Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(2.3.18) М (Ф вЂ” 1) как и любой другой (что имеет, например, место в кристаллическом Ре, Со и )Ч!). Тогда можно написать ~ 1„= Ж1„ (2.3.19) а~а' где (2.3.20) представляет собой сумму всех интегралов обмена, относящихся и какому-то одному произвольно выбранному атому. Это дает ма Н(т) = — — 1,.
У (2.3.21) Из (2.3.21) наиболее ярко видна эквивалентность теории Гейзенберга и теории молекулярного поля Вейсса. Но в теории Гейзенберга уже получен правильный порядок величины 1, который определяется величиной интеграла обмена между соседними атомами металла.
Критерием ферромагнетизма в теории Гейзепберга является условие 1>0. Выражение (2.3.21) можно легко получить и с помощью дираковской векторной модели [121. Оператор энергии в данном случае можно записать в виде (Х вЂ” суммирование по ближайшим соседствам) Н= — 2125 5;, (2.3.22) (2.3.23) в=Н= — 2115 5а, Результирующий спин отдельного атома 5 порядка 1, а 5'-т 101 а квадрат результирующего вектора спина всего кристалла в виде )'~;3,)а=~5а — . '~ 5,5, = =- Н5(5 ' 1) -'- ~~ 5 5 ° = — 5'(5' —, 1), (2.3.24) а~а' где 5' — спин всего кристалла из Л' атомов, а 5 — спин отдельного атома. Число членов в двойной сумме равно М(Х вЂ” 1), поэтому среднее значение отдельного члена в двойной сумме равно 5' (5' + 1) — У5 (5 + 1) (2.3.28) 5 (У вЂ” 1) Число членов в сумме (2.3.23) равно — Жг, где з — число 1 2 ближайших соседей.
Поэтому собственное значение Й есть Й =- (5'(5'+ 1) — Л'5(5 '. 1)1 (2.3 26) и для ферромагнетиков -А'. Поэтому с точностью до 0 (!УХ) имеем УУ= — зУтив/Л' аналогично (2.3.21). 4 2м. спинОВые ВОлны. 3АКОн БлОхА В предыдущем параграфе пандева зависимость от намагниченности для средней эчергии системы. Будем искать теперь точное решение для энергетического спектра системы Ж атомов. В качестве собственной волновой функции нулевого приближения возьмем стммх (2.4.2) (2.4.7) (2.4.8) 102 яр = Ха„,п, „тр„,„,,„ (2.4.1) Подставляя в уравнение Е~эп,„ф(т= '),"Гйп,„,оф(т и и ф из (2.4.1) и используя результаты З 2,3, получаем Еа„п, = (!кЕп — !кС вЂ” иУ) а„,„, — УЪ а ° .
(2.4.3) п~пя Число пар соседних неодинаковых спинов (т. е. число членовсуммы) плюс число ъ пар соседних равных спннов независимо от распределения спинов равна ЛиУ2. Пусть Е =- Л~~ Е, + С вЂ” — Уг) + 2Уе (2.4.4) 2 Тогда из (2.4.3) получим систему уравнений 2еа(„) = ~~~ (а(„,) — а1„,). (2.4.5) ~п ! е ! При этом наименьшее значение е при У>0 соответствует самым низким энергиям, при У<0 — самым высоким. Будем искать теперь решение (2.4.5). Для различных значений г )зассмотрим линейную цепочку Л' атомов, в которой каждый из атомов имеет два ближайших соседа. 1. г=О, все спины направлены «налево».
При этом имеется только одно состояние н энергетический спектр состоит из одного уровня (е=О). В случае У>0 этот уровень соответствует минимальному значению энергии Е; получаем спонтанное намагничивание, т. е. ферромагнстизм. 2. г=!, один спин направлен «направож Перевернутый спин и может находиться у каждого из и атомов и 'система уравнений (2.4.5) в данном случае запишется в виде 2еа„= (а„— а ~~) + (а„— а„,). (2.4.6) Решение дается формулой а = и"'и где й = —, 4! = О, 1 ... Ук — 1; 2лд п М а= 1 — соай. Решение (2.4.7) называ!от спиновой волной, так как собственная функция, описывающая вероятность нахождения перевернутого спина у данного атома решетки, имеет периодический характер.
В квазиклассическом приближении спиновую волну можно представить как волну малых отклонений спина от оси г, возникающую благодаря прецессии спинов около положения равновесия с малои амплитудой (рис. 2.5). Рнс. 2 5. Пояукякссическяя наглядная картина сииновых волн Энергия спиновой волны при малых й запишется в виде «я а= — и Е„= УУее. (2.4.9) 2 Можно ввести эффектщуную массу тпфф=й/2У и рассматривать распространение спиновфй волны как движение магнона — квази- частицы с такой,эф!()йктивной массой. Энергетический спектр в данном случае имеет вид полосы, ширина которой определяется величиной обменного.
