Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. лишь одну компоненту Фурье У« — — (/ х, которую обозначим через У. Тогда система (9.18) будет содержать следующие трп уравнения: (йю — а) С(Ко)+!/[С(Ко+ 8)+ С(К« — д)] =О (9 20) () к,з-а — е) С (Кз+ д) + 0 [С (Кз+ 2я) + С (К«)] = О, (9.2! а) (Хх,.-а а) С (Ка д) + (У[С(Ко) + С(Ко 2д)] = О. (9.2!б) Легко видеть, что второе и третье уравиеиия получаются пз первого заменой К«на К, ~д. Заметим, что в данной задаче коэффициенты С(К«+2д) н С(К« — 2д) становятся связанными между собой и следует выписать нз системы (9.18) еще два уравнения: ()хззх — а) С (Ко + 2я) + (l [С (Кз + Зд) + С (К«+ д)] = О (922) ().к„за — а) С (Ко — 2д) + У [С (Ко — д) + С (Ко — Зд)] = О (9 23) Далее мы можем выписать уравнения для С(Ко ~ Зд), н т.
д, до бесконечности. Во всех этих уравнениях энергия е будет одной и той же, и она-то и подлежит определению, а через Хх,+,к обозначена величина лз(К, + зд)з12т, где з — целое число. Мы видим, что система из бесконечного числа уравнений получается даже для задачи, в которой потенциал решетки имеет чаи~а одну компоненту Фурье и. Итак, система уравнений (9.18) связывает данный коэффициент Фурье С(К) с бесконечным числом других коэффициентов 318 Фурье, которые отличаются от К на вектор обратной решетки. Таким образом„мы получаем систему из бесконечного числа независимых уравненин одинаковой формы, вычитая из вектора К последовательно возрастающие векторы обратной решетки, как только вьнпппем уравнение для данного К.
Например, вычитая из К вектор 6', получим: (Ак-о — е) С (К вЂ” 6') + ~„Ио С (К вЂ” 6' — 6) = О. (9.24) ~ и с(К вЂ” и) СК= с ° — (Д2К)в ) (9.25) где 1,х мы вгаписали в явном виде: ),х — — йзК'!2т. Запись (9.25) подчеркивает, что коэффициент С(К) может оказаться большим, если кинетическая энергия Ь'К')2гп плоской волны ехр(~Кх) почти равна энергии, соответствующей состоянию, описываемому рассматриваемой волновой функцией фк(х). Ситуация становизся особенно интересной, если С(К) велико, но прн этом существует другой коэффициент С(К вЂ” 6'), который отвечает плоской волне ехр [((К вЂ” 6')х) с почти той же кинетической энергией: в2 (к а')2 ьзк2 вм 2т (9.26) Это значит, что может быть велик также и сам С(К вЂ” 6'), поскольку. новый знаменатель в (9.25) тогда (9.25) можно переписать, заменив К на К— Х иос(К вЂ” и' — 6) С(К вЂ” 6') =— е — д2 (к — и')'(вп~ коэффициент тоже мал, и 6', в виде (9.27) 319 К счастью, на практике мы часто приближенно вместо бесконечного числа уравнений можем с успехом ограничиться одним или двумя уравнениями или (что даже более ванцю) одним или двумя членами в разложении потенциальной энергии (одннмдвумя коэффициентами 6а), В этом и состоит объяснение секрета практической полезности развитого здесь метода.
Например, в случае двух уравнений детерминант из коэффициентов С будет типа 2 р,' 2, и соответствующее уравнение, полученное приравниванием этого детерминанта нулю, сразу дает два корня — собственные значения энергии а. Зная эти два корня, легко далее найти решение для отношения двух коэффициентов С Приведем теперь одно соображение в пользу предположения о том, что возможны обстоятельства, когда в волновой функции ф две компоненты оказываются доминирующими. Полезно переписать (9.18) в иной форме: Следовательно, условие того, что в этом сильно смешанном состоянии доминирующий вкладдают компонснты К и К вЂ” 6', можно записать в виде (К вЂ” 6')а = Кз.
(9.28) Л это условие точно совпадает со знакомым из гл. 2 условием брэгговского отражения рентгеновских лучей или электронов или нейтронов от плоскостей кристаллической решетки. Благодаря сильному смецсиванию мы должны считать, что обе плоские волны ехр[(КХ) и акр[а(К вЂ” 6')х) являются важнымн компонентами волновой функции (орбптали) фл(х) Функции Блоха. Исходя из основной системы уравнений (9.18), мы лсожем получссть чрезвьнсайно важный и полезный результат, а именно вид волновых функций (орбиталей) задачи о системе с периодическим потенциалом.
Но сначала иам нужно выбрать способ описания каждой конкретной волновой функции (орбитали). Итак, выберем какой-либо волновой вектор из имеющихся в ряде Фурье (9.14) для функции ф и обозначим его через й. Запишем разложение в виде фа (х) = ~, С(К) е'к'. (9.29) К То, что этот выбор пе единстве~он, в данном случае несушественно, Раньше мы брали Км а теперь нам удооно взять й. Из представления (9.19) следует, что фл (г) ~, С (~'; 6) ес са-о)к.
эту запись можно преобразовать к виду с)~а (х) = ГХ С ()с — 6) е-сал) е ал е'и" и (х) (9.31) ха где мы ввели функцию пл (х) — ~) С (и 6) е-сол (9.32) Поскольку функция ил(х) есть ряд Фурье по векторам обратной решетки, она инвариантна ') по отношению к трансляциям Т кристаллической решетки, т. с. иа (х) = на (и + Т). (9.33) В этом можно убедиться н непосредственно, рассматривая функции ил(х+ Т); аа (х+ Т) = ~ С (й — 6) е соСлсг1 = е сот~~ С(й — 6) е со*[ (9.33а) ') Аналогичные соображения мы развивали в гл. 2.
