Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В результате мы можем перебрать все возможные электронные состояния, задавая поочередно номер энергетической зоны ! и изменяя для каждой зоны Ь в указанных выше пределах. Соответственно этому используются два способа представления: 1) представление приведенного волнового вектора, когда для всех зон Ь изменяется в одном и том же минимальном интервале и ч н и и — яма яь ямйдям яьйзхь а, к а ' а " аз ' аз з аз 2) представление свободного волнового вектора, к вал выби ается т л ора, когда этот интерирается только для первой зоны, а затем он соответственно расширяется, например — — ( й„, ( — '; а, ' а, ' 12п и — — <йл,< — — ' а, а и 2л ( й», ( —, а, а, — '" <й„,( '" а1 ' а1 представляющие собой частный случай функций (2.5.5).
Поправка к энергии в первом приближении Е1 = ) "'(фв~'"» =-. реев. Энергия возмущения во втором приближении 1 (1ре(Р1эрв) 1~де ~ч~ ) ( ен~»р1'ат(я е=- 7 » Ее — Е л ń— Е», »~ »т»з Так как К вЂ” периодическая функция (2.5.2), которую можно преставить в виде но пред- Р= ~1 $'»„ес»а", то матричный элемент т1, »ч 1, 1 ~.э ~ет~ » и 1к»сК к» »л отличен от нуля только в том случае, если К вЂ” К' =- К„ — — „ есть произвольный вектор обратной решетки и при этом 1 е»' = ь'н». 112 н т. д.
Все сказанное выше . ь ше можно проиллюстрировать точными результатами для одномерной моделн Кр и — П ронига — еннп, расчет которой можно найти в любом учебнике по элект нн " тазтов (рис 28) Для пе ехода к еа ь р д к реальному случаю трехмерного кристалла полезно рассмотреть два предельных случая слаб й ой и сильной связи нк нй н .
эл трона с решеткой, когда соответственно в качес ф) ц " нулевого приближения можно взять либо плоские волтве волновых ны, либо атомные волновые функции. П иб риближение почти свободных электронов. В качестве собственных функций нулевого приближения выбираем плоские волны фв:= е'", (2.5.8) Таким образом рис 2 9 Критические брилэюэновские эииии и пеРвые пять бриэлюэиовсиих зои для двсмериой квадратной решетки 113 2т 1 к» (2.5.9) к» Вследствие нашего предположения, что ь1(г) мал, Еэ представляет лишь малую поправку всюду, за исключением тех значений а, где знаменатель обращается в нуль, т. е. когда 'Р =- (К вЂ” ' К»)'.
(2.5.10) Минимальный объем, в катаром не содержатся векторы, удовлетворяющие условию (2.5.10), называется зоной Бриллюэна данной решетки. Удобный способ нахождения геометрических мест точек, удовлетворяющих условию (2.5.10), и в частности построения зон Бриллюэна, состоит в следующем. Условие (2.5.10) эквивалентно 1 требованию К» ' 1К-,' — К ). 2 Поэтому, проводя плоскости (или линии двумерной решетки), перпендикулярные линиям, соединяющим данный узел обратной решетки со всемиостальными, и расположенные на половине расстояния между ними, получим грани зоны Бриллюэна.
3аны На рис. 2.9 приведены полученные таким образом пять первых зон Бриллюэна для плоской квадратной решетки. Легко убедиться, что размеры первой зоны Бриллюэна как раз удовлетворяют требованиям однозначности К и поэтому она может служить областью, в которую свертываются все энергетические зоны в представлении приведенного волнового вектора, В приближении свободных электронов можно получить довольно проста и вид поверхности Ферми для металлов.
Поверхностью Ферми металла называют поверхность, ограничивающую объем в й-пространстве, в котором все состояния при 0'К заняты. Если мы начнем добавлять электроны в пустую решетку, то поверхность Ферми будет сначала сферической и радиус этой сферы будет увеличиваться до тех пор, пока не коснется поверхности зоны Брнллюэна.
Далее сфера начнет пересекать границы зоны, но так как любой точке вне первой зоны мы можем, переходя к представлению приведенного волнового вектора, найти эквивалентную тачку внутри зоны, то наша поверхность Ферми как бы отразит«я от границы зоны, И теперь наряду с заполнением первой зоны бу- дет происходить и заполнение второй зоны, а затем н последую|цих зон. Перооя , яояо Третья Четвертая зояо я яо ф йа ч) 1! 1 !! ! 1! Ф Ъь. га) Га> батарея зоео го) (ар ) Г 1 1 О ) ! 1 а1 гй ГЬ1 Рнс.
2.10. Построение Ферми-поверхностей ддя двхмериой квадратной решетки по Харрисонт Харрисоном [!41 был предложен метод построения Ферми-поверхности в приближении свободных электронов. Нагляднес всего ега метод можно продемонстрировать в схеме расширенных зон, 114 фа(г) С~ен0 1фа(г и) и (2.5.11) где ф,(г — и) — атомные волновые функции, и суммирование ведется по всем атомам. Вычислим энергию первого приближения для электронов в решетке металла исходя из собственных функций нулевого приближения (2.5,11): г в Ф* ( — Л -1- к(с)) Фос 2ш 11ф)вот (2.5.!2) где )х(г) — потенциальная энергия электрона.