интеграла епип= — 0 (й=О); е„п„=2 (й=и), аппп Епип — 2У. 3. г=2. В этом случае имеют место два различных распределения двух «правых» свинов. а) Правые спины и, и ия не являются ближайшими соседямн хтя=~и1+! и уравнение (2.4.3) записывается в виде (2.4.10) б) Правые спины и1 и и,— ближайшие соседи. В таком случае перестановка и, с ия никакого нового распределения не дает и уравнение (2.4,3) сводится при этом к 2е а„м ~ = а„„+1 — а„ „,.я --'- ап,пп.1 — а„ ь„ч ь (2.4.11) Совместное решение уравнений (2.4.10) и (2,4.11) является сложной задачей. Эта задача была решена точно Бете.
Если число правых спинов мало г«М, то число уравнений (2.4.11) меньше числа уравнений (2.4.10). Приближенно можно считать правые спины 103 а в трехмерном случае аь, ь = — ~~)~ ~у (1 — е ' '), (2.4.!6) < .-ч г=! Собственные значения З !пав 1= — АТ вЂ”, дН (2.4.17) Г в=- ~ (1 — созА,).
<=! (2.4.14) где (2.4. 18) Е = '~" ехр ( — (Е, — )», Н)1АТ ) < )г; -= (М вЂ” г))г — гр = 2гпр, !05 104 независимыми частицами и исключить из рассмотрения случаи, когда они ближайшие соседи. Тогда решение (2.4.10) принимает вид п«п .. пан»Р,»й.п,) .' ~ап»<«,+» ио (2.4. 12) е (Аг Аз) -'— (1 соа А<) -- (1 — сов А») (2,4,13) складываются из собственных значений обеих спиновых волн с волновыми векторами А~ и А» Решение (2.4.12) удовлетворяет (2.4.11) лишь для А< и А»«2п (при условии а=8=.1).
Поэтому, рассматривая решение (2,4.12) как точное, мы ограничиваемся лишь случаем низких температур, когда роль играют только наинизшие энергетические уровни и число правых спичов мало (г«Л'), т. е. мы можем в первом приближении рассматривать невзаимодействующие квазичастицы. 1(ля произвольного числа г в этом же приближении Ширина энергетической полосы в этом случае равна 2г1. Число различных состояний системы равно ( ) = г'. На самом гМ -,— г — 1з г же деле существует лишь ( ) = г»различных состояний. Разли~г) чие между г' и г, сказывается лишь при г ) '!/М . Бете показал, что при точном решении уравнения Слетера исчезают «лишние» решения приближения Блоха и число различных состояний равно () ).
В случае г =- 2 ( ) — М из этих состояний совпадают с блог) ~г) ховскими, а Л' остальных отвечают так называемым «спиновым комплексам», т. е. состояниям, при которых оба правых спина как бы слипаются, образуя молекулу из двух правых спинов. Волновые функции этих состояний имеют острый максимум при соседстве спинов и экспоненциально убывают с увеличением расстояния между н и ми.
Соотношение (2 4.14) легко обобщить на случай плоской и пространственной решетки атомов. Для этого атомы, у которых имеется «правый» спин, будем характеризовать радиус-вектором п, вместо чисел и, а спиновые волны волновым вектором й, вместо скалярного волнового числа. В случае квадратной плоской решетки à — ) 1(1 — <.'оз й) ) + (1 — соз й) ~)), (2.4,15) /=-! где ,, з...: — р е гь г ...г.— радиус-векторы атомов — ближайших соседей. Итак, мы получили выражение для энергетического спектра нашей системы и можем перейтя к рассмотрению условий существования ферромагнстизма. Мы уже получили одно необходимое условие 1>0 и рассмотрим теперь, как зависит возникновение феромагнетнзма от структуры решетки.
Для этой цели нужно нссле.е, д овать магнитный момент кристалла в слаоом магнитном пол, направленном, например, направо. Если все Л' спиноз или по крайней мере некоторое их число ориентируются в этом поле направо, то кристалл будет ферромагчнтным. Подсчитаем число «левых» спинов как функцию температуры. Средний магнитный момент системы определяется выражением 2 — статистическая сумма, Е, означает энергию 1-того состояния кристалла при отсутствии магнитного поля и р, — его магнитный момент.
Состояния с определенным числом «левых» спинов имеют одинаковый магнитный момент т — относительная намагниченность, р — магнитньш момент одно- го атома. Энергию Ртого уровня при отсттствин поля можно запи- сать согласно (2.4.4) и (2.4.14) в виде Г 1 Е,= сопз1-;21 ~ (1 — совА,) = сопз1+.1 ~~ А, (2.4.19) <=1 < — — 1 причем последнее прсобразование справедливо только для малых волновых чисел А«, т. е. для низкочежащих возбужденных уровней, которые будут заселяться электронами при низких температурах, Полная энергия Етого уровчя в поле Н запишется в виде Е; — Нр; = — МНр -' ~~~ (2Нр -- 1А,). (2.4.20) Подставляя (2.4.20) в (2.4.18), получаем статистическую сумму — л ! 2 о 2=- ехр ( — и) 1з~ У ехр( — ! ч,х(2Н вайо)'! ит 1 х ! , От ~„ о=о М З ! Вторая сумма при этом берется по всевозможным комбинациям волновых чисел 12! ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