Очевидно, ехр( — ТС»Т) = 1, и, следовательно, и»(х + Т) = и»(х); тем самым периодичность функции и»(х) можно считать установленной. В результате (9,31) содержится утверждение, составляющее теорему Блоха. Теорема Блоха утверждает, что собственные фунга(ии волнового уравнения с периодическим потенциалом шкеют вид произведения функции плоской волнси ехр(й г) на функцию и»(г), которая является периодической функцией а кристаллическая решетке; (9.3ч) 11ндекс Й в и»(г) указывает, что зта функция зависит от волнового вектора й, Волновую функцию (орбнталь) в впдс (9.34) называют функцией Блоха.
!'ешення уравнения Шредш.гера такого вида состоят пз бегущих во:ш; пз таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном иоинымп остовамп. Импульс электрона в кристалле.
Выясним смысл вектора й, которым мы воспользовались в качестве индекса функции Блоха. Он обладает следующими свойствами: а) При трансляции на вектор Т, равный произвольному вектору кристаллической решетки, т. е. прн замене г на г+ Т в аргументе зр» (г), имеем; (г + Т) =- енот е"' и (г + Т) = — е'» г Ф (г) (9 35) поскольку в силу (9.33) и»(т'+Т)=-и»(г).
Таким образом, величина ехр(!й Т) поедставляет собой фазовый множитель ~), на которыч умнолсается функция Блоха при трансляции аргумента на вектор решетки Т, б) Если потенциал решетки исчезает (т. е, (/(х) обращается в нуль), то уравнение (9.18) принимает вид (й» вЂ” е) с (й) = О, ') »ложно также сказать, что ехр(г».Т) есть собственное значенве оператора трансляции г, а Ц» — его собственная функпия.
В самом деле, если подсветке~пать оператором 7 на Е» (х), то получим; у'й»(х) = ар»(х+ Т) = ее»'т тр»(х), Отсюда видно, что й — действительно подходяпсий индекс для собственных значений оператора г'. Здесь очевидным образом использована теорема Блоха. 11 Ч. Ккттель 321 т. е. все коэффициенты С(й — Сг) обращаются в нуль, за исключением С(й), и, следовательно, функция из(г) становится константой.
Тогда волновая функция ф, (т') = е"' (9.36) имеет точно тот же вид, что и для свободного электрона. (Этот результат кстати показывает, сколь предусмотрительны мы были и сколь «правильно» выбрали Й в качестве индекса состояния. Замстпьп однако, по для многих целей, как мы увидим ниже, более удобен шюй выбор й.) в) Величина й фигурирует в законах сохранения, действующих в процессах столкновений электронов в кристалле. По этой причине ЬА называют и.кпйстьсон электрона в крисгилле.
Козла электрон, обладающий волновым вектором й, сталкиваешься с фопоиом, имеющим волновой вектор К, то правило отбора имеет ш!д А+ К = й'+ Сг, если фонов при столкновения поглощается. Столкновение приводит к рассеянию, при котором электрон из состояния й переходит в состояш1е й', вектор хг — произвольнь:й вектор обратной решетки '). Схема приведенных зон. Всегда возможно, а часто и удобно, выбрать волновой вектор й, стоящий в индексе функции Блоха, так, побы конец его оказывался лежащим внутри первой зоны Ьриллюэиа. Процедура приведения произвольного вектора й к первой зоне Бриллюэна и получила название схс»иы приведенных зон. Если мы имеем функцию Блоха в виде ф, (г) =-э'и" им(г), (9.38) где й' лежит вне первой зоны Бриллюэиа (см.
рис, 9.5), то всегда можно подоорать такой вектор ооратной решетки 0', чтобы вектор А = й' — Сг' (9.39) ') Быраж«1п1е для вероятностн столкновения, прв котором выест месса переход й -г й', содержит в простейшем случае матрнчный элеыент вада о~х 1уа,(г) ехР (ГК г) фь (г) = ~ 4зх Яа (г) Яа(г) ехР(1(й+ К вЂ” й') г). 1' * Произведение яа на является перноднческой функцией в кристаллической решетке н поэтому может быть записано в виде ряда Фурье по векторам обратной решетнн О.
Интеграл обращается в нуль для всех значений й + К вЂ” й', не равных какому-либо вектору обратной решетки 6, поскольку интеграл по всему пространству от функции ехр(и2 г) равен нулю для всех Зг чв О. Наличие С обеспечивает возможность произвола в выборе й а й'„ о которой выше шла речь, , 322 Рпс. 9.5. Первая зона Бриллгоэна для квадратной плоской решетки (постоянная решетки равна а).
Волновой вектор й', можно перенести внутрь первой зоны, образовав вектор й, = = й( + Си Волвовой вектор точки Л на гракпце зоны можно добавлением вектора б< перенестн и точку Л' па протпвогшложной границе той».е зоньс л(ожет возникнуть вопрос: можно лп считать обе точки:! и Л' принадлежащими перво» зоне'. Ответ: мы считаеп пх идентичными п рассматриваем как олпу точку в зоне.
1 лежал внутри первой зоны Бриллюэна. Тогда для функции (9.88) получим: ф,(г) = е™' и,(г) = — е"'(е'""и„, (т)) — = е'"'" иь (г) = тр (и), (9 40) где введено определение и (и) — = е'а 'и,(г). (9 А1) Как ехр((хх' и), так и иэ (и) являются периодическими функциями в кристаллической решетке, а, следовательно, и иэ(г) является таковой, поскольку тра(г) имеет вид функции Блоха. Схемой приведенных зои удобно пользоваться даже в случае свободных электронов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
