким образом, для однозначного определения электронных состояний ооласть допустимых значений М не должна превышать 2пЬо где Ь; — единичные векторы обратной решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