1!5 т. е. рассматривать периодическое повторение зоны Бриллюэна в й-пространстве. Для построения Ферми-поверхности Харрисон предложил возле каждого узла обратной решетки проводить сферы нужного радиуса йя (радиус определяется количеством валентных электронов, приходящихся на атом металла йя=-. (Зпви)п*), которые в общем случае будут пересекаться друг с другом и с границами зон Бриллюэна. При этом, если точка й-пространства находится внутри одной сферы, то заполнено одно состояние, если внутри двух, то заняты состояния в 1-й и 2-й энергетических зонах н т.
д, Если точка не лежит ни в одной из сфер, то состояние свободно. С помощью такого построения получаются довольно сложные поверхности Ферми, которые хорошо описывают свойства большого числа непереходных металлов. На рнс. 2.10 приведен результат построения Харрисона для простой квадратной решетки. Фактически в данном построении использовано приближение пустой репаетки, т. е.
равный нулю потенциал К Введение отличного от нуля потенциала приведет к тому, что при переходе от одной энергетической зоны к другой на границе зоны Бриллюэна будет происходить разрыв в энергии ЛЕ=- 2!)сна! (область запрещенных значений энергии (см. рис. 2.8)), Качественно «поправить» вид поверхностей Ферми можно с учетом того обстоятельства, что к границе зоны Бриллюэна все энергетические поверхности должны подходить по нормали (скорость электрона нли дырки на поверхности зоны Вриллюэна обращается в нуль (рис. 2.8)). Приближение сильной связи.
Другой путь построения электронной теории металлов — это приближение сильной связи, когда предполагается, что энергия связи электронов с атомамп металла гораздо больше. чем кинетическая энергия их движения сквозь решетку. Качественно эта модель дает ту же самую картину энергетического спектра, что и модель свободных электронов. Волновые функции нулевого приближения в данном случае строятся в виде функций Блоха — линейных комбнчацпй атомных фучкцпй, удовлетворяющих условию (2.5.6): аа — б — Ео — (7 (г) ~ тро (г) = О, 2т (2.5.13) (2.5.15) ИО)7 ('ггту Рис. 2.!!..г(ниии равных энергий аая квадратной решетки !16 Уравнение Шредингера для изолированного атома имеет вид где Е, — собственное значение энергии, а (7(г) — потенциальная энергия электрона в изолированном атоме. Подставляя (2.5.11) и (2.5.13) в (2.5.12), получим !' Ъ е гко' чйо(г — п') ~.
егхш(!г(г) — Сг(! г — п()) Ч>а(г — и) Жт Е=Е о ( ~„у еки — иве ч)0 (г и ) ~рч (г — и) от п' и (2.5.14) Интегралы зависят только от разности и — п', поэтому переобозначим (п--п')- п, (г — п)- г. Энергия электрона в решетке запишется в виде Х ( Ф~ ( — и) 1!г (г) — сг (г)! Фе (г) е !кго пт Е=- Ео Х ) ~ре (г — и) 'ро (г) е'к" Лт о Если !и( велико, то волновые функции Ч'о практически не перекрываются и поэтому в (2.5.15) следует учитывать только первые члены сумм по п. Для п=О полкчаемЕ=Ео+ +С, где С не зависит от (с, т. е. в результате взаимодействия узла с самим собой получается лишь постоянный сдвиг атомных уровней энергии.
Рассмотрим п~О. Вол !зп ядра соседнего атома 1г(г) будет велико, в то время как (l(г) «нулсвого» атома в этом месте уже практически равно нулю. Поэтому для так называемого интеграла переноса А„= ) тр" (г — п) !)г (г) — (7(г)1 !го(г) Ит (2.5.16) можно получить сравнимое по порядку величины с С значение, несмотря на уменьшение перекрытия волновых функций. Следовательно, Е = Ео 1 С вЂ” ~~ А„е"".
(2.5.17) оыо Рнс. 2.!2. Характерные открытые иаазнергетическпе поверхности иля простой (а! и гранедентрированной (д) кубических решеток Предполагая далее, что интегралы переноса для ближайших со- седей все равны А, получаем Е= Ео С ' А~[~~е'"" и (2.5.18) где суммирование ведется по ближайшим соседям. В конкретном случае простой кубической решетки из (2.5.18) получаем Е = Ео -:. С -'; 2А(сов $ — сов т! — соа ь), (2.5.! 9) где з=йан П=йаз, Е=йаз представляют собой составляющие волнового вектора в напранленнц трех осей кристалла.
Вблизи дна зоны мы можем разложить косинусы в ряд по составляющим й и получим $2.6. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В МЕТАЛЛАХ ййы уже видели, что учет одной трансляционной симметрии в кристалле дал нам много сведений об общем характере энергетического спектра. Но кроме трансляционной симметрии кристалл обладает еше и другими типами симметрии, которые оказывают существенное влияние на его электронный энергетический спектр. Рассмотрим, точечную группу симметрии кристалла, т. е, совокупность операций симметрии, каждая из которых преобразует кристалл, а следовательно, и гамильтониан сам н себя. Пусть)г'один пз элементов этой группы. Будем считать, что мы нашли волновую функцию фь, соответствующую некоторому волновому вектору (г в зоне Брпллюэна.
Применим теперь операцию симметрии к волновому вектору й, при этом мы получим в обратной решетке новый волновой вектор. Подействовав всеми операциями симметрии на вектор й, мы получим так называемую «звезду» векторов й. При некотором специальном выборе й, например вдоль осей высо- 118 Е = Ео -'- ЗА(!ш)о, (2.5.20) т. е. формально ту же квадратичную зависимость от К, что н для свободных электронов. При возрастании волнового вектора К энергия будет уже существенным образом зависеть не только от его величины, но и от направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
